中考数学真题分类汇编第一期专题13二次函数试题含解析

这是一份中考数学真题分类汇编第一期专题13二次函数试题含解析，共128页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。

1． （2018•山东枣庄•3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4acB．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
2．（2018•四川成都•3分）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧
C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3
【答案】D
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与 轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、 对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、 当x＜-1时y的值随 值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。
1. （2018•山东菏泽•3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

2. （2018•山东滨州•3分）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
1. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+c=0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c=﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x=1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
1.（2018·山东青岛·3分）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．
2.（2018·山东泰安·3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用二次函数图象得出a，b的值，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．
【解答】解：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b＞0，
故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b的值是解题关键．
3.（2018·山东威海·3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（ ）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
4.（2018·山东威海·3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．abc＜0B．a+c＜bC．b2+8a＞4acD．2a+b＞0
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知：＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x=＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
5.（2018·山东潍坊·3分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
1．（2018•北京•2分） 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，故选B．
【考点】抛物线的对称轴．
2. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
【答案】A
【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=3时 可判断③；根据函数在时取得最大值，可以判断④，由-1【解答】∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
抛物线的对称轴
可知：
故①正确；
∵抛物线的对称轴
∴b=−2a，即2a+b=0，故②正确；
由图象知当x=3时，
把b=−2a代入得： 故③错误；
故④正确；
由图象可知，当−1故选A.
【点评】考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，不等式等知识点，难度适中，属于高频考点.
1.（2018•湖南省永州市•4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
2.（2018•株洲市•3分） 已知二次函数的图像如下图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上( )
A. （－1,2） B. （1，－2） C. （2,3） D. （2，－3）
【答案】C
【解析】分析：根据抛物线的开口方向可得出a＞0，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可找出点（2，3）可能在反比例函数y=的图象上，此题得解．
详解：∵抛物线y=ax2开口向上，
∴a＞0，
∴点（2，3）可能在反比例函数y=的图象上．
故选：C．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，由二次函数图象开口向上找出a＞0是解题的关键．
3.
1. （2018·天津·3分）已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：
①抛物线经过点；
②方程有两个不相等的实数根；
③.
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】分析：根据抛物线的对称性可以判断①错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断②正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断③正确，故可得解.
详解：抛物线（，，为常数，）经过点，其对称轴在轴右侧，故抛物线不能经过点，因此①错误；
抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；
∵对称轴在轴右侧，
∴>0
∵a<0
∴b>0
∵经过点，
∴a-b+c=0
∵经过点，
∴c=3
∴a-b=-3
∴b=a+3，a=b-3
∴-3∴-3故选C.
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．
2. （2018·台湾·分）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（ ）
A．1B．9C．16D．24
【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；
【解答】解：如图，
由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
1.（2018•湖北黄冈•3分）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
【考点】不等式组，二次函数的最值。
【分析】由题意知函数y=x2-2x+1≥1，可得出x的取值范围，再由a≤x≤a+1可得出a的值。
【解答】解：∵当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，
∴y=x2-2x+1≥1，即x2-2x≥0，
∴x≥2或x≤0，
当x≥2时，由a≤x，可得a=2,
当x≤0时，由x≤a+1，可得a+1=0,即a=-1
综上，a的值为2或-1，
故选D.
【点评】本题考查了不等式组. 弄清题意，解不等式组是关键。
2．（2018•湖北荆门•3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2a，﹣9a），
∴﹣=﹣2a，=﹣9a，
∴b=4a，c=5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2018•湖北恩施•3分）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0），
∴﹣=﹣1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=﹣3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c=0，故③正确，
∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，
﹣1.5＞﹣2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
1．（2018·浙江临安·3分）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
【考点】抛物线的顶点坐标
【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，
∴顶点坐标是（1，1）．故选A．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
2. （2018·浙江宁波·4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的性质、一次函数的性质.
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，
∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
1. （2018·广东深圳·3分）二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c>0，
∵对称轴- 在y轴右侧，
∴b>0，
∴abc<0，故错误，A不符合题意；
B. ∵对称轴- =1,
即b=-2a，
∴2a+b=0，故错误，B不符合题意；
C. ∵当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，
又∵b=-2a，
∴3a+c<0,故正确，C符合题意；
D.∵ax2+bx+c-3=0,
∴ax2+bx+c=3，
即y=3,
∴x=1，
∴此方程只有一个根，故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A.根据抛物线开口向下得a<0；与y轴的正半轴相交得c>0；对称轴在y轴右侧得b>0，从而可知A错误；
B.由图像可知对称轴为2，即b=-2a，从而得出B错误；
C.由图像可知当x=-1时，a-b+c<0，将b=-2a代入即可知C正确；
D.由图像可知当y=3时，x=1，故此方程只有一个根，从而得出D错误.
2. （2018•河北•2分）对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点.若为整数，确定所有的值.”甲的结果是，乙的结果是或4，则（ ）
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
1．（2018四川省泸州市3分）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或﹣2B．或C．D．1
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

