2024年江苏省徐州市中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省徐州市中考数学模拟试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．（3分）为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ）
A．116×106B．11.6×107C．1.16×107D．1.16×108
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠1
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（ ）
A．76°B．52°C．50°D．38°
7．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cmB．18cmC．2cmD．3cm
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）4的算术平方根是 ．
10．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
11．（3分）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 ．
12．（3分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝ ．
13．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为 ．
14．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝ °．
15．（3分）如图，△ABC的两个顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点C在x轴上．已知AB平行于x轴，且△ABC的面积等于8，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC和△AEF中，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC＝7，AE＝AF＝3，点M，N，P分别为EF，BC，CE的中点，若△AEF绕点A在平面内自由旋转，则△MNP面积S的取值范围为 ．
17．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），点E是△ABC的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC＝45°，则点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．（10分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22．（10分）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数．
23．（10分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
24．（10分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．
25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
26．（10分）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
27．（10分）如图，平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴上，边BC在x轴上，点C坐标为（2，0），点P是平面内一点，．
（1）当点P在x轴正半轴上，点P′与点P关于y轴对称，求P′的坐标；
（2）当点P在第一象限时．点D在x轴上，使得∠APD＝30°．沿AD折叠，点P落在P′处．
①求证：AD平分∠PDB；
②P′的位置是否发生改变，若不变，请求出P′的坐标；若改变，请说明理由；
（3）点D在线段BC上时，直接写出△PAD的面积变化范围．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C．M（0，m）是y轴上动点，过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q（P在Q的左边），与直线BC交于点N．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，四边形PMGH是正方形，连接CP．△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，若m＜3，求的取值范围．
2024年江苏省徐州市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
2．（3分）为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ）
A．116×106B．11.6×107C．1.16×107D．1.16×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．
故选：D．
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【解答】解：该几何体的左视图．
故选：B．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：，
解不等式2x﹣5＜1得x＜3，
解不等式3x+1≥2x得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
5．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠1
【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠1，
故选：D．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（ ）
A．76°B．52°C．50°D．38°
【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB＝76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数．
解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论．
【解答】解法一：连接AD，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝38°，
∴∠ABD＝90°﹣38°＝52°．
解法二：连接OD，如图2，
根据圆周角定理，∠DOB＝2∠DCB＝76°，
∵OD和OB均为⊙O的半径，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴在△DOB中，∠ABD＝．
故选：B．
7．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，连接AE，
∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∵，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x．
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9＝（x+3）2，
解得x＝2．
则DE＝2．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cmB．18cmC．2cmD．3cm
【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论．
【解答】解：∵AP＝CQ＝t，
∴CP＝6﹣t，
∴PQ＝＝＝，
∵0≤t≤2，
∴当t＝2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）4的算术平方根是 2 ．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
10．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣5 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x+5＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
