中考数学（培优）几何模型全集（含答案）学案

这是一份中考数学（培优）几何模型全集（含答案）学案，共443页。

第 一 讲 三角形中的线
第 二 讲 倍长中线
第 三 讲 截长补短
第 四 讲 手拉手模型
第 五 讲 一线三等角
第 六 讲 一线三垂直
第 七 讲 半角模型
第 八 讲 对角互补
第 九 讲 将军饮马
第 十 讲 十字模型
第十一讲 瓜豆原理
第十二讲 射影定理
第十三讲 胡不归与阿氏圆
第十四讲 四点共圆
第一讲：三角形中的线 （答案p1）
一、中线
三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
性质1：三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分.
如图，在中，点D是BC的中点，.
性质2：三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角
形重心，三角形重心将中线分为长度比为的两条线
段.
如图，在中，中线AD，CF，BE交于点O，点
O为重心，.
性质3：三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分.
如图，在中，点D，E，F是BC，AC，AB的中
点，.
性质4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，在中，点D为AC的中点，
.
二、角平分线
三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质1：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线
段与这个角的两边对应成比例.
如图，在中，AD是的角平分线，与BC交
于点D，.
性质2：三角形的一条内角的平分线与不相邻的两
个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心.
如图，OB平分，OA平分，OC平分
，OA，OB，OC交于点O，点O为
的旁心（旁切圆的圆心）.
性质3：三角形的三条角平分线交于一点，该点叫
做三角形的内心，常记作点I。
如图，在中，AD平分，BE平分
，CF平分，AD、BE、CF交于点I，点I为
的内心.
【常用推论】
1、三角形两内角的角平分线的夹角等于与第三个内
角一半的和.
如图，在中，BE平分，CF平分，
BE与CF交于点I，.∠BIC=90°+12∠A
2、三角形一内角的角平分线与另一外角的角平分线的夹
角等于第三个内角的一半.
如图，在中，BP平分，CP平分，
BP与CP交于点P，.
3、三角形两外角的角平分线的夹角等于与第三个内
角一半的差.
如图，在中，BO平分，CO平分，
BO与CO交于点O，.
4、三角形一内角的角平分线与这个内角的对边上的高
的夹角等于另外两个内角差的一半.
如图，在中，AE平分，，
.
【学以致用】
1.已知：AD为的中线，E为线段AD上一点．
（1）如图1，若，的周长为10，求的周长；
（2）若的面积为20，，请在图2中作的BD边上的高，并求出点E到直线BC的距离；
（3）如图3，若，，射线BE平分，点P是射线BE上一点，且直线DP与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数．
2.小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．
如图1，中，CD为AB边的中线，可得，过点C作于M，则.
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
（1）如图2，矩形ABCD中，点M，N分别为CD，AB上的动点，且，AM与DN交于点E，连接CE．
①判断与的面积关系；
②若，当点M为CD的中点时，求四边形BCEN的面积；
（2）中，，，点D为AB的中点，连接CD，将沿CD折叠，点A的对应点为点E，若与重合部分的面积为面积的，直接写出的面积．
3.我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的长度有关问题，这种方法称为面积法．
【问题探究】在中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，；
（2）如图②，当AD是的平分线时，若，，（用含m，n的代数式表示）；
【解决问题】如图③，在中，，AD平分，，，求BD的长度．
4.如图1，在矩形ABCD中，交AC于点G，E为AB的中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF．
（1）若，求的大小．
（2）如图2，若，M为CD的中点，连接BF，FM．
①求证：；
②试求的值．
5.我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于的值，可记为．
（1）在图1中，若，，，AO是BC边上的中线，则________，________；
（2）如图2，在中，，，求、的值；
（3）如图3，在中，，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且．已知，，求的面积．
6.定义：我们把一个内角等于另一个内角的3倍的三角形叫做“三倍角三角形”．
【特例感知】
（1）若一个等腰三角形是“三倍角三角形”，则这个等腰三角形的顶角的度数为________.
【性质探究】
（2）如图1，是“三倍角三角形”，且，D为AB的中点，交BC于点E．
①若，求证：.
②若，猜想：________BC．(用含n的代数式表示）
【拓展应用】
（3）如图2，在中，对角线AC，BD相交于点O，，且，若，求AB的长．
7.如图1，中，，CD为的中线，P是DC延长线上的一点，点E在AC的延长线上，且，PB交AE于F.
（1）求证：；
（2）如图2，若时，连接BE，试探究线段AP与线段BE的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将改为，且，求的值.
8.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF，BE是的中线，于点P，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
【特例探究】
（1）如图1，当，时，________，________；
如图2，当，时，________，________；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，中，E，F分别是AD，BC的三等分点，且，，连接AF，BE，CE，且于E，与相交点G，，，求AF的长．
9.【问题引入】
已知：如图BE、CF是的中线，BE、CF相交于G。求证：.
证明：连结EF
∵E、F分别是AC、AB的中点
∴且
∴
【思考解答】
（1）连结AG并延长AG交BC于H，点H是否为BC中点________（填“是”或“不是”）
（2）①如果M、N分别GB、GC的中点，则四边形EFMN是________四边形。
②当的值为________时，四边形EFMN是矩形。
③当的值为________时，四边形EFMN是菱形。
④如果，且，，则四边形EFMN的面积________
10.如图，中，，点D在BC的延长线上，，于E，BE交于点G．
（1）如图1，请写出与的数量关系；
（2）如图2，若BF平分，，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接DG，若F是AC中点，G是FC中点，，，，求BG的长．
11.如图1，点D为边BC的延长线上一点．
（1）若，，求的度数；
（2）若的角平分线与的角平分线交于点M，过点C作于点P．求证：；
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点Q（如图2），试探究与有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．
综合与实践：
阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在中，，图1，图2，图3中的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，________；如图2，________；如图3，________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则________．
（2）如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：．
（3）如图6，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
13.如图，和中，，，，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为和平分线的交点．
（1）求证：；
（2）当时，的取值范围为，请求出m，n的值．
14.如图1，C点是第二象限内一点，轴于B，且是y轴正半轴上一点，是x轴负半x轴上一点，且，．
（1）A(________，________)，B(________，________)
（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；
（3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作交CB于M，，的平分线交于N，当D点在运动的过程中，的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
15.如图1，在中，BD平分，CD平分．
（1）若，则的度数为________；
（2）若，直线经过点D．
①如图2，若，求的度数(用含的代数式表示)；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC，AC于点M，N，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变，求出的度数(用含的代数式表示)，若改变，请说明理由：
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出与的关系(用含的代数式表示)．
16.在中，，的平分线AD交BC于点D．
（1）如图1，过点C作于F，延长交AB于点E．联结DE．
①说明的理由；
②说明的理由；
（2）如图2，过点B作直线交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明的理由．
17.已知，如图1，E为BC延长线上一点．
（1）请你添加平行线证明：．
（2）如图2，若点D是线段AC上一点，且，作DG平分交AB于G，DH平分交BC于H，且比大，求的度数．
（3）如图3，已知E为BC延长线上一点，D是线段AC上一点，连接DE，若的平分线与的平分线相交于点P，请你判断、、的数量关系并证明你的结论．
18.如图1，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长交AD延长线于点F，，.