二.填空题

2. (2018四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
【答案】4 -4
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
3．（2018年四川省南充市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：
①2a+c＜0；
②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；
③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；
④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．
其中正确结论是 ②③④ （填写序号）．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；
【解答】解：∵﹣＜，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误，
若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≤n，
∴ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；故③正确，
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵=﹣，
∴b2﹣4ac=4，
∴x==，
∴|x1﹣x2|=，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴△PAB是直角三角形，∵PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．
故答案为②③④．
【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
1. （2018·广东广州·3分）已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=1＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大.
故答案为：增大.
【分析】根据二次函数性质：当a＞0时，在对称轴右边，y随x的增大而增大.由此即可得出答案.
1. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于
4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 ②③ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线y1=﹣x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
此题得解．
【解答】解：①当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有﹣x2+4x=2，
解得：x1=2﹣（舍去），x2=2+；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
2. （2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．
1.（2018年江苏省泰州市•3分）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
【解答】解：依题意得：，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3．
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
11．（2018·湖北省武汉·3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 216 m．
【分析】求出t=4时的函数值即可；
【解答】解：根据对称性可知，开始4秒和最后4秒的滑行的距离相等，
t=4时，y=60×4﹣×42=240﹣24=216m，
故答案为216．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
2．（2018·湖北省孝感·3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是 x1=﹣2，x2=1 ．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．
【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1
故答案为x1=﹣2，x2=1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
1. （2018•山东淄博•4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为 2 ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．
【解答】解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
2.
3.
4.
题号依次顺延
三.解答题
(要求同上一)
1. ．（2018•四川凉州•10分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1；
（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．
【解答】解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2；
（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，
可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1；
（3）∵点N在y=x2﹣3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02﹣3x0+1），
将y=x2﹣3x+1配方得y=（x﹣）2﹣，
∴其对称轴为直线x=．
①0≤x0≤时，如图①，
∵，
∴
∵x0=1，
此时x02﹣3x0+1=﹣1，
∴N点的坐标为（1，﹣1）．
②当时，如图②，
同理可得，
∴x0=3，
此时x02﹣3x0+1=1，
∴点N的坐标为（3，1）．
③当x＜0时，由图可知，N点不存在，
∴舍去．
综上，点N的坐标为（1，﹣1）或（3，1）．
【点评】此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．
此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

2. （2018•山西•13分）23. (本题 13 分 )综 合 与 探 究
如图，抛物线与 x 轴交于 A , B 两点（点 A 在点 B 的 左 侧 ）， 与 y 轴交于点 C ，连接
AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ，点 P 的横坐标为 m ，过 点 P 作 PM  x 轴 ，垂 足 为点 M ， PM 交 BC 于点 Q ，过点 P 作 PE∥ AC 交 x 轴于点 E ，交 BC 于点 F .
（ 1） 求 A ， B ， C 三点的坐标；
（ 2） 试探究在点 P 的 运 动 的 过 程 中 ，是 否 存 在 这 样 的 点 Q ，使 得 以 A ， C ， Q 为 顶 点 的 三 角 形 是
等腰三角形 .若 存 在 ， 请 直．接．写出此时点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说明理由；
（ 3） 请用含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF 的长，并求出 m 为 何 值 时 QF 有最大值 .
【考点】 几 何 与 二 次 函 数 综 合
【解析】
（ 1） 解： 由 y  0 ，得
解得 x1  3 ， x2  4 .
 点 A ， B 的坐标分别为 A(-3,0)， B（ 4， 0）
由 x  0 ，得 y  4 . 点 C 的 坐 标 为 C（ 0， -4） .
1
（ 2） 答： Q ( 5
2 , 5
2
2  4) ， Q (1,3) .
2
2
（ 3） 过点 F 作 FG  PQ 于点 G .
则 FG∥x 轴 .由 B（ 4， 0）， C（ 0， -4），得 △O B C为 等 腰 直 角 三 角 形 .
 OBC  QFG  45 . GQ  FG  FQ .
PE∥ AC , 1  2 .
FG∥x 轴， 2  3 . 1  3 .
FGP  AOC  90 , △FGP∽△AOC .
题号依次顺延.
4. （2018•山东枣庄•10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴=，
∵MN∥AC
∴=，
∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=（n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BN•OA﹣BN•MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）2
=﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．

5. （2018•山东淄博•9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将已知点坐标代入即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣）求出相关角度．
【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得
解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=
当x＞时，y随x的增大而减小
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F
分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE
∴AD+BE≥AC+BE=AB
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．
∵A（1，），点B（3，﹣）
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°
∴∠AOB=90°
∴∠ABO=30°
当OC⊥AB时，∠BOC=60°
点C坐标为（，）．
【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．

6. . （2018•四川成都•12分）如图，在平面直角坐标系 中，以直线 为对称轴的抛物线 与直线 交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线 与 轴交于 点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线 与抛物线的对称轴的交点为 、 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 ，且 与 面积相等，求点 的坐标；
（3）若在 轴上有且仅有一点 ，使 ，求 的值.
【答案】（1）由题可得： 解得 ， ， .二次函数解析式为： .
（2）作 轴， 轴，垂足分别为 ，
则 .
， ， ，
，解得 ， ， .
同理， .
，
① （ 在 下方）， ，
，即 ， .
， ， .
② 在 上方时，直线 与 关于 对称.
， ， .
， ， .
综上所述，点 坐标为 ； .
（3）由题意可得： .， ， ，即 .
， ， .
设 的中点为 ，
点有且只有一个， 以 为直径的圆与 轴只有一个交点，且 为切点.
轴， 为 的中点， .
， ， ，
，即 ， .
， .
【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题，利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线 ，及点A、C的坐标，利用待定系数法建立方程组，就可求出函数解析式。
（2）作 轴， 轴，垂足分别为 ，则 ，得出MQ、NQ的长，可得出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，分情况讨论：① （ 在 下方）；② 在 上方时，直线 与 关于 对称，建立方程求出方程的解，分别求出点G的坐标即可。（3）由题意可得： .
（3）根据题意得出k+m=1，即m=1-k，可得出y1=kx+1-k，将两函数联立方程，得出 ，求出方程的解，就可得出点B的坐标，再设 的中点为 ，求出点P的坐标，再证明△AMP和△PNB相似，得出对应边成比例，建立方程 ，根据k＞0，求出方程的解即可解答。
3. （2018•江西•12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为 ，
该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
抽象感悟
我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于
点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求
的取值范围.
问题解决
(3) 已知抛物线
①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是
它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛
物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为
正整数).求的长(用含的式子表示).
【解析】 求解体验
(1)把(-1,0)代入 得
∴
∴顶点坐标是(-2,1)
∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1)
∴成中心对称的抛物线表达式是：