11．（3分）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 49 ．
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2
＝72
＝49，
故答案为：49．
12．（3分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝ 20° ．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝130°，
∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，
∴∠A＝20°．
故答案为：20°．
13．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为 4 ．
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，则∠AOB＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝8，
∵E为AB边中点，
∴OE＝AB＝4．
故答案为：4．
14．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝ 115 °．
【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC＝65°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠D为弧AC所对的圆周角，
∴∠D＝∠AOC＝＝65°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115．
15．（3分）如图，△ABC的两个顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点C在x轴上．已知AB平行于x轴，且△ABC的面积等于8，则k的值为 ﹣10 ．
【分析】分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，设AB交y轴于点F，则S长方形ABDE＝16，S长方形AFOE＝6，根据S长方形BFOD＝S长方形ABDE﹣S长方形AFOE＝10和图象所在的象限求出k值即可．
【解答】解：分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点E，D，设AB交y轴于点F．
∵，
∴S长方形ABDE＝AB⋅BD＝16．
∵点A在反比例函数的图象上，
∴S长方形AFOE＝6，
∴S长方形BFOD＝S长方形ABDE﹣S长方形AFOE＝10．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴|k|＝10．
∵反比例函数的图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣10，
故答案为：﹣10．
16．（3分）如图，在△ABC和△AEF中，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC＝7，AE＝AF＝3，点M，N，P分别为EF，BC，CE的中点，若△AEF绕点A在平面内自由旋转，则△MNP面积S的取值范围为 ．
【分析】连接CF，BE，根据三角形中位线定理得到推出∠BAE＝∠CAF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，推出△PMN是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质得到，推出PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接CF，BE并延长交CF于G交AC于O，
∵点P，N是BC，CE的中点，
∴，
∵点P，M是CE，EF的中点，
∴，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝∠CAF＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△BAE与△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
∴PM＝PN，
∵∠AOB＝∠COG，
∴∠COG+∠ACF＝∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵PN∥BE，
∴∠EPN＝∠GEP，
∵PM∥CF，
∴∠EPM＝∠ECF，
∴∠GEC+∠GCE＝∠MPE+∠NPE＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN，
∴△PMN是等腰直角三角形．
∴，
∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小，
∴当点E在BA的延长线上时，PM最大，此时BE＝AB+AE＝10，PM＝5，
当点E在线段AB上时，PM最小，此时BE＝AB﹣AE＝4，PM＝2，
∴△MNP面积S的取值范围为，
故答案为：．
17．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 （﹣2，5）或（1，﹣4） ．
【分析】由于抛物线y＝x2﹣2x+k与y轴交于点C（0，﹣3），代入解析式中即可求出k，而△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，所以有两种情况：
①若QC⊥BC与C，设经过C点和Q点的直线可以表示为y＝mx﹣3，而直线BC的解析式利用待定系数法可以求出，然后利用QC⊥BC与C可以求出m，联立直线CB、CQ的解析式组成方程组即可求出交点Q的坐标；
②若点B为直角定点，那么利用同样的方法也可以求出Q的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），
假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，
设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，
而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，
∵QC⊥BC，
∴m＝﹣1
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，
联立方程组：，
解得x＝0或者x＝1，
舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，
从而可得点Q为（1，﹣4）；
同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），
从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），点E是△ABC的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC＝45°，则点D的坐标为 （，0） ．
【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA＝OB＝2，OC＝4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC＝45°，根据圆周角定理得到∠BEC＝∠BAC＝45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC＝CE，根据全等三角形的性质得到E（2，﹣4），待定系数法得到直线BE的解析式为y＝﹣3x+2，于是得到结论．
【解答】解：连接CE，过E作EF⊥AC于F，
∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
∴△OBA是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BEC＝∠BAC＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC＝CE，
∵∠CBO+∠BCO＝∠BCO+∠ECF＝90°，
∴∠OBC＝∠FCE，
在△OBC与△FCE中，，
∴△OBC≌△FCE（AAS），
∴CF＝OB＝2，EF＝OC＝4，
∴OF＝2，
∴E（2，﹣4），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+2，
当y＝0时，x＝，
∴D（，0），