图 1 图2 备用图
（1）求证：；
（2）如图2，连接交CD于点G，连接AG，若AG为的角平分线，为的角平分线，过点B作交AG于点H，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的度数.
19.已知．
（1）如图（1），，若于点D，AE平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分，F为AE上一点，于点M，与，之间有何数量关系？并说明理由．
20.在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，．
（1）如图1，若点，，点M是y轴上一点，且，求点M的坐标；
（2）如图2，点P是x轴上点A左边的一点，连接PB，和的角平分线交于点D，求证：；
（3）如图3，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线BC上一点，连接PB、PQ，和的平分线相交于点E，求的值．
第二讲：倍长中线（P18）
基本模型
中线是三角形中的重要线段之一，当已知条件中出现中线时，常利用倍长中线法构造全等三角形解决问题.
模型1：直接倍长中线
1、如图，在中，AD是BC边上的中线.
辅助线做法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，CE.
结论：（1）
（2）
（3）四边形ABEC是平行四边形
模型2：间接倍长中线
2、如图，在中，AD是BC边上的中线，点M是AB边上的一点.
辅助线做法：延长MD到点N，使DN=MD，连接CN.
结论：
【学以致用】
1.如图，为的中线．
（1）求证：．
（2）若，，求的取值范围．
2.如图，在中，平分，且，求证：．
3.如图，是的中线，是的中线，且．
求证：①；②平分．
4.如图，在中，是边的中点，是上一点，，的延长线交于点．求证：.
5.如图，在中，交于点，点E是BC的中点，交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为的角平分线．
6.如图，在四边形ABCD中，，点E在BC上，点F是CD的中点，且，已知，，求CE的长．
7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，为等腰直角三角形，，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：且．
8.如图，与均为等腰直角三角形，，，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．
9.如图，为等边三角形，，，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG.下列结论：①；②若，则；③在②的条件下，若，则.其中正确的有（ ）
A.①②③都正确B.只有①②正确C.只有②③正确D.只有①③正确
10.小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为BC的中点，求AD的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使，连接BE，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：（1）小明证明用到的判定定理是什么？(用字母表示)，
（2）AD的取值范围是多少？；
（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若，，，求GF的长.
11.如图1，在中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使，连接CG，可以得到，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.
如图2，在中，点D是BC的中点，点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使，连接CG.
（1）请直接写出线段BE和CG的关系：；
（2）如图3，若，过点D作交AC于点F，连接EF，已知，，其它条件不变，求EF的长.
12.先阅读，再回答问题：如图1，已知中，AD为中线。延长AD至E，使.在和中，，，，所以，，进一步可得到，等结论.
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题。
解决问题：如图2，在中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且，连结并延长BF交AC于点E，求证：.
13.定义：如图1，在中，把AB绕点A逆时针旋转并延长一倍得到AB'，把AC绕点A顺时针旋转并延长一倍得到AC'，连接B'C'.当时，称是的“倍旋三角形”，边上B'C'的中线AD叫做的“倍旋中线”.
特例感知：
（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”AD长为；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”AD与BC的数量关系为？；
猜想论证：
（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”AD与BC的数量关系，并给予证明.
14.已知抛物线经过，，，点P为抛物线上一动点，直线与轴交于点D.
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图1，连结OP并倍长至Q，试说明在直线上有且仅有一点M，使；
（3）如图2，连结PO并延长交抛物线于另一点T，求证：y轴平分.
第三讲：截长补短（P27）
基本模型
当题目中出现线段之间的倍数关系时，考虑用截长补短法.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线的关键词.
模型1：截长补短法
1、如图，AD平分，求证：AB+BD=AC.
截长法：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明CE=BD
即可.
补短法：延长AB至点F，使AF=AC，连接DF，证明
BF=BD即可.
模型2：构造倍的线段
2、如图，在中，，，
.
结论：（1）
（2）
模型3：构造倍的线段
如图，在中，，.
结论：（1）
【学以致用】
如图，在中，，于点D，求证：.
如图，内接于，，点D为劣弧上一点，过点A作，垂足为H，求证：.
如图、在中，，，点P是内部一点，且，求证：.
如图，是边长为1的等边三角形，是顶角为的等腰三角形，点M、N分别在AB、AC上，且，连接MN，求的周长.
如图，在中，，过点A作，交DC的延长线与点F，交BE于点G，且，求证：.
如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在边BC上，求证：.
图①
【类比探究】
如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE、CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由.
图②
在正方形ABCD中，点E为射线AD上一点，现将正方形沿BE折叠，使点A落在点处，作射线交CD边所在的直线于点F.
图① 图② 图③
如图①，当时，求证：；
如图②，当射线交CD的延长线于点F时，猜想线段AE、CF、BF之间的数量关系并证明；
如图③，当射线交DC的延长线于点F时，猜想线段AE、CF、BF之间的数量关系并证明.
如图，四边形ABCD为正方形，点M，N分别是线段BC，CD上的动点，且始终保持.
如图①，当点M，N分别在线段BC，DC上时，请直接写出线段BM，MN，DN之间的数量关系；
如图②，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，写出正确的结论，并证明；
如图③，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，若，连接AN与BD交于点Q，设DB的延长线与AM的延长线交于点P，直接写出AQ、AP的长.
图① 图② 图③
在等腰中，，点O为AB的中点，M、N分别在直线AC、BC上，且.
如图①，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：；
如图②，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，并证明；
若，，求MN的长.
图① 图②
10、如图，在中，，，点D是边AB上一点，过点A作与点E，连接BE，若，求证：.
11、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，连接PC，证明：.
12、如图，内接于，AB是直径，点E为上一点，且，求证：.
13、如图、在中，，，，D为BC边上一点，连接AD，作交MN于点E，连接AE.求证：.
14、如图，已知是的内接三角形，，，在所对的上，任取一点D，连接AD，BD，CD.求证：.
15、如图，在中，，，点E在BC上，点D在AB上，，连接DE，，，垂足为H，证明：.
16、如图是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，，.
如图①，若延长DA到点E，使，连接CD，CE.
①求证：，；
②求证：；
图①
若与位置如图②所示，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系.
图②
17、如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，.
求证：；
若，求AE的长；
如图②，连接AG，求证：.
图① 图②
18、在中，，点D在直线BC上，点E是射线AB上一点，直线DE交直线AC于点F，且，.
如图①，当点D在BC的延长线上，点E在线段AB上时，求证：；
如图②，当点D在CB的延长线上，点E在线段AB上，探究线段DE与AC之间的数量关系，并证明；
如图③，当点D在线段BC上，点E在AB的延长线上时，探究线段DE与AC之间的数量关系，并证明.
图① 图② 图③
第四讲：手拉手模型（P30）
模型概述
所谓手拉手模型，满足三个条件:①有共顶点的角;②共顶点
角的度数相等;③两个角的两边对应相等．以上的条件在题目中
通常会直接告知，或者两个等边(等腰)三角形有一个顶点重合，
还可以是两个边长不等的正方形有一顶点重合等其他的正多边
形都可以．
基本模型
结论：
结论：（1）；（2）OA平分∠BOC。
基本原理
1、利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度
（3）根据旋转角画出旋转后的三角形
2、旋转前后具有以下性质
（1）对应线段和对应角分别相等
（2）任意两条对应线段的夹角都等于旋转角
3、八字模型
如图所示，若，则。
【学以致用】
1、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________.