即 (如右图) ★★


抽象感悟
(2) ∵

∴ 顶点是（-1,6）
∵ (-1,6)关于的对称点是
∴
∵ 两抛物线有交点
∴ 有解
∴ 有解
∴
∴ (如右图) ★★★
问题解决
(3) ① ∵=
∴ 顶点（-1，）
代入 得：
①
∵
∴ 顶点（1，）
代入 得：
②
由① ② 得
∵ ,
∴
∴ 两顶点坐标分别是（-1,0），（1,12）
由中点坐标公式得
“衍生中心”的坐标是（0,6） ★★★
② 如图，设 , … , 与轴分别相于 , … , .
则 ,,… ， 分别关于 , … , 中心对称.
∴ , … 分别是△ , … 的中位线，
∴ ， …
∵ ,
∴ ] ★★★★
1. （2018•江苏扬州•10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

2. （2018•山东滨州•12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3. 1. （2018·湖北省宜昌·12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA= 6 ，k= ﹣6 ，点E的坐标为
（﹣，4） ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．
【分析】（1）根据题意将先关数据带入
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标带入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；
③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6，y=4时，x=﹣
∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）
（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1
由题意得：解得
∵抛物线y=﹣过点M、N
∴解得
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣x+5t﹣2，∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）
∵P在双曲线y=﹣上，∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6，∴t=
此时直线MN解析式为：联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0，∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=
当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点
∴，得t=
∴t=或t=
③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）
∴yP=5t﹣
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大
此时，点P在直线x=﹣1上向上运动
∵点F的坐标为（0，﹣）
∴yF=﹣
∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大
此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动
∴1≤t≤4
当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）
当t=4﹣时，直线MN过点A．
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为
S=
【点评】本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．
2．（2018·湖北省孝感·13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．
（1）点C的坐标为 （﹣6，0） ，点E的坐标为 （2，0） ；抛物线C1的解析式为 y=﹣ ．抛物线C2的解析式为 y=﹣ ；
（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．
①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；
②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．
【分析】（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法法求解析式；
（2）①根据P点直线CA或其关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；
②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．
【解答】解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，
则点C坐标为（﹣6，0），E点坐标为（2，0），
分别利用待定系数法求C1解析式为：y=﹣，
C2解析式为：y=﹣
故答案为：（﹣6，0），（2，0），y=﹣，y=﹣
（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P
设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1
∴
解得
∴直线CA1的解析式为：y=x+2
联立：
解得或
根据题意，P点坐标为（﹣）；
若点P在x轴下方，∠PCA=∠ABO时，则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P
设直线CA2解析式为y=k2x+b2
∴
解得
∴直线CA2的解析式为：y=﹣x﹣2
联立
解得或
由题意，点P坐标为（﹣）
∴符合条件的点P为（﹣）或（﹣）
②设直线BC的解析式为：y=kx+b
∴
解得
∴设直线BC的解析式为：y=﹣x﹣6
过点B做BD⊥MN于点D，如图，
则BM=
∴BM=2BD=2|x|=﹣2x．
h=PM+NM+=（yP﹣yM）+（yN﹣yM）+2|x|=yP﹣yM+yN﹣yM﹣2x
=[﹣x2﹣4x﹣6﹣（﹣x﹣6）]+[﹣x2+6﹣（﹣x﹣6）]+（﹣2x）
=﹣x2﹣6x+12
∴h=﹣（x+3）2+21
当x=﹣3时，h的最大值为21
∵﹣5≤x≤﹣2
∴当x=﹣5时，h=﹣（﹣5+3）2+21=17
当x=﹣2时，h=﹣（﹣2+3）2+21=20
∴h的取值范围是：17≤h≤21
【点评】本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
3．（2018·湖北省武汉·12分）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）求解可得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，
解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，
∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1，
∴xN﹣xM=1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，
解得：x==，
则xN=、xM=，
由xN﹣xM=1得=1，
∴k=±3，
∵k＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，=，
∴=，
∴t2﹣（1+m）t+2=0；
②当△PCD∽△POF时，=，
∴=，
∴t=（m+1）；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m）2﹣8=0，
解得：m=2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，
∴m=2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程①有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点．
4．（2018·湖南省常德·10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=•4•t﹣•t•t，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q（m，m2﹣m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y=x，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组得，则N（t，t），
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=•4•t﹣•t•t
=﹣t2+2t
=﹣（t﹣3）2+3，
当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当=时，△PQO∽△COA，即=，
∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，
解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；
∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，
∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，
解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；
综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．（2018·湖南省衡阳·8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣x+40）
=﹣x2+50x﹣400
=﹣（x﹣25）2+225，
∵a=﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
6．（2018·湖南省衡阳·10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①如图1，
∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣）2+，
∴顶点为M的坐标为（，），
当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）；
②不存在．
理由如下：
MN=﹣3=，
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，
∵PD∥MN，
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=（舍去），m2=，此时P点坐标为（，1），
∵PN==，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在．
如图2，OB=4，OA=2，则AB==2，
当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），
∴PB==，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，
当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a），
∴PD=2﹣a﹣2=﹣a，
∵DC∥OB，
∴∠DPB=∠OBA，
∴当=时，△PDB∽△BOA，即=，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4；
当=时，△PDB∽△BAO，即=，解得a=﹣，此时抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4．