故答案为：（，0）．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂、算术平方根及绝对值的性质进行化简，再计算即可；
（2）先将括号内进行通分，并将除法转化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2﹣4+3
＝2；
（2）原式＝
＝
＝﹣a．
20．（8分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣3＝3（x﹣2），
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
（2），
由①得：x＞3，
由②得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5．
21．（10分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率＝＝．
22．（10分）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 120 名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 108° ；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数．
【分析】（1）由“夏季”的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出“春季”的人数占的百分比，乘以360°即可得到结果；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了18÷15%＝120（名）同学；
扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：120，108°；
（2）（人），
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人．
23．（10分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
24．（10分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．
【分析】连接OT，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠CAT＝∠OTA，根据平行线的判定定理得到OT∥AC，根据平行线的性质得到OT⊥TC，根据切线的判定定理证明即可．
【解答】证明：连接OT，
∵AT平分∠BAD，
∴∠CAT＝∠BAT，
∵OT＝OA，
∴∠OTA＝∠BAT，
∴∠CAT＝∠OTA，
∴OT∥AC，又TC⊥AC，
∴OT⊥TC，
∴CT为⊙O的切线．
25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到∠AOB＝∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
26．（10分）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
【分析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，DE＝（80﹣x）m，在Rt△BDE中，可得＝1.5，解得BE＝CE＝48m，在Rt△ACD中，解得AC＝28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，BF＝20m，即可在Rt△ABF中，求出AB＝＝52（m）
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：
∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
27．（10分）如图，平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴上，边BC在x轴上，点C坐标为（2，0），点P是平面内一点，．
（1）当点P在x轴正半轴上，点P′与点P关于y轴对称，求P′的坐标；
（2）当点P在第一象限时．点D在x轴上，使得∠APD＝30°．沿AD折叠，点P落在P′处．
①求证：AD平分∠PDB；
②P′的位置是否发生改变，若不变，请求出P′的坐标；若改变，请说明理由；
（3）点D在线段BC上时，直接写出△PAD的面积变化范围．
【分析】（1）首先利用勾股定理求出OA的长，再求出OP，从而得出点P的坐标，再根据对称的性质可得答案；
（2）①过点A作AE⊥PD于点E，利用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再利用角平分线的判定可得答案；
②由①知，点P'在x轴上，且OD＝ED，P'D＝PD，则OP'＝EP，从而得出答案；
（3）首先依据已知条件得到4＜P′D＜8，然后依据S△AP'D＝OA•P'D解答即可．
【解答】（1）解：如图，点P在x轴正半轴上，
∵等边三角形ABC的顶点A在y轴上，边BC在x轴上，点C的坐标为（2，0），
∴OB＝OC＝2，AB＝BC＝AC＝2OC＝4，∠AOC＝90°，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AO＝＝2，
在Rt△AOP中，根据勾股定理得：OP＝＝6，
∴P（6，0），
又∵点P'与点P关于y轴对称，
∴P'（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，过点A作AE⊥PD于点E，
∵AE⊥PD，∠APD＝30°，AP＝4，
∴AE＝＝，
由（1）得：OA＝2，
∴AO＝AE，
∵AE⊥PD，∠AOD＝90°，
∴AD平分∠PDB；
②解：不变，P'（﹣6，0），理由如下：
∵把△ADP沿AD折叠，点P落在点P'处，点D在x轴上，
∴AD平分∠PDP'，P'D＝PD，
由①得：AD平分∠PDB，
∴P'，B，D三点共线，
又∵点D与点B都在x轴上，
∴P'在x轴上，
∵OD＝ED，
又∵P'D＝PD，
∴P'D﹣OD＝PD﹣ED，
即OP'＝EP，
在Rt△AEP中，根据勾股定理得：EP＝＝6，
∴OP'＝6，
又∵点P'在x轴的负半轴上，
∴点P'的位置不变，且P'（﹣6，0）；
（3）解：∵点P′是点P关于AD的对称点，
∴△APD≌△AP'D（SSS），
S△APD＝S△AP'D，
∴S△AP'D＝OA•P'D，
∵AP′＝AP＝4，OA＝2，
∴OP′＝＝＝6，
∵点D在BC上运动，
∴6﹣2＜P′D＜6+2，即4＜P′D＜8，
∴×2×4＜S△AP'D＜×2×8，
即4＜S△AP'D＜8．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C．M（0，m）是y轴上动点，过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q（P在Q的左边），与直线BC交于点N．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，四边形PMGH是正方形，连接CP．△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，若m＜3，求的取值范围．
【分析】（1）利用二次函数的解析式求得点B，C的坐标，再利用待定系数法解得即可；
（2）设点P（t，t2﹣4t+3），则t2﹣4t+3＝m．则PM＝t，PN＝MN﹣PM＝3﹣m﹣t＝﹣t2+3t，CM＝3﹣m＝﹣t2+4t，利用正方形的面积公式和三角形的面积公式分别求得S1和S2，并计算的值，利用配方法将式子变形，依据题意求得t的取值范围，利用二次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3．
解得：x＝1或3．
∵点A在点B的左边，
∴A（1，0），B（3，0）．
令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
（2）∵M（0，m），MN∥x轴，
∴N（3﹣m，m），
∴MN＝3﹣m．
设点P（t，t2﹣4t+3），则t2﹣4t+3＝m．
∴PM＝t，
PN＝MN﹣PM＝3﹣m﹣t＝﹣t2+3t，
CM＝3﹣m＝﹣t2+4t．
∴PN•CM＝（﹣t2+3t）（﹣t2+4t），
．
∴＝（t2﹣7t+12）＝．
∵y＝x2﹣4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
∵m＜3，
∴﹣1＜m＜3．
∴0＜t＜2．
∵＞0，
∴当t＜时，的值随t的增大而减小．
∴当t＝0时，的值最大＝6，
当t＝2时，的值最小＝1．
∴的取值范围为1＜＜6．