（2）如图1，已知格点(小正方形的顶点)，，，请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转，得到△DBE，连接AD、DC，．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到连接AD、DC，则∠DCB=________，四边形ABCD是勾股四边形．
2、图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，.
（1）如图2，固定，将绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①求证：是等边三角形．
②设的面积为S1，的面积为S2，探究S1与S2的数量关系并证明．
（2）当绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
3.问题发现：（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于CB延长线上时，线段AC的长可取得最大值，则最大值为________．（用含a，b的式子表示）
尝试应用：
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，M，N分别为AB，AD的中点，连接MN，CE．AD=5，AC=3.
①请写出MN与CE的数量关系，并说明理由；
②直接写出MN的最大值．
（3）如图3所示，为等边三角形，DA=6，DB=10，，M、N分别为BC、BD的中点．求MN长；
（4）若在第(3)中将“”这个条件删除，其他条件不变，请直接写出MN的取值范围．

4.如图1，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN．
（1）求证：；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为的费尔马点．若点M为的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图2，分别以的AB、AC为一边向外作等边和等边，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为的费尔马点．试说明这种作法的依据．
5、（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
①线段AD，BE之间的数量关系为________；
②∠AEB的度数为________；
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点C到直线BP的距离.
6、（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为________；
②线段AD、BE之间的数量关系是________．
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，若AD=a，AE=b，AB=c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
7、如图1，和都是等腰直角三角形，，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE和线段CD的关系：________；
（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转角，
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当时，探究在旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的角的度数；若不存在，请说明理由．
8、已知是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE，连接DE．
（1）如图1，是________三角形；
（2）如图2，猜想线段CA，CE，CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当，求BD的长；
②点D在运动过程中，直接写出周长的最小值．
9、（1）如图1，和均是顶角为等腰三角形，求证：BD=CE；
（2）如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数；
（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，使得，连接BE，作中DE的高AF，判断BE，CE，AF之间的数量关系，并说明理由．
10、已知等边，D为BC边上一点，点E在线段AD上，且∠EBD=∠BAD．将绕着点A逆时针旋转至，连结EF，交AC于点G．
（1）求证：B，E，F三点共线；
（2）记的面积为S1，的面积为S2，若，求的值；
11、已知在中，，BA=BC，点D是AC边的中点，点E、F分别在射线AB、BC上，且DE⊥DF．
（1）试说明的理由；
（2）如图1，当点E在AB上、点F在BC上时，试说明DE=DF的理由；
（3）如图2，当点E在AB的延长线上、点F在BC的延长线上时，试问，与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由．
12、定义：有一个公共顶点的两个三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则________的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则∠DAE=________；
③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，则AC=________；若连接BD，CE，则________；
（2）知识运用：如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90∘，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：和互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：如图4，为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且与互为“旋转位似图形”，若AC=6，，求DE和BD的长.
13、在中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
14、【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC=m，AE=AF=n，m>n．，绕点A顺时针旋转，旋转角为，点M为BF的中点．
【特例感知】
（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是________；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，和都是等腰直角三角形，，AB=AC，AE=AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若，，则AN=_______.
15、（1）问题发现：如图1，和同为等边三角形，连接AD，CE，延长线段CE交AD于点F，则AD与CE的数量关系为________，________；
（2）类比探究：如图2，和同为等腰直角三角形，其他条件同(1)，请问（1）中的结论还成立吗？说出你的理由；
（3）拓展延伸：如图3，和同为直角三角形，，，且AC=2AE=4．将绕点A逆时针旋转，当B，D，E三点在一条直线上时，请直接写出BE的长度．
16、如图，C为线段AB上任意一点（不与A，B重合）分别以AC，BC为一边在AB的同侧作等边和等边，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．AE与BD交于点P．连接PC．试说明：
（1）①求证：AE=BD；②求∠APD的度数；
（2）求证：∠APC=∠BPC；
（3）若AC=6，BC=4，将绕点C按顺时针旋转，在旋转过程中AE的长度有没有最大值或最小值，若有请直接写出最大值或最小值，若无请说明理由．
17、综合与探究
问题情境：在中，，AB=AC，点D是射线BC上一动点，连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转至AE，连接DE，CE．
探究发现：（1）如图1，BD=CE，BD⊥CE，请证明；
探究猜想：（2）如图2，当BD=2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广：（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
18、（1）如图1，等腰直角与等腰直角有公共的直角顶点C，直角边CD在AC上，求证：BD=AE，BD⊥AE；
（2）把绕点C按顺时针方向旋转一定角度到图2的位置，探究线段BD，AE之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，等边和等边有公共的顶点C，请直接写出线段BD，AE之间的数量关系和线段BD，AE所在直线相交所夹锐角的度数.
19、已知和都是等腰三角形，且AB=AC，AD=AE．若点D在BC边上运动时，总保持∠ADE=∠B，连接CE，DE与AC交于点F．
（1）①如图1，当点D为BC边中点时，求CE、BC的值；
②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE=BD；
（2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得时，若AB=12，BC=16，则CE的长为________．
20、（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段AE，BD的数量关系为________，AE，BD所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，已知中，AB=7，BC=3，，以AC为直角边作等腰直角，，AC=AD，连接BD，则BD的长为________.
21.在中，，BC=AC=2，将绕点A顺时针方向旋转角至的位置．
问题探究：
（1）如图1，当旋转角为时，连接与AB交于点M，则C′C=________.
（2）如图2，在(1)条件下，连接，延长交于点D，求CD的长．
（3）如图3，在旋转的过程中，连线、，所在直线交于点D，那么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值；如果没有，请说明理由．
22、天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边，连接CQ．求证：BP=CQ；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长．
23、如图1，是等边三角形，过点C作，点D在CB的延长线上，点E在直线CM上．
（1）若，
①求证：BD=CE；
②若等边的边长为6，且，求点E到BC的距离；
（2）若，延长AB交DE于点F，如图2，求证：．
24、在正方形ABCD中，点E是正方形AB边上或正方形内部一点，连接DE，以DE为边向右侧作等腰，且，连接CF．
（1）如图1，当点E在正方形AB边上时，AE与CF的数量关系是________，AE与CF的位置关系是________；
（2）如图2，当点E在正方形内部时，连接AE，（1）中结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点O为EF的中点，过点F作，连接AO并延长，与FG交于点G，连接CG，请判断的形状，并说明理由．
25、如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，OD=AD？
26、如图(a)，已知点B(0，3)，点C为x轴上一动点，连接BC，和都是等边三角形．
（1）求证：BO=DE；
（2）如图(b)，当点D恰好落在BC上时，此时点C的坐标为.