3. 1.（2018·山东临沂·13分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y=﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴，
∴，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），
x=1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，
BM2=（1+1）2+y2=4+y2，
AB2=（1+2）2+62=45，
分三种情况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，
解得：y=3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，
y=﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，
y=，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度及勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
2.（2018·山东青岛·10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．
（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）由题意：7≤x≤16，
W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，
∵7≤x≤16，
∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
3.（2018·山东泰安·11分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得，，
所以二次函数的解析式为：y=，
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图
设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA=，PE=，AE=，
当PA=PE时，=，
解得，n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，
解得，n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，
解得，n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述，
P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
4.（2018·山东威海·10分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
【分析】（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；
（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
代入A（4，4），B（6，2）得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，（2分）
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣x+5，（2018年山东省威海市）
∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，
∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，（2018年山东省威海市）
当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣x+5）﹣3=﹣x2+7x﹣23；（2018年山东省威海市）
（2）当4≤x≤6时，
w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，
∴当x=6时，w1取最大值是1，（2018年山东省威海市）
当6≤x≤8时，
w2=﹣x2+7x﹣23=﹣（x﹣7）2+，
当x=7时，w2取最大值是1.5，（2018年山东省威海市）
∴==6，
即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．（2018年山东省威海市）
【点评】本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．
5.（2018·山东威海·12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；
（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法问题可解；
（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；
（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；
（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）
∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）
把C（0，4）带入得
4=a（0+4）（0﹣2）
∴a=﹣
∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1
∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D
∴点D在对称轴上
设点D坐标为（﹣1，m）
过点C做CG⊥l于G，连DC，DB
∴DC=DB
在Rt△DCG和Rt△DBH中
∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2
∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2
解得：m=1
∴点D坐标为（﹣1，1）
（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）
∴BC=
∵EF为BC中垂线
∴BE=
在Rt△BEF和Rt△BOC中，
cs∠CBF=
∴
∴BF=5，EF=，OF=3
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切
如图：
①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°
∴四边形P1Q1ER1是正方形
∴ER1=P1Q1=r1
在Rt△BEF和Rt△FR1P1中
tan∠1=
∴
∴r1=
∵sin∠1=
∴FP1=，OP1=
∴点P1坐标为（，0）
②同理，当圆心P2在直线BC右侧时，
可求r2=，OP2=7
∴P2坐标为（7，0）
∴点P坐标为（，0）或（7，0）
（4）存在
当点P坐标为（，0）时，
①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP
当x=时，y=﹣
∴DN=MP=
∴点N坐标为（﹣1，）
②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等
则点M横坐标为﹣
则M纵坐标为﹣
由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离
当点N在D点上方时，点N纵坐标为
此时点N坐标为（﹣1，）
当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣）
当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．
故答案为：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）
【点评】本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．
6.（2018·山东潍坊·12分）如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．
【分析】（1）应用待定系数法求解析式；
（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；
（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．
【解答】解：（1）由已知，c=，
将B（1，0）代入，得：a﹣+=0，
解得a=﹣，
抛物线解析式为y1=，
∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），
∴y2=﹣（x﹣1）2，
即y2=﹣．
（2）存在，
如图1：
抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），
已知A（﹣3，0），C（0，），
过点T作TE⊥y轴于E，则
TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣，
TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，
AC2=，
当TC=AC时，t2﹣=
解得：t1=，t2=；
当TA=AC时，t2+16=，无解；
当TA=TC时，t2﹣=t2+16，
解得t3=﹣；
当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形．
（3）如图2：
设P（m，﹣），则Q（m，﹣）
∵Q、R关于x=1对称
∴R（2﹣m，﹣），
①当点P在直线l左侧时，
PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，
∵△PQR与△AMG全等，
∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，
∴P（0，），即点P、C重合．
∴R（2，﹣），
由此求直线PR解析式为y=﹣，
当PQ=AM且QR=GM时，无解；
②当点P在直线l右侧时，
同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，
则P（2，﹣），R（0，﹣），
PQ解析式为：y=﹣；
∴PR解析式为：y=﹣或y=﹣
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
1.（2018•甘肃白银，定西，武威） 如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.
【答案】（1）该二次函数的表达式为；（2）点P的坐标为（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
【解答】（1）将点B和点C的坐标代入,
得 ，解得，．
∴ 该二次函数的表达式为．
（2）若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；
如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵ C（0，3），
∴ E（0，）,
∴ 点P的纵坐标等于．
∴ ,
解得，（不合题意，舍去），
∴ 点P的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（m，），设直线BC的表达式为，
则 , 解得 .
∴直线BC的表达式为 ．
∴Q点的坐标为（m，），
∴.
当，
解得，
∴ AO=1，AB=4，
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
=．
当时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、解一元二次方程，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； 求出点P的纵坐标等于，列一元二次方程求解；列出面积的关于的二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可.
2. （2018•安徽•分） 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2;
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?
【答案】（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元.
【解析】【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；
（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得.
【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得
W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，
W2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，
∵-2＜0，=10.25，
故当x=10时，W总最大，
W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.
3．（2018•北京•6分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【解析】（1）解：∵直线与轴、轴交于、．
∴（，0），（0，4）
∴（5，4）
（2）解：抛物线过（，）
∴．
∴
∴对称轴为．
（3）解：①当抛物线过点时．
，解得．
②当抛物线过点时．
，解得．
③当抛物线顶点在上时．
此时顶点为（1，4）
∴，解得．
∴综上所述或或．
【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题
1.（2018年江苏省南京市）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
【分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=m+3．
当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
2.（2018•湖南省永州市•12分））如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，
a=﹣1，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，
当x=1时，y=3×1﹣3=0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），
∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB=∠NQM，
∵∠ADB=∠QMN=90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴，
∴，
∴MN=﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m=2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴==，
∴PG=NG=m，
∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3，
∴S△PON=OP•GN=（﹣m2+m+3）•m，
当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题（3）的关键．
3.（2018•株洲市）如图，已知二次函数的图象抛物线与轴相交于不同的两点，,且,
