2024年中考数学计算能力考前训练提升1 有理数的运算

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一、选择题
1． 下列说法正确的是（ ）
A．−4是16的一个平方根B．两个无理数的和一定是无理数
C．无限小数是无理数D．0没有算术平方根
2．现规定一种运算：a∗b=ab−a−b，其中a，b为有理数，则2∗(−1)=（ ）
A．−6B．−3C．5D．11
3．小夕学习了有理数运算法则后，编了一个计算程序．当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的3倍与-2的差．当他第一次输入-6，然后又将所得的结果再次输入后，显示屏上出现的结果应是（ ）
A．-46B．-50C．-58D．-66
4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）
甲：9−32÷8=0÷8=0．
乙：24−(4×32)=24−4×6=0．
丙：(36−12)÷32=36×23−12×23=16．
丁：(−3)2÷13×3=9÷1=9．
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．下列说法正确的是（ ）
A．有理数与数轴上的点一 一对应B．若a，b互为相反数，则ab=−1
C．16的算术平方根为4D．3.40万是精确到百位的近似数
6．定义一种关于整数n的“F”运算：
⑴当n是奇数时，结果为3n+5；
⑵当n是偶数时，结果是k2n（其中k是使k2n是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2023次运算结果是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7． 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”.例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：|1−2|+|2−3|+|1−3|=4．
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对x，−2，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7；
③对a，b，b，c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在8种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．如图所示，数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．b−a<0B．a−b>0C．a+b>0D．|a|−|b|>0
9．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y=a2x+ay+1（a为常数），如：2☆3=a2⋅2+a⋅3+1=2a2+3a+1.若1☆2=3，则3☆6的值为（ ）
A．7B．8C．9D．13
10．已知有理数a，b，c满足abc<0，则a|a|+|b|b+c|c|−|abc|abc的值是（ ）
A．±1B．0或2C．±2D．±1或±2
二、填空题
11．定义一种新运算“⊕”，规定有理数a⊕b=4ab−b，如：2⊕3=4×2×3−3=21，根据该运算计算3⊕(−3)= ．
12．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a⊕b=12(|a−b|+a+b)，例如4⊕2=12(|4−2|+4+2)=4.将1，2，3，4，⋯，50这50个自然数分成25组，每组2个数，进行a⊕b运算，得到25个结果，则这25个结果的和的最大值是 .
13．对于任意有理数a，b，定义新运算：a⊗b=a2-2b+1，则2⊗（-6）= ．
14．a为有理数，定义运算符号∇：当a>−2时，∇a=−a；当a<−2时，∇a=a；当a=−2时，∇a=a根据这种运算，则∇[4+∇(2−5)]的值为 ．
15．在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“V”和取小运算“Λ”，比如：3 V 2=3，3Λ2=2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ．
①[3V（-2）]Λ4=4
②（aVb）Vc=aV（bVc）
③-（aVb）=（-a）Λ（-b）
④（aΛb）×c=acΛbc
16．已知a、b、c为非零有理数，请你探究以下问题：
（1）当a<0时，a|a|= ；
（2）ab|ab|+|bc|bc+ca|ca|+|abc|abc的最小值为 ．
17．设有理数a，b，c满足a+b+c=0，abc> 0，则a，b，c中正数的个数为
三、计算题
18．已知a，b是有理数，运算“⊕”的定义是：a⊕b=ab+a−b.
（1）求2⊕(−3)的值；
（2）若x⊕34=1，求x的值；
（3）运算“⊕”是否满足交换律，请证明你的结论.
19． 学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样的一道题．
计算：711516×(−8)．
解：=(72−116)×(−8)=72×(−8)−116×(−8)=−576+12=−57512．
请你灵活运用王老师讲的解题方法计算：392326÷(−113)．
20．用“Δ”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有aΔb=a2−ab．例如：7Δ4=72−7×4=21．
（1）求(−2)Δ5的值；
（2）若继续用“*”定义另一种新运算a∗b=3ab−b2，例如：1∗2=3×1×2−22=2．求4∗(2Δ3)．
21．现定义一种新运算“*”，对任意有理数a、b，规定 a*b＝ab+a﹣b，例如：1*2＝1×2+1﹣2．
（1）求 2*（﹣3）的值；
（2）求（﹣3）*[（﹣2）*5]的值．
22．已知a、b为有理数，现规定一种新运算※，满足 a※b=a×b+1 ，例如： 4※5=4×5+1=21 .
（1）求 2※(−4) 的值；
（2）若 a=5 ， |b|=3 ，且 a×b<0 ，求 (a※b)※(−b) 的值.
23．实数运算：
（1）16+2×9−327；
（2）|1−2|+4−3−8.
24．简便运算：
（1）82022×(−0.125)2023；
（2）992−98×100．
25．定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b= ba ﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如：2*1= 12 ﹣2+1=﹣ 12 ．
（1）求4*5的值；
（2）若x*（x+2）=5，求x的值．
26．a、b为有理数，且 |a+b|=a−b ，试求ab的值．
27．如果有理数a,b满足 |ab−2|+(1−b)2=0 ，试求 1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋅⋅⋅+1(a+2007)(b+2007) 的值。
四、解答题
28．如图是一个有理数混合运算的程序流程图，请根据这个流程图回答问题：
当输入的x为-16时，最后输出的结果y是多少？
29．小明对有理数m，n定义了一种新的运算，叫做“反加法”，记作“m⊗n”.他写出了一些按照“反加法”运算的算式：
(+3)⊗(+2)=+1，(+11)⊗(−3)=−8，(−2)⊗(+5)=−3，(−6)⊗(−1)=+5，
(+13)⊗(+1)=+23，(−4)⊗(+0.5)=−3.5，(−8)⊗(−8)=0，(+2.4)⊗(−2.4)=0，
(+23)⊗0=+23，0⊗(−74)=+74.
小亮看了这些算式后说：“我明白你定义的‘反加法’法则了.”他将法则整理出来给小明看，小明说：“你的理解完全正确.”
（1）请将下面小亮整理的“反加法”法则补充完整：
①绝对值不相等的两数相“反加”，同号得 ，异号得 ，并 ；
②绝对值相等的两数相“反加”，都得 ；
③任何数与0相“反加”，都得这个数的 .
（2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，用“反加法”计算：
[(+3)⊗(−2)]⊗[(−9)⊗0].
30．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：a+c 0，c−b 0，b+a 0，abc 0；
（2）化简：|a+c|+|c−b|−|b+a|．
（3）已知2≤x≤6，求：|2-x|+|x-6|的值.
31．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题．
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？
（3）第2015个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
五、实践探究题
32．【问题情境】数学活动课上，老师让同学们探究“有理数的加减法问题”.
我们规定一种新的运算法则：[acbd]=a+b−c−d，(acbd)=a−b+c−d，其中每个运算法则的右边都是我们学过的有理数的加减法.
（1）【问题解决】求[1−3−24]+(1−3−24)的值.
（2）【问题探究】已知a=[13−12−5623]，b=(−12−8−65710)，你能比较a和b的大小吗？请写出比较过程.
（3）【拓展探究】小明同学做老师布置的作业题：计算[12⊗−2312]−(4.5−1.1−3.55.6)，其中“⊗”是被墨水污染看不清的一个数，他知道老师给出的该题的结果是13，请问“⊗”表示的数是多少？