①求点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；如不存在，说明理由．
27、（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为________
②________．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，∠，，AB=5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3．将绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）
28、如图，点B是线段AC上一动点，，均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点H，F，CD交BE于点G，连接FG．
（1）求证：AE=DC；
（2）证明：是等边三角形．
29、在直线AB的同一侧作两个等边三角形和，连接AE与CD，试解决下列问题：
（1）求证：AE=DC；
（2）求∠DHA的度数；
（3）连接GF，试判断形状．
30、探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B，点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知，均为等边三角形，连接CE，BD，若，则∠ADB+∠ADE=________度；
（3）如图3，已知点E在等边三角形外，点E，点B位于线段AC的异侧，连接BE，CE．若，猜想线段BE，AE，CE三者之间的数量关系，并说明理由．
第五讲：一线三等角（P61）
基本模型
模型1：同侧型
1、点P在线段AB上，.
（1）锐角一线三等角
（2）一线三垂直
（3）钝角一线三等角
结论：
2、点P在线段AB的延长线上，.
（1）锐角一线三等角
（2）一线三垂直
（3）钝角一线三等角
结论：
模型3：中点型一线三等角
3、如图，当，D是BC中点时，.
【学以致用】
如图，在等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作与点D，过点B作于点E.求证：.
如图，在四边形ABCD中，，，，若点P是AD上的一点，且，求AP的长.
3、如图，等边的边长为3，P为BC上一点，且，D为AC上一点，若，求CD的长.
4、如图，四边形ABCD中，，，过点C作，
与AB交于点E.求证：.
5、如图，在中，，D是BC的中点，，求证：.
6、如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作.
（1）当时，，；
（2）线段DC的长度为何值时，，请说明理由.
7、如图，在矩形ABCD中，将沿PC折叠，使点B落在AD上点处，若，，求的值.
8、如图，半圆O的直径，，点D在上，且，点P是半径OC上的一个动点，连接DP，过点P作，交直径AB于点F，当点P在半径OC上移动时，求点F可左右移动的最大距离.
9、如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点（不包括A、B两点），C是线段OB上一点，，若，求点P的坐标.
10、如图，在平面直角坐标系中，，，点B在的图像上，求过点A的反比例函数的解析式.
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点P是抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，将线段PB绕着点P逆时针旋转得到PC，当点C恰好落在抛物线上时，求点P的坐标.
12、如图①，在中，，，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，于点D，于点E.
（1）填空：线段BD与DE、CE之间的数量关系为 ；
（2）若直线AE绕点A旋转到如图②位置时，其他条件不变，判断线段BD与DE、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若直线AE绕点A旋转到如图③位置时，其他条件不变，判断线段BD与DE、CE之间的数量关系怎样？请写出结果，不必证明.
图① 图② 图③
13、在中，，，点D在BC所在的直线上运动，作（点E在点A右侧）.
（1）如图①，若点D在线段BC上运动，DE交AC于点E.
①求证：；
②当是等腰三角形时，求AE的长；
（2）如图②，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，求出线段CD的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）如图③，若点D在BC的反向延长线上运动，DE交AC的延长线于点E，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由.
图① 图② 图③
14、如图，在矩形ABCD中，P是AB的中点，Q是BC上一动点，沿PQ折叠，点B落在点E处，延长QE交AD于点M，连接PM.
（1）求证：；
（2）当时，将沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.
①求证：；
②若，，求BC的长.
15、如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是直线BC 下方的抛物线上的一点，连接AC、BD、CD，当四边形ABDC的面积最大时，求点D的坐标；
（3）点M是抛物线上一点，将线段AM绕点A顺时针旋转得到AN，若点N在抛物线的对称轴上，求点M的坐标.
第六讲：一线三垂直（P63）
模型概述
模型一：等腰三垂直全等模型
（1）如图所示，以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形。
结论：
①
②AD=CE，BD=AE
（2）如图所示，以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形。
结论：
①
②AF=CE，BF=AE
模型二：等腰直角对直角全等模型
如图所示，等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形。
结论：
①
②AE=AF，BE=CF
【学以致用】
1.【模型建立】如图，已知直角中，，，过点C任作一条直线（不与CA、CB重合），过点A作于D，过点B作于E．易证．进一步得到全等三角形的对应线段和对应角分别相等．这一证明在平面直角坐标系中也被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1．若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为4，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图2．已知直线与y轴交于B点，与x轴交于A点．过点A作于A，截取过点B，C作直线，求直线BC的解析式；
【模型拓展】
（3）如图3，平面直角坐标系中，在中，，，AB与y轴交点D，点C的坐标为．A点的坐标为，求B，D两点坐标．
2.已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，，，直线MN经过点A，于点D，于点E.
（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系。
3.如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角，且，过C作轴于点D，OB的垂直平分线交AB于点E，交x轴于点G，连接．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）求证：线段EG为的中位线；
（3）点N在直线MG上，使得，求点N的坐标．
4.如图1，已知，在中，，，，垂足分别为D，E，且.
（1）求证：；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断的形状，并说明理由．
5.（1）模型建立：如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
求证：;
（2）模型应用：①如图2，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图2，在直线AC上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标：
（3）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件点D的坐标．
6.如图，已知四边形ABCD和均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：
（2）求证：四边形是正方形；
（3）若四边形的面积为10，，求点A，E之间的距离．
7.如图，四边形ABCD中，，P是线段上一点，.
（1）如图1，若，，求证：.
（2）如图1，在（1）的条件下，问、、之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图2，若，且，，问、、之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明.
8.如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时，________度；
（2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，于N，若，，求MN．
（3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
9.如图，已知：中，，，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点.
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是________；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作于点E，过点C作于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是________；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：；
（4）如图4，已知，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作于点E，过点C作于点F，设线段的长度为，线段CF的长度为，试求出点P在运动的过程中的最大值.
10.请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在中，，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接CD．则的面积是________
（2）探究2：如图2，在中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接CD．求的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接CD．试探究用含的式子表示的面积，要有探究过程．
11.【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题．如图1，把一块三角板（，）放入一个形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型：如图2，在中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理．
【拓展应用】如图3，在中，，，点D、F分别是边、AB上的动点，且．以DF为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段DC、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4．已知，点G是AC的中点，连接、，直接写出的最小值．
12.已知在中，，，点D是AC边的中点，点、F分别在射线AB、BC上，且．
（1）试说明的理由；
（2）如图1，当点E在AB上、点F在BC上时，试说明的理由；
（3）如图2，当点E在AB的延长线上、点F在BC的延长线上时，试问，与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由．
13.动手操作
利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形ABC的AB边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H．
思考探索
（1）在图1中：易知与全等，
①的面积为________；
②________；
拓展延伸
（2）如图2，若为任意直角三角形，，BC、AC、AB分别用a、b、c表示．AB边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点；
①与全等吗？并说明理由；
②________；（用a、b、c表示）
（3）如图3，在，，，，，，连接.
①的面积为________；
②点D是BC边的高上的一点，当________时，有最小值________.
14.如图1，在中，，，点E是BC上一点，连接AE，过点B作交AE的延长线于点F，过点C作于点G.
（1）求证：；
（2）如图2，点D是BC的中点，连接DF，DG.
①求的度数；
②当，且点E为BD中点时，求的面积.
15.（1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．证明：；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE，若，试判断的形状．
16.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，点P为线段AB上的动点，连接DP，作交直线于点Q．
①若点P与A，B两点不重合，求的值；
②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径长．
17.如图1，，，以AB为腰在第三象限作等腰，.