(1)若抛物线的对称轴为求的值；
（2）若，求的取值范围；
（3）若该抛物线与轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴与轴相交点E，点F是直线上的一点，点F的纵坐标为，连接AF，满足∠ADB＝∠AFE，求该二次函数的解析式.
【答案】（1）；（2）c<；（3）
【解析】分析：（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；
（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；
（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．
详解：（1）抛物线的对称轴是：x=，解得：a=；
（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2-5x+c，
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴△=b2-4ac=(−5)2-4×15c，
∴c＜；
（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，
∴tan60°=，
∴OB=，
∴B（，0），
把B（，0）代入y=ax2-5x+c中得：，
∵c≠0，
∴ac=12，
∴c=，
把c=代入y=ax2-5x+c中得：
∴
∴
∴AB=-=，AE=，
∵F的纵坐标为
∴，
过点A作AG⊥DB于G，
∴BG=AB=AE=，AG=，
DG=DB-BG=-=，
∵∠ADB=∠AFE，∠AGD=∠FEA=90°，
∴△ADG∽△AFE，
∴，
∴
∴
∴.
点睛：本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称轴公式，解方程，三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，第3问有难度，利用特殊角的三角函数表示A、B两点的坐标是关键，综合性较强．
4.（2018年江苏省泰州市•10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【分析】（1）与x轴相交令y=0，解一元二次方程求解；
（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围．
（3）在（2）的基础上表示△ABO的面积，根据二次函数性质求m．
【解答】解：（1）当m=﹣2时，抛物线解析式为：y=x2+4x+2
令y=0，则x2+4x+2=0
解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣
抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+，0）（﹣2﹣，0）
（2）∵y=x2﹣2mx+m2+2m+2=（x﹣m）2+2m+2
∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）
∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）
∴当直线1在x轴上方时
不等式无解
当直线1在x轴下方时
解得﹣3＜m＜﹣1
（3）由（1）
点A在点B上方，则AB=（2m+2）﹣（m﹣1）=m+3
△ABO的面积S=（m+3）（﹣m）=﹣
∵﹣
∴当m=﹣时，S最大=
【点评】本题以含有字母系数m的二次函数为背景，考查了二次函数图象性质以及分类讨论、数形结合的数学思想．
5.（2018•株洲市）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC
②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.
【解析】分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以OH+HC=4−+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB=，
∴OH=OB-HB=4-
∵CB=CH，
∴OH+HC=4−+BC，
当∠BOC=90°，
此时BC=4
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜4，
令BC=x则CH=x，BH=
当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
6.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，
（1）当AM= 时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.
【答案】（1）解：由折叠性质可知：BE=ME=x，∵正方形ABCD边长为1
∴AE=1-x，
在Rt△AME中，
∴AE2+AM2=ME2 ，
即（1-x）2+ =x2 ，
解得：x= .
（2）解：△PDM的周长不会发生变化，且为定值2.
连接BM、BP，过点B作BH⊥MN，
∵BE=ME，
∴∠EBM=∠EMB，
又∵∠EBC=∠EMN=90°，
即∠EBM+∠MBC=∠EMB+∠BMN=90°，
∴∠MBC=∠BMN，
又∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，AB=BC，
∴∠AMB=∠MBC=∠BMN，
在Rt△ABM和Rt△HBM中，
∵ ,
∴Rt△ABM≌Rt△HBM（AAS），
∴AM=HM，AB=HB=BC，
在Rt△BHP和Rt△BCP中，
∵ ,
∴Rt△BHP≌Rt△BCP（HL），
∴HP=CP，
又∵C△PDM=MD+DP+MP，
=MD+DP+MH+HP，
=MD+DP+AM+PC,
=AD+DC,
=2.
∴△PDM的周长不会发生变化，且为定值2.
（3）解：过F作FQ⊥AB，连接BM，
由折叠性质可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，
∴∠EBM+∠BEF=∠EMB+∠MEF=∠QFE+∠BEF=90°,
∴∠EBM=∠EMB=∠QFE，
在Rt△ABM和Rt△QFE中，
∵ ,
∴Rt△ABM≌Rt△QFE（ASA），
∴AM=QE，
设AM长为a，
在Rt△AEM中，
∴AE2+AM2=EM2,
即（1-x）2+a2=x2,
∴AM=QE= ,
∴BQ=CF=x- ，
∴S= （CF+BE）×BC，
= （x- +x）×1，
= （2x- ）,
又∵（1-x）2+a2=x2,
∴x= =AM=BE，BQ=CF= -a，
∴S= （ -a+ ）×1，
= （a2-a+1）,
= （a- ）2+ ，
∵0∴当a= 时，S最小值= .
【考点】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠性质可知BE=ME=x，结合已知条件知AE=1-x，在Rt△AME中，根据勾股定理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .
（2）△PDM的周长不会发生变化，且为定值2.连接BM、BP，过点B作BH⊥MN，根据折叠性质知BE=ME，由等边对等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM≌Rt△HBM，根据全等三角形的性质得AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定HL得Rt△BHP≌Rt△BCP，根据全等三角形的性质得HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出△PDM周长为定值2.
（3）过F作FQ⊥AB，连接BM，由折叠性质可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE，据全等三角形的性质得AM=QE；设AM长为a，在Rt△AEM中，根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得AM=QE= ,
BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出S与x的函数关系式；又由（1-x）2+a2=x2,得x= =AM=BE，BQ=CF= -a（01. （2018·新疆生产建设兵团·13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）代入x=0可求出点C的纵坐标，代入y=0可求出点A、B的横坐标，此题得解；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），进而可得出PB、QE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBQ关于t的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据（2）的结论找出点P、Q的坐标，假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），进而可得出MF的长度，利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）；
当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，
解得：x1=﹣2，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣4．
过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），
∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，
∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．
∵﹣＜0，
∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．
（3）当△PBQ面积最大时，t=，
此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．
假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），
∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，
∴S△BMC=MF•OB=﹣m2+3m．
∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，
∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2．
∵0＜m＜3，
∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用三角形的面积公式找出S△PBQ关于t的函数关系式；（3）利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，找出关于m的一元二次方程．
2. （2018·四川宜宾·12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=﹣1，
∴点B′的坐标为（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=﹣x+，
当y=﹣1时，有﹣x+=﹣1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，﹣1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2，
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2﹣m+1，
∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0（m2﹣m+1）+y02=2（m2﹣m+1）+1，
整理得：（1﹣﹣y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
3. （2018·天津·10分）在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求定点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【解析】分析：（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；
（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.
详解： （Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵ ，
∴顶点的坐标为.
（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.
过点作轴于点，则.
可知，即，解得，.
当时，点不在第四象限，舍去.
∴.
∴抛物线解析式为.
（Ⅲ）由 可知，
当时，无论取何值，都等于4.
得点的坐标为.
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.
∵，，
∴.∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴，.
可得点的坐标为或.
当点的坐标为时，可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴.解得，.
当时，点与点重合，不符合题意，∴.
当点的坐标为时，
可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴ .解得（舍），.
∴.
综上，或.
故抛物线解析式为或.
点睛：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.
4. （2018·四川自贡·14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．
【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，
即D（﹣2，﹣3）．
设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得
，
解得，
直线AD的解析式为y=x﹣1；
（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），
l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）
化简，得
l=﹣m2﹣m+2
配方，得
l=﹣（m+）2+，
当m=﹣时，l最大=；
（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形，
由（2）得0＜PQ≤，
又PQ是正整数，
∴PQ=1，或PQ=2．
当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），
﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；
当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），
﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），
综上所述：R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR的长．
5. 1.（2018•河南•11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C，直线y=x-5经过点B,C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B,C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.

