2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题07 圆中的相关计算问题（原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·辽宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，直线PE切⊙O于点Q，连接BQ．
(1)∠QBP=25°，求∠P的度数；
(2)若PA=2，PQ=4，求⊙O的半径．
【例2】（2023·全国模拟）
如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA=OB，CA=CB.直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说明理由．
【变式演练】
1.（2023·山西模拟）
如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
(1)求∠AEC的度数；
(2)求证：四边形OBEC是菱形．
2.（2023·河北模拟）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4，BC= 5.求⊙O的半径．
题型02 利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一）
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·宁夏模拟）如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．
【变式演练】
1.（2023·江苏模拟）
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB⌢的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线．
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG.若CF=4，BF=2，求AG的长．
2.（2023·广东模拟）
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
题型03 利用相似三角形的性质求线段长（方法二）
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·湖北模拟）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【变式演练】
1.（2023·河南模拟）
如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE=EF．
(1)求证：∠C=90°；
(2)当BC=3，AC=4时，求⊙O半径的长．
2.（2023·江苏模拟）
如图，AB 为⊙O直径，C 为⊙O上一点，点D是BC⌒的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.
(1)求证：DE 是⊙O的切线；
(2)若OF=4，求AC 的长度．
题型04 利用等面积法求线段长（方法三）
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·云南模拟）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
(1)请判断DE与⊙O的位置关系，并证明；
(2)连接AD，若⊙O的半径为52，AD=3，求DE的长．
【变式演练】
1.（2023·福建模拟）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC=∠A=60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．
题型05 与圆有关的阴影部分面积的计算
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·山东模拟）
如图，四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=2 3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
【例2】（2023·广东模拟）
如图所示，CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，∠DCE=12∠A，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD.若BE=OE=6．
(1)求证：AD为⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式演练】
1.（2023·安徽模拟）
如图，AB为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．
(1)求证：CD为圆O的切线；
(2)若AD−OA=1.5，AC=3 3，求图中阴影部分的面积．
2.（2023·辽宁模拟）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BE=AC=3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
3.（2023·湖北模拟）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是⊙O的直径，点B是⊙O的上一点，且OP//BC，OP交⊙O于点D．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若AC=OP=4，求阴影部分的面积．
1.（2023·湖北）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=8，BC=6，求DE的长．
2.（2023·湖南）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)若∠ACD=120°，CD=2 3，求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示)．
3.（2023·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
(1)求证：BD=BC．
(2)已知OC=1，∠A=30°，求AB的长．
4.（2023·四川）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD=∠FAD．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半径和DE的长．
5.（2023·江苏）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
(1)求证：四边形ODCE是菱形；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
6.（2023·四川）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE/​/AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE．
(1)求证：AC=BC；
(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长．
7.（2023·湖北）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC．
(1)求证：EF与⊙O相切；
(2)若BF=1，sin∠AFE=45，求BC的长．
8.（2023·山东）如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠CAD=60°，∠ACD=35°，∠ACB=90°，△ABC的外接圆交CD于点E，AC所对的圆心角的度数为120°．
(1)求证：AD是△ABC的外接圆的切线；
(2)若△ABC的外接圆的半径为3，求CE的长．
方法技巧
常见模型（知识提炼）
图示
技巧点拨
1.有直径构造直角
有30°，构造直角三角形.
有直径，构直角.
2.圆中易得等腰三角形
圆中易得等腰三角形；
3.有平行四边形，易得含60°的菱形
以两半径为邻边的平行四边形，必为含60°的菱形.
4.含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一
含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一；
5.有中点，得垂直
有中点，连圆心，构垂径定理.
6.连接圆心的线段易为中位线
连接圆心的线段易为中位线.
方法技巧
（1）勾股定理最简单的应用，就是在一个直角三角形中已知其中两条边的长度，求另外一条边；
另外，有时候也结合勾股定理通过设未知数的方法来计算线段的长度。
比如，在△ABC中，∠C=90度，其中AC+BC=7，AB=5，那么我们就可以设AC的长度为x，这样一来，BC就等于7-x，根据勾股定理就可以建立方程：x2+(7-x)2=25,解这个方程就可以得到另外两条边的长度。
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cs A=,∠A的正切tan A=.
方法技巧
当要求的线段在一般三角形中，还可以通过相似三角形的性质来求解。初中阶段我们常用的相似三角形分为“A”型、 “X”型或一般相似三角形，“A”型和“X”型相似常常伴随着平行线产生，也就是说如果题目中出现了平行线，那么很可能就会有相似三角形产生，如果有相似三角形，那就可以利用相似的性质进行线段长度的求解了；
直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.
等面积法：
1．解答本考点的有关题目，关键在于掌握扇形的面积公式同时注意以下要点：
（1）切线的性质和判定；
（2）求不规则的图形（阴影部分）的面积，可以设法转化成几个规则的图形的面积的和或者差来求.
2．计算扇形面积的有关要点
（1）求扇形阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.
（2）求扇形阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法.
（3）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念.
3．方法解读：
（1）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解.
① 直接和差法：
S阴影=S△AOB-S扇形COD S阴影=S半圆AB-S△AOB S阴影=S△ACB-S扇形CAD S阴影=S扇形BAD-S半圆AB
S阴影=S扇形EAF-S△ADE
② 构造和差法：
S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE
S阴影=S扇形AOB-S△AOB S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD
（2）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时,可通过旋转、平移、割补等方法,对图形进行转化,为利用公式法或和差法创造条件,从而求解.
① 全等法
S阴影=S△AOB S阴影=S扇形BOC
S阴影=S矩形ACDF S阴影=S正方形PCQE
② 等面积法
S阴影=S扇形COD