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰，，过D作轴于E点，求的值；
（3）如图3，点F坐标为，点在y轴负半轴上，点在x轴正半轴上，且，求的值．
18.如图，在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点E.
（1）当直线MN经过点C，如图1的位置时，①试说明；②；
（2）当直线MN经过点C，如图2的位置时，请写出DE，AD，BE之间的数量关系．（不需要说明理由）
第七讲：半角模型（P81）
基本模型
模型1：正方形含半角
1、如图，在正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转到，使AD与AB重合.
结论：（1）
（2）
（3）的周长
模型2：等腰直角三角形含半角
2、如图，在，AB=AC，，，绕点A逆时针旋转到，使AB与AC重合.
结论：（1）
（2），
（3）
模型3：等边三角形含半角
3、如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，以点D为顶点作一个角，使其两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF，绕点D顺时针旋转到，使DB与DC重合.
结论：（1）
（2）
【学以致用】
1、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，且BE=DF，求证：CE=CF．
（2）如图2，若点E，G分别在边AB，AD上，且，连接EG，求证：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下列题目：
如图3，在四边形ABCG中，，，AB=BC=6，E是AB上一点，且，BE=2，求GE的长．
2、已知，四边形ABCD是正方形，，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H
（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；
小萍同学通过观察图1发现，和关于AM对称，和关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图3进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？
3、如图，在中，，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出和的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．
4、如图，在中，，AD⊥BC于D，将沿AC折叠为，将沿AB折叠为，延长FC和GB相交于点H．
（1）求证：四边形AFHG为正方形；
（2）若BD＝6，CD＝4，求AB的长．
5、如图，在四边形纸片ABCD中，，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）若EC=FC=1，求AB的长度．
6、如图所示，中，已知∠BAC等于45度，AD⊥BC于D，BD等于3，DC等于2，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出、的轴对称图形，D点的对称点为G、F，延长GB、FC相交于H点，证明四边形AGHF是正方形；
（2）设AD等于x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的值．
小萍是这样思考的：由折叠得：AG=________，AF=________然后利用勾股定理就可以求出x的值了．请你写出后面的推理过程．
7、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，，，AB=BC=12，E是AB的中点，且，求DE的长；
②如图3，在中，，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则的面积为________（直接写出结果，不需要写出计算过程）．
8、问题情境：如图，在中，，AC=BC，D，E两点都在边AB上，.
猜想证明：
（1）求证：；
（2）猜想，，之间的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）若，AD=3，请直接写出线段CE的长．
9、如图（1），在中，，AB=AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA．AE交边BC于点F．
（1）请在图（1）中找出两组你认为相似的三角形；（不需证明，和除外．）
（2）特例发现：如图（2），连结CE，当AD=AF时，
①求证：BD=CF；
②观察图形并猜想∠ACE的度数．（直接写出结果，不说理由．）
（3）类比探究：如图（3），当时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（4）拓展运用：如图（4），在（3）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若，则DF的长为________．（直接写出结果，不说明理由）
10、初步发现：（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，小明把绕点A逆时针旋转至，从而发现EF=BE+FD.请你证明这个结论．
类比引申：（2）如图2，四边形ABCD中，，AB=AD，，点E，F分别在边BC，CD上，∠BAD=2∠EAF.求证：EF=BE+FD.
拓展应用：（3）如图3，在四边形ABCD中，已知AB=AD=8，，，，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥AD，，连接EF，求EF的长．
11、在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为外一点，且，，BP=CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM=PN时，试说明MN=BM+CN的理由．
（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN=BM+CN还成立吗？
答：________(请在空格内填“一定成立”、“不一定成立”或“一定不成立”)．
（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
12、如图1，四边形ABCD是菱形，BD是其对角线，．点F，G是边AB，BC上的点，且是等边三角形．
（1）证明：BF=CG；
（2）在图1中，线段BF，BG，BD之间有什么数量关系？试证明你的结论；
（3）如图2，若点E是线段BD上的点，点G是直线BC上的点，其他条件不变，线段BF，BG，BE之间有什么数量关系？试证明你的结论．
13、AC是菱形ABCD的对角线，，AB=2，，将∠EAF绕顶点A旋转，∠EAF的两边分别与直线BC，CD交于点E，F，连接EF．
（1）【感知】如图1，若E，F分别是边BC，CD的中点，则CE+CF=________．
（2）【探究】如图2，若E是线段BC上任意一点，求CE+CF的长；
（3）【应用】如图3，若E是BC延长线上一点，且EF⊥BC，求的周长．
14、如图所示的是与菱形有关的三个图形．
（1）感知
如图1，AC是菱形ABCD的对角线，，E，F分别是边BC，CD上的中点，连接AE，EF，AF．若AC=3，则CE+CF的长为________.
（2）探究
如图2，在菱形ABCD中，，.E是边BC上的点，连接AE，作，边AF交边CD于点F，连接EF．若BC=3，求CE+CF的长．
（3）应用
在菱形ABCD中，．E是边BC延长线上的点，连接AE，作，边AF交边CD的延长线于点F，连接EF．当BC=3，EF⊥BC时，在图3中，将图形补充完整并求的周长．
第八讲：对角互补（P92）
基本模型
模型1：全等型（）
1、如图，已知∠AOB＝∠DCE＝，OC平分∠AOB.
结论：（1）CD＝CE
（2）OD＋OE＝OC
（3）
模型2：全等型（）
2、如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，
∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
结论：（1）CD＝CE
（2）
（3）
模型3：全等型（）
3、如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.
结论：（1）CD＝CE
（2）OD＋OE＝OC
（3）
模型4：全等型（）
4、如图，已知，OC平分∠AOB.
结论：（1）CD＝CE
（2）
（3）
模型5：相似型（）
5、如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.
结论：.
【学以致用】
1、如图，在中，∠ABC＝90º，AB＝3，BC＝4，在中，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝PF时，AP＝ .
2、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则 .
3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点，B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为 .
4、如图，在正方形外作直线FE并经过正方形的顶点C，分别过点B、D作直线FE的垂线，垂足分别为点E、F，求证：.
5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点O旋转，求证：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个重叠部分面积总是一个定值，并求这个定值.
6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的长.
7、如图，在中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：.
8、在中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且∠MDN＝90º，若，求证：.
9、如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.
（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；
（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.
10、在等边中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；
（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
11、抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C.
（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线交轴于点Q，连接BQ。若含45º角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；
12、如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
第九讲：将军饮马（P98）
知识背景
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。
模型概述
将军饮马模型主要是指求路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
基本原理
1、两点之间，线段最短；
2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3、中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4、垂线段最短。
基本模型
模型一：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求和最小。
1、如图，定点A、B分布在定直线l两侧，在直线l上找一点P，使的值最小。
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求，PA+PB的
最小值即为线段AB的长度。
理由：在l上任取异于点P的一点，连接、，
在中，，即
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小。
基本原理：三角形两边之和大于第三边；两点之间，线段最短。
模型二：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求和最小。
2、如图，定点A和定点B在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点，连接交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段的中垂线，由中垂线的性质得：，要使PA+PB最小，则需值最小，从而转化为模型1。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
模型三：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求差最大。
3、如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等），在直线l上找一点P，使的值最大。
解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
理由：此时，在l上任取异于点P的一
点，连接、，由三角形的三边关系知，即.