2．（2018•湖北恩施•12分）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，
联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣），
此时S=1．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
3.（2018•湖北黄冈•8分）已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.
【考点】二次函数综合题.
【分析】（1）令直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x相等，得一元二次方程，求△的值即可；
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l与y轴交点为C（0，1）,根据根与系数的关系得到|x1-x2|的长，即可求出面积.
【解答】（1）证明：令x2-4x= kx+1，则x2-(4+k)x-1=0
∴△= (4+k)2+4＞0，
∴直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）解：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l与y轴交点为C（0，1）
由（1）知道的：x1+x2=4+k=2, x1x2= -1
(x1-x2)2=4+4=8, |x1-x2|=2,
△OAB的面积S=·OC·|x1-x2|=×1×2=.
（或解：解方程得 x1=1-, 或 x2=1+,
y1=2-1 y2= -2-1
或S=×|y1-y2|=×4=. )
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利用根的判别式得出|x1-x2|是解决问题的关键．
4.（2018•湖北黄冈•9分）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y= x+4（1≤x≤8，x为整数）
-x+20（9≤x≤12，x为整数），每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：
（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；
（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；
（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？
【考点】二次函数的应用、一次函数的应用.
【分析】（1）根据表格,分两种情形作答即可．
（2）分三种情形写出月利润w（万元）与月份x（月）的关系式即可．
（3）分三种情形求出月利润w的最大值，再比较即可．
【解答】解：（1）根据表格可知：当1≤x≤10的整数时，z= -x+20；
当11≤x≤12的整数时，z=10；
∴z与x的关系式为： -x+20（1≤x≤10，x为整数）
Z=
10（11≤x≤12，x为整数）
（2）当1≤x≤8时，w=（-x+20）（x+4）=-x2+16x+80
当9≤x≤10时，w=（-x+20）（-x+20）=x2-40x+400；
当11≤x≤12时，w=10（-x+20）=-10x+200；
-x2+16x+80(1≤x≤8，x为整数)
∴w与x的关系式为： w= x2-40x+400(9≤x≤10，x为整数)
-10x+200(11≤x≤12，x为整数)
（3）当1≤x≤8时，w=-x2+16x+80=-（x-8）2+144，
∴x=8时，w有最大值144.
当9≤x≤10时，w=x2-40x+400= (x-20)2.
W随x增大而减小，∴x=9时，w有最大值121.
当11≤x≤12时，w=-10x+200,
W随x增大而减小，∴x=11时，w有最大值90.
∵90＜121＜144
∴x=8时，w有最大值144.
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用．分类讨论和熟练掌握函数的性质是解决本题的关键.
5．（2018•湖北黄石•10分）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得；
（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0=（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴=，
∴==，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM•QN=DM•DN=16，
∴=，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
6．（2018•湖北荆门•10分）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与P的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【解答】解：（1）依题意得，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
7．（2018•湖北荆门•12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当时，求k的值；
（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）
【分析】（1）先利用对称轴公式得出b=4a，进而利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用根与系数的关系得出，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，转化已知条件，代入即可得出结论；
（3）先判断出OB=2PQ，进而判断出点C是OB中点，再求出AB解析式，判断出PC∥AB，即可得出PC解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得，，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2+x；
（2）∵直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x2+x=kx+4，
∴x2﹣4（k﹣1）x﹣16=0，
根据根与系数的关系得，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，
∵，
∴2（x1﹣x2）=x1x2，
∴4（x1﹣x2）2=（x1x2）2，
∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（x1x2）2，
∴4[16（k﹣1）2+64]=162，
∴k=1；
（3）如图，取OB的中点C，
∴BC=OB，
∵B（4，8），
∴C（2，4），
∵PQ∥OB，
∴点O到PQ的距离等于点O到OB的距离，
∵S△POQ：S△BOQ=1：2，
∴OB=2PQ，
∴PQ=BC，∵PQ∥OB，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴PC∥AB，
∵抛物线的解析式为y=x2+x②，
令y=0，
∴x2+x=0，
∴x=0或x=﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵B（4，8），
∴直线AB解析式为y=x+4，设直线PC的解析式为y=x+m，
∵C（2，4），
∴直线PC的解析式为y=x+2②，
联立①②解得，（舍）或，
∴P（﹣2，﹣2+2）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比，判断出OB=2PQ是解本题的关键．
6. 1. （2018·浙江宁波·10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【考点】二次函数图象、二次函数的性质.
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；
（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

2. （2018·浙江衢州·10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【考点】求二次函数解析式以及图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+．
∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+，∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
3. （2018·浙江舟山·10分）已知，点M为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象的顶点，直线y=mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B。
（1）判断顶点M是否在直线y=4x＋1上，并说明理由。
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1，根据图象，写出x的取值范围。
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（ ，y1），D（ ，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小。
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）验证一个点的坐标是否在一个函数图象：即把该点的横坐标代入该函数表达式，求出纵坐标与该点的纵坐标比较是否一样；
（2）求不等式mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1的解集，不能直接解不等式，需要结合函数图象解答，因为次函数y=-（x-b）2＋4b＋1，一次函数y=mx＋5，这个不等式即表示一次函数的值要大于二次函数的值，结合图象，即一次函数的图象在二次函数图的上方时x的取值范围，此时x的范围是在点B的左边，点A的右边，则需要分别求出点B和点A的横从标；因为点B是在直线直线y=mx＋5与y轴的交点，令x=0，可求得B（0,5）；因为二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1图象经过点B，将B（0,5）代入可求得b，然后令二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1=0，求出点A的横坐标的值即可
（3）二次函数y=-（x-b）2＋4b＋1的图象是开口向下的，所以有最大值，当点离对称轴越近时，也就越大，因为C（， y1），D（， y2）的横坐标是确定的，则需要确定对称轴x=b的位置，先由顶点M在△AOB内，得出b的取值范围；一般先确定y1=y2时对称轴位置，再结合“点离对称轴越近时，也就越大”分三类讨论，当y1>y2 ， 当y1=y2 ， 当y1【解答】（1）∵点M坐标是（b，4b＋1），
∴把x=b代入y=4x＋1，得y=4b＋1，
∴点M在直线y=4x＋1上。
（2）如图1，∵直线y=mx＋5与y轴交于点为B，
∴点B坐标为（0，5）
又∵B（0，5）在抛物线上，
∴5=-（0-b）2＋4b＋1，解得b=2
∴二次函数的表达式为y=-（x-2）2＋9
∴当y=0时，得x1=5，x2=-1，
∴A（5，0）．
观察图象可得，当mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1时，
x的取值范围为x＜0或x＞5．
（3）如图2，∵直线y=4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，而直线AB表达式为y=-x＋5，
解方程组 ，得
∴点E（ ， ），F（0，1）
∵点M在△AOB内，
∴0当点C，D关于抛物线对称轴（直线x=b）对称时，b- = -b
∴b=
且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y=4x＋1上，
综上：①当0＜b＜ 时，y1＞y2；
②当b= 时，y1=y2；
③当 ＜b＜ 时，y1＜y2。
【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合应用.
7. 1.2018·广东深圳·9分）已知顶点为 抛物线 经过点 ，点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1 ， 若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.
【答案】（1）解：把点 代入 ，解得：a=1,
∴抛物线的解析式为： 或 .
（2）解：设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得：，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-1,
∴E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），
∴OE=1，FE= ,
∵∠OPM=∠MAF,
∴当OP∥AF时，△OPE∽△FAE，
∴
∴OP= FA= ,
设点P（t,-2t-1）,
∴OP= ,
化简得：（15t+2）（3t+2）=0,
解得 ， ，
∴S△OPE= ·OE· ,
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
综上，△POE的面积为 或 .
（3）Q（- ， ）.
【考点】二次函数的应用，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设Q（m，-2m-1）,N1（n，0），
∴N（m,-1）,
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1
∴NN1中点坐标为（ ， ），EN=EN1 ，
∴NN1中点一定在直线AB上，
即 =-2× -1,
∴n=- -m,
∴N1（- -m，0），
∵EN2=EN12 ，
∴m2=（- -m）2+1，
解得：m=- ,
∴Q（- ， ）.
【分析】（1）用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
（2）设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组，解之即可得直线AB解析式，根据题意得E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），根据相似三角形的判定和性质得OP= FA= ,设点P（t,-2t-1）,根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式△POE的面积.
（3）由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设Q（m，-2m-1）,N1（n，0），从而得N（m,-1）,根据翻折的性质知NN1中点坐标为（ ， ）且在直线AB上，将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m,即N1（- -m，0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=（- -m）2+1，解之即可得Q点坐标.
2.（2018·广东·9分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；
（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m，
可得：m=﹣3；
（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b中，
可得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，
∴OD=OC•tan30°=，
设DC为y=kx﹣3，代入（，0），可得：k=，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M1（3，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，
∴OE=OC•tan60°=3，
设EC为y=kx﹣3，代入（3，0）可得：k=，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M2（，﹣2），
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．
3.（2018•广西桂林•12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=-2x2-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10） .
【解析】分析：（1）根据抛物线过A、B两点，待定系数法求解可得；；
（2）由（1）知抛物线对称轴为直线x=-1，设H为AC的中点，求出直线AC的垂直平分线的解析式即可得解；
（3）①过点A作交y轴于点F，交CB的延长线于点D，证明ΔAOF∽ΔCOA，求得，分别求出直线AF、BC的解析式的交点，求出，
根据∠ABE=∠ACB求出∠ABE=2，易求E点坐标.
详解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，
，解得
∴y=-2x2-4x+6,
令x=0，则y=6,
∴C(0，6)；
（2）=-2（x+1）2+8,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
设H为线段AC的中点，故H（，3）.
设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有
，解得，，
∴y=2x+6
设过H点与AC垂直的直线解析式为：，
∴
∴b=
∴
∴当x=-1时，y=
∴M（-1，）
（3）①过点A作交y轴于点F，交CB的延长线于点D
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°
∴∠DAO=∠ACO
∵∠ACO=∠ACO
∴ΔAOF∽ΔCOA
∴
∴
∵OA=3,OC=6
∴
∴
直线AF的解析式为：
直线BC的解析式为：
∴，解得
∴
∴
∴∠ACB=
∵∠ABE=∠ACB
∴∠ABE=2
过点A作轴，连接BM交抛物线于点E
∵AB=4，∠ABE=2
∴AM=8
∴M（-3，8）
直线BM的解析式为：
∴，解得
∴y=6
∴E（-2，6）
②当点E在x轴下方时，过点E作，连接BE，设点E
∴∠ABE=2
∴m=-4或m=1（舍去）
可得E（-4，-10）
综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）
点睛：本题主要考查二次函数与轴对称、相似三角形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键．
4.（2018•河北•11分）图16是轮滑场地的截面示意图，平台距轴（水平）18米，与轴交于点，与滑道交于点，且米.运动员（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：，的竖直距离（米）与飞出时间（秒）的平方成正比，且时；，的水平距离是米.
（1）求，并用表示；
（2）设.用表示点的横坐标和纵坐标，并求与的关系式（不写的取值范围），及时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从处飞出，速度分别是5米/秒、米/秒.当甲距轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出的值及的范围.
8. 4. (2018四川省眉山市10分 ) 传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
【答案】（1）解：当0≤x≤6时，y=34x，
∴34×6=204<280，
∴20x+80=280，
∴x=10.
答：李明第10天生产的粽子数量为280只.
（2）解：①当0≤x≤6时，
p=2，
∴W=34x·（4-2）=68x，
当10≤x≤20时，设p=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②当6∴W=（20x+80）·（4-2）=40x+160，
③当10≤x≤20时，
∴W =（20x+80）·（4- -1）=-2x2+52x+240,
综上所述， ，
当0 x 6时，W的最大值为x=6时，68×6=408（元），
当6当10∴当x=13时，W的最大值为578元.
综上所述，第13天的利润最大，最大利润是578元.
【考点】一次函数的实际应用，二次函数的最值
【解析】【分析】（1）因为34×6=204<280，所以将y=280代入y=20x+80，解方程即可得出答案.
（2）根据图像求得p与x的函数关系式，再由订购价-成本价=利润，分情况讨论：得到W与x的函数关系式，再根据一次函数和二次函数的性质即可求得最值.
5.（2018年四川省内江市）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；
（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y=kx+1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，
设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，
∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．
6．（2018年四川省南充市）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为MN=，
∴MN=9或．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