基本原理：三角形两边之和大于第三边。
模型四：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求差最大。
4、如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等），在直线l上找一点P，使的值最大。
解：作点B关于直线l的对称点，连接并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段的中垂线，由中垂
线的性质得：，要使最大，则需值最大 ，从而转化为模型3。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
模型五：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线同侧，求和最小。
5、如图，A为锐角∠MON外一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小。
解：过点A作于点Q，AQ与OM相交于点P，此
时，AP+PQ最小；
理由：，当且仅当A、P、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小。
基本原理：垂线段最短。
模型六：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。
6、如图，A为锐角∠MON内一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小。
解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON
于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，
只需A′P+PQ最小，从而转化为模型5。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等，垂线段最短。
模型七：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。
7、如图，A为锐角∠MON内一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使的周长最小。
解：分别作A点关于直线OM的对称点A1，关于ON的对
称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点
P和点Q即为所求，此时周长最小，最小值
即为线段A1A2的长度；
理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，的周
长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线
时，其值最小。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。
模型八：两条定直线，一条定线段，两个动点，定线段在两直线异侧，求和最小。
8、如图，A、B为锐角∠MON内两个定点，在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小。
解：作点A关于直线OM的对称点，作点B关于直线
ON的对称点，连接交OM于P，交ON于Q，则
点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即
为线段AB和的长度之和；
理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为，将QB转化为，当、P、Q、四点共线时，的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。
模型9：两条平行直线，一条垂线段，两个定点，定点在平行线外侧，求和最小。
9、如图，直线，A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直），在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点
Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此
时AP+PQ+BQ最小。
理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小。
基本原理：两点之间，线段最短。
模型10：一条定直线，一条动线段，两个定点，定点在直线异侧，求和最小。
10、如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边），确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小。
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至，使=PQ=a，连接交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为+PQ，即+a。
理由：易知四边形为平行四边形，则，当、Q、B三点共线时，+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。
基本原理：两点之间，线段最短。
模型11：一条定直线，一条动线段，两个定点，定点在直线同侧，求和最小。
11、如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边），确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小。
解：作A点关于l的对称点，将点沿着平行于l
的方向，向右移至，使，连接
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
，即。
理由：易知四边形为平行四边形，则，当、Q、B三点共线时，最小，即最小，又AB长为定值，此时四边形APQB周长最小。
基本原理：两点之间，线段最短。
模型12：两条定直线，两个定点，两个动点，两个定点分别在两条直线上，求和最小。
12、如图，点A在射线OM上，点B在射线ON上，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AQ+QP+PB最小。
解：作点A关于直线OM的对称点，作点B关于直线
ON的对称点，连接交OM于P，交ON于Q，则
点P、点Q即为所求，此时AQ+QP+PB最小，即为线段的长；
理由：AB长为定值，将QA转化为，将PB转化为，当、P、Q、四点共线时的值最小，即AQ+QP+PB的值最小。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。
典例精析
例1、如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小．
令中x=0，则y=4，∴点B坐标；
令中y=0，则，解得：，
∴点A的坐标为．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴CD为的中位线，
∴轴，且，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴O为DD′的中点，D′，
∴OP为的中位线，
∴，
∴点P的坐标为．
在中，CD′===5，即PC+PD的最小值为5.
例2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P在直线上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________，|PA﹣PB|的最大值是_________.
解：作A关于直线对称点C，易得C的坐标为；
连接BC，可得直线BC的方程为，
与直线联立解得交点坐标P为；
此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC==。
例3、如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、
AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为 ．
解：作点B关于AC的对称点E，再过点E作EN⊥AB于N，则BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；
∵AB=10，BC=5
∴AC==
等面积法求得AC边上的高为
∴
易知
∴，代入数据解得EN=8
即BM+MN的最小值为8
例4、如图，，点P是内的定点且，点分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则周长的最小值是多少？
解：如图，作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N.
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，
，
∴此时周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵，
∴OH=OC=，CH=OH=，
∴CD=2CH=3．
即周长的最小值是3.
例5、如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，，，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.
解：（1）∵∠A=60°，AD=2，
∴，
∴，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=OC=6，
∴DB=6-2=4，
∴
（2）如图，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，
∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四边形OMPE是矩形，
∴PM=OE=，
∵OE=OE′，
∴PM=OE′，，
∴四边形OPME′是平行四边形，
∴OP=EM，
∵PM是定值，
∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，
∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，
∵直线OB的解析式为y=x，
∴．
例6、如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，把绕点O按顺时针方向旋转90°，得到．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．
解：（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4，
∴C点的坐标是，D点的坐标是.
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意，得
解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（3）要使四边形ACEF的周长最小，只需AF+CE最短.
抛物线的对称轴为x=1.
将点A向上平移至，则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点
，连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，
可求得A2C的解析式为，当时，，
∴点E的坐标为，点F的坐标为．
【学以致用】
1、如图，正方形ABEF的面积为4，是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（ ）
A.B.C.12D.
2、如图，在中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，的周长是20，若点P在直线MN上，则的最大值为（ ）
A.12B.8C.6D.2
3、如图，在∠MON的边OM，ON上分别有点A、D，且∠MON＝30º，OA＝10，OD＝6，B、C两点分别是边OM，ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为 .
4、如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且，P为对角线BD上一点，则的最大值为 .
5、如图，在菱形ABCD中，，∠A＝120º，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 .
6、如图，等边的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则的度数为多少？
7、如图，在中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.
（1）若∠ABC＝70º，则∠NMA的度数是 ；
（2）若AB＝8，的周长是14.
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出周长的最小值.
8、如图，在四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF.
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30º，点P为BE上的动点，求的周长的最小值.
9、如图，在中，AB＝AC，AD是中线，且AC是DE的中垂线，
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝90º，BC＝8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求的面积.
10.如图，在中，∠ACB＝90º，以AC为边在外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE，
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.
11、如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，，若点M、N分别为边CD、AD上的动点，则的周长最小值为（ ）
A.B.3C.6D.3
12、如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是（ ）
A.12B.15C.16D.18
13、如图，等边中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝ .
14、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC＋PD的最小值为 .
15、如图，在中，∠ACB＝90º，点D是直线BC上一点.
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度；若不存在，请说明理由.
16、如图，在锐角三角形ABC中，，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM＋MN的最小值.
17、如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90º，E、F分别为边AB、CD的中点.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝4，∠DEB＝120º，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF＋PM的最小值.
18、已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.
（1）求证：PE＝EM；
（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.
第十讲：十字模型（P110）
基本模型
模型1：正方形
1、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是CD、AD上的
两点，则有（互逆）
2、如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别在CD、AD、
BC边上，则有（不互逆）
3、如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、
CD、AD、BC边上，则有（不互逆）
模型2：矩形
4、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点，则有
.
【学以致用】
1.问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，，于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE与AF相交于点G，，，，，求DE的长．
2.已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
观察猜想：（1）如图1，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：________，位置关系为：________
探究证明：（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且，求证：；
拓展延伸：（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论.
3.如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①，②（不需要证明）．
（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图④，在（2）的基础上，连结和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并写出证明过程．
4.如图，已知中，，先把绕点B顺时针旋转至后，再把沿射线AB平移至，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
5.如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作．垂足为点F，且，过点F作，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形．
6.在中，，以斜边AB为边向形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）
（1）求证：EO平分．
（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．
（3）过点C作于F，过点D作于H，CF和的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形为正方形．
7.如图①，在正方形中，点E，F分别在AB、BC上，且．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
8.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点C作于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H．
（1）求证：；
（2）当时，求线段GH的长．
9.如图，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①；②；③.
（1）从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题．写出该命题并证明；
（2）若，EG垂直平分AF，设.
①求的值（含的代数式表示）；
②连接FG，点P在FG上，当四边形是菱形时，求的值．
10.如图，在正方形ABCD中，G是对角线AC的中点，点H是边CD上一动点，连接BH，，，垂足分别为E，F，连接EG，FG．
（1）求证：①；②；
（2）若，H是CD的中点，求的长．
11.【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最短距离为________；
【直接运用】（2）如图1，在中，，，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是________；
【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由；
【灵活运用】（4）如图3，的半径为4，弦，点C为优弧AB上一动点，，交直线CB于点M，则的面积最大值是________．
12.如图1，已知正方形ABCD和正方形，点F，C，B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相交于点M．
（1）求证：；
（2）如图2，N是BC边上的一点，连接AN交BE于点H，且.
①求证：；
②若，求的值．
13.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：.
14.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD上两点，且
（1）写出BE与AF之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若正方形的边长为2，点E为AD的中点时，连接GD，试证明GD是的角平分线，并求出GD的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，作交AB于点Q，请直接写出点D到直线FQ的距离为________.
15.如图，在正方形ABCD中，，E为AB上任意一点，连结ED，作ED的中垂线交=AD于点M，交DC延长线于点N，连结EN交BC于点F．
（1）当E为AB中点时，求的正切值．
（2）在（1）的条件下，求的面积．
（3）当的周长与的周长之差为1时，求的正弦值．
16.如图，在正方形中，点E，F分别是CD，的中点，BE与CF相交于点P．
（1）求证：．
（2）若．
①求CP和AP的长（用含的代数式表示）．
②连结DP，直接写出的度数．
17.已知：如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，BD、AC分别与AE、BF交于点G、H，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接OP，若，，求AB的长．
18.已知，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上任意一点，点F是AB边上任意一点，于点G．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接BG，若，，求BG的长．
19.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．
20.已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A，B，E在同一直线上，连接AG和CE，
（1）判定线段AG和线段CE的数量关系为________；
（2）将正方形BEFG，绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）若在图2中连接AE和CG，且，，求的值．
（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
第十一讲：瓜豆原理（P115）
模型概述
一条折线段，固定其折点；邻边定比例，夹角不改变。主动于直线，从动于直线，主动于(弧)圆，从动于(弧)圆。正所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，“直线生直线”，“圆生圆”，即瓜豆原理。
命题1：如图，若A、B、C为平面内的三个点，点A
为定点，点B在定直线l上运动，在运动过程中，保持
，且不变．
则点C也在某一定直线上运动。
命题2：如图，若A、B、C为平面内的三个点，点A
为定点，点B在半径为r的定⊙O上运动，在运动过程
中，保持，且
不变．则点C也在一定圆上运动。
基本模型
模型一：轨迹之圆篇
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，
连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上
运动时，Q点轨迹是？
解：∵Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，
∴任意时刻，均有，QM:PO=AQ:AP=1:2．确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：．
∴Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
例2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
解：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A
逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹
都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，
且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有．
例3、如图，是直角三角形，且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
解：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M
满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M
满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
例4、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
解：Q点满足①∠PAQ=60°；②AP=AQ，
故Q点轨迹是个圆：
考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，
且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有．
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
例5、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角．当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？
解：Q点满足①∠PAQ=45°；②，
故Q点轨迹是个圆．
连接AO，构造∠OAM=45°且．
M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有
．即可确定点Q的轨迹圆．
模型二：轨迹之线段篇
例6、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分
别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
例7、如图，是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，
P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，
连接即得Q点轨迹线段．
【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量
（是定值）；主动点、从动点到定
点的距离之比是定量（是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等
于（当时，
∠PAQ等于MN与BC夹角）
（2）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由
，可得）
模型三：轨迹之其他图形篇
所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．
例8、如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
解：且，
显然点C的轨迹也是一条双曲线，
分别作AM、CN垂直x轴，垂足
分别为M、N，连接OC，
易证，∴CN=2OM，ON=2AM，
∴，故k=4×2=8．
【学以致用】
如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，
AE与BC相交于点F，有甲、乙、丙三名同学同时从
点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，
乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，
丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是（ ）
A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙
2.如图，点，圆P半径为2，，，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
3.如图，在等腰中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．
4.如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
5.中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．
6.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
7.如图，在平面直角坐标系中，，点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边，连接CG，求CG的最小值是多少？
9.点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为.
10.如图，在中，，AC＝8，BC＝6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为多少？
11.如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为多少？
12.如图，在中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为多少？
13.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？
14.如图，，，，点P是边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角，当点P在边上运动一周时，求点Q的轨迹形成的封闭图形面积是多少？
15.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30º，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路径长？
第十二讲：射影定理（P122）
【学以致用】
1.如图，在中，，，BE平分交CD于F，于H，则下列结论：①；②；③；④若F为BE中点，则，其中正确的结论有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，OP交AB于点D，交于点C，在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出直径的两条线段是（ ）
A.AB，CDB.PA，PCC.PA，ABD.PA，PB
3.如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点（不与点A，B重合），作与半圆交于点C，设，，则下列选项正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，在中，AB是直径，点D是上一点，点C是弧AD的中点，弦于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①；②；③点P是的外心；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④
5.如图，中，，，，，则AD等于（ ）
A.4.4B.5.5C.6.4D.7.4
6.如图所示，在中，，D为BC边的中点，于E，则等于（ ）
A.B.C.D.
7.如图，平面直角坐标系，，将直角绕O点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点处，点A落在处，若B点的坐标为，则线段的长度是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若，则AP等于（ ）
A.B.C.D.
9.如图，点P是的直径BA延长线上一点，PC与相切于点C，，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ）个．
A.1B.2C.3D.4
10.如图，MN为的直径，PM为的切线，，点A在上，交MN于B．若B为ON的中点，则AB的长为（ ）
A.B.C.D.
11.如图，在中，，于点D，，，则（ ）
A.2B.4C.6D.8
12.如图四边形ABCD中，．，过点D作，垂足为F．DF与AB相交于E．设，，P是射线DF上的动点．当的周长最小时，DP的长为（ ）
A.12B.12.5C.13D.13.5
13.如图，在中，CD是边AB上的高，若，，则AD的长为（ ）
A.B.2C.D.3
14.如图，已知AB是的直径，弦，，，那么的值是（ ）
A.B.C.D.
15.如图，在中，，CD是斜边AB上的高．下列结论①；②；③；④，不正确的是________．
16.如图，中，，CE平分，点D在CE的延长线上，连接BD，过B作交CD于点F，连接AF，若，，，则AF的长为________．
17.如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，过点D作的切线与BC的延长线交于点E.
（1）求证：；
（2）若，，，求AD的长．
18.【问题情境】如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明；
（2）若，则________．
19.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作的切线交OE的延长线于点F，已知，．
（1）求的半径；
（2）求CF的长．
20.如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，交AC于点E，过点D作于点F，交AB的延长线于点G．
（1）若，，求的面积；
（2）若，，求BG的长．
第十三讲：胡不归与阿氏圆（P131）
知识背景
从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉家乡
年迈的老父亲病危的消息后，便日夜兼程回家。由于思
念心切，他选择了一条全是砂砾地带的直线路径。当他
气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气。小伙子
不禁失声痛哭，老人的邻居告诉他，在弥留之际，老人不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？……”并用很可惜的语气问：“你为什么不先沿着驿道走一段呢？”老人在弥留之际念叨“胡不归”，虽然只是表达了对儿子的思念，但儿子对回家路线的不当选择，也是造成父子不能相见的重要原因。小伙子由于心急选择了最短路径AP，虽有一定道理，但他忽略了在驿道上行走要比在砂砾地带上行走更快这一因素，如果他能选择一条更合适的路线，先沿着驿道行走一段AC，再沿着砂砾地带行走一段CP，尽管这条路线要长一些，但可以节约时间，从而能够提前到家。于是，问题就成为：如何确定点C的位置，能使所用的总时间最少？这便是古老的“胡不归”问题。
阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
模型概述
“”型的最值问题。
点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
基本原理
（1）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）两点之间，线段最短；
（3）垂线段最短。
基本模型
模型一：点P在直线上运动：“胡不归”问题
1、如图所示，已知，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当PA+k·PB的值最小时，P点的位置如何确定?
解：过点P作PQ⊥BN垂足为Q，
则，
∴PA+k·PB的最小值转化为求PA+PQ的最小值，
当A、P、Q三点共线时，PA+PQ最小。
模型二：点P在圆上运动：“阿氏圆”问题
2、如图所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当PA+k·PB的值最小时，P点的位置如何确定？
解：在线段OB上截取OC使OC=k·r，
∵
∴
∴，即
∴的最小值转化为求的最小值
当A、P、C三点共线时，最小。
【学以致用】
1、如图，在直角坐标系中，，，，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．B．C．D．
2、如图，一条笔直的公路穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．)
3、如图，在中，AB＝AC＝10，，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是________.
4、如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有多少个？
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
6、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是多少？
7、如图，在中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）证明：CE是⊙O的切线；
（2）若中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
8、抛物线与轴交于点A、B(A在B的左边)，与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.
9、如图，已知抛物线(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
10、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值；
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么的最小值为？的最大值为？
11、如图1，抛物线与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设的周长为C1，的周长为C2，若，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求的最小值．
12、如图，在中，∠ACB＝90º，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，P为圆C上一动点，连接AP、BP，则的最小值是 .
13、如图，的半径为，，MO＝2，∠POM＝90º，Q为上一动点，则的最小值为 .
14、如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(4，4)，点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是 .
15、如图，在中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．
（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；
（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明；
（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出的最小值.
16、如图，抛物线与直线AB交于，两点，直线AC：交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．
17、问题提出：如图1，在等边中，AB＝12，半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有，又∵，∴，
∴，∴，∴．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ．
（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，的最小值为 ．
（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求的最小值，画出示意图并写出求解过程．
18、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，的半径为4，点D是上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最小值为 .
19、如图，在平面直角坐标系中，、、、，P是外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是 .
20、如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上.
（1）求2PC＋PD的最小值；
（2）求2PC＋3PD的最小值.
第十四讲：四点共圆（P155）
判定方法
【学以致用】
1.（1）已知AB是的弦，且，点C是上的点，，则的半径=________：
（2）如图1，在四边形ABCD中，，对角线，，求BD的长；
（3）如图2，三个顶点坐标分别为，，，M、N分别是边AB，AC上的动点，在变化过程中MN的长度始终等于3，过点M、N分别作，直线MP与NP交于点P，连接PB，PC，求面积的最小值．
2.如图，等边三角形和矩形ABCD有共同的外接圆，且.
（1）求证：；
（2）在劣弧AB上有动点F，连接DF、CF、BF，DF分别交AE、AB于点M、P，CF交BE于点N．
①设与的周长分别为和，试判断的值是否发生变化，若
不变则求出该值；若变化请说明理由；
②若，求BF的长．
3.如图1，点E，F在正方形ABCD的边AD，DC上，且，BE与AF交于点G．
（1）图1中与相等的角是________；
（2）如图2，当时，连接DG，
①求的度数；
②过点G作DG的垂线分别交AD，BC于M，N，求的值．
4.（1）问题发现
如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
①线段AD，BE之间的数量关系为________；
②的度数为________；
（2）拓展探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及的度数；
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点C到直线BP的距离.
5.（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为_______②______．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，，，，点D在AB边上，于点E，．将绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）
6.已知如图，在平面直角坐标系中，点，分别是x轴上两点，且m，n满足，点是y轴正半轴上的动点.
（1）求三角形的面积（用含h的代数式表示）；
（2）过点P作，，且，.
①连接AD，BC相交于点E，再连PE，求的度数；
②连CD与y轴相交于点Q，当动点P在y轴正半轴上运动时，直接写出PQ的长度.
7.（1）如图1所示，和均为等腰直角三角形，且，，，连接AD、BE，求的值；
（2）如图2所示，在中，，，，过点A作，点P是射线AM上一动点，连接CP，做交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值．
8.如图，菱形ABCD的边长为1，，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：；
（2）求的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，的大小是否变化？为什么？
9.如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中，，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分；
（3）过点D作交AB于点F，求证：．
10.【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，，，CD=4，连接AC．若，求的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，，，当时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点，，，四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于内部，．设，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
11.在中，，，点D在边BC上，且，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当时，
①求证：；
②推断：________；
（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若，求DF的长．
12.在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
13.如图1，在中，，，D为内一点，将绕点C按逆时针方向旋转角得到，点A、D的对应点分别为点B、E，且A、D、E三点在同一直线上．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，在中，，，，点C到A、B的距离相等，且，请直接写出点C到AP的距离．
14.如图，在矩形ABCD中，，，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，，作线段AP的垂直平分线交AP，BD于点F，G，交AB，CD于点M，N．
（1）求证：；
（2）求EF的长；
（3）连接CF，求的正切值．
15. （1）发现
如图①，和均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE
填空：①的度数是________；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是________.
（2）探究
如图②，和均为等腰直角三角形，，点D在BC边上，连接CE．请判断的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
（3）应用
如图③，在中，，，．若点D满足，且，请直接写出DA的长．
16.在平面直角坐标系中，过点的抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，过点A作轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作交AC于点M，过点M作射线MN，使，交射线GD于点N，过点G作，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D到x轴的距离是4，抛物线与y轴相交于点C，与x轴相交于A，B两点，已知，点A的坐标为．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求证：是直角三角形；
（3）在y轴上是否存在异于点C的一点E，使得C，D，B，E四点共圆？如果存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
18.已知正方形ABCD的边长为2，作正方形AEFG（A，E，F，G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE，GD.
（1）如图①，当点E在正方形ABCD外时，线段BE与线段