7．（2018四川省泸州市12分）如图11，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE与AE的数量关系可以构造方程；
（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE=GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示▱DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n值，进而求G点坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得
0=a•42﹣（2a﹣）×4+3
解得
a=﹣
∴函数解析式为：y=
设直线AB解析式为y=kx+b
把A（4，0），B（0，3）代入
解得
∴直线AB解析式为：y=﹣
（2）由已知，
点D坐标为（m，﹣）
点E坐标为（m，﹣）
∴AC=4﹣m
DE=（﹣）﹣（﹣）=﹣
∵BC∥y轴
∴
∴AE=
∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1=4S2
∴AE=2DE
∴
解得m1=，m2=4（舍去）
故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M
由（2）DE=﹣
同理HG=﹣
∵四边形DEGH是平行四边形
∴﹣=﹣
整理得：（n﹣m）[]=0
∵m≠n
∴m+n=4，即n=4﹣m
∴MG=n﹣m=4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG=
∴▱DEGH周长L=2[﹣+]=﹣
∵a=﹣＜0
∴m=﹣时，L最大．
∴n=4﹣=
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）
当点G、E位置对调时，依然满足条件
∴点G坐标为（，）或（，）
【点评】本题以二次函数图象为背景，综合考查三角形相似、平行四边形性质、二次函数最值讨论以转化的数学思想．
9. (2018四川省眉山市15分 ) 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
∵A（0，3)、B（1，0）在抛物线上，
对称轴为：x=2，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3.
（2）解：如图①，设P（m，m2-4m+3）,
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
又∵AC∥x轴
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AO=AE=3，
∴E（3,3），
过点P作PQ∥y轴交AE于点Q，
∴Q（m，3）,
又∵S四AOPE=S△AOP+S△APE,
∴S四AOPE= ·OA·XP+ ·AE·【3-（m2-4m+3）】，
= ×3×m+ ×3×（-m2+4m），
=- m2+ m,
=- （m- ）2+ ,
∴当m= 时，四边形AOPE面积最大，最大值为 .
（3）解：存在，理由如下：
过定P作直线MN∥x轴，
∵△POF是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠FPO=90°,PO=PF,
∴∠FPN+∠OPM=90°,
又∵∠MOP+∠OPM=90°,
∴∠FPN=∠MOP,
在△MOP和△NPF中，
∵ ,
∴△MOP≌△NPF（AAS），
∴MO=NP,MP=NF,
设P（m,n）,
∴MP=NF=m,MO=NP= ,
∵PM+PN=2,
∴m+ =2,
∴ =2-m，
即n=2-m或n=m-2，
∴P（m,2-m）或P（m,m-2）,
∵点P在二次函数解析式上，
①将P（m,2-m）代入得：m2-4m+3=2-m,
即m2-3m+1=0,
解得：m1= ,m2= ,
∴P1（ ， ），P2（ ， ），
②将P（m,m-2）代入得：m2-4m+3=m-2,
即m2-5m+5=0,
解得：m1= ,m2= ,
∴P3（ ， ），P3（ ， ），
综上所述：P点的坐标为 ：P1（ ， ），P2（ ， ），
P3（ ， ），P3（ ， ）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得一个三元一次方程组，解之即可得出抛物线解析式.
（2）如图①，设P（m，m2-4m+3）,根据角平分线定义和平行线性质知△AOE是等腰直角三角形，从而得E（3,3）；过点P作PQ∥y轴交AE于点Q，根据S四AOPE=S△AOP+S△APE得一个关于m的二次函数，由二次函数性质可求得最大值.
(3)存在，理由如下：过定P作直线MN∥x轴，设P（m,n）,由等腰直角三角形的性质和同角的余角相等得∠FPN=∠MOP,根据全等三角形的判定AAS得△MOP≌△NPF，由全等三角形的性质得MP=NF=m,MO=NP= ,根据PM+PN=2得n=2-m或n=m-2，即P（m,2-m）或P（m,m-2）,分别将点P坐标代入二次函数解析式，解方程即可得P点坐标.
9.
10.x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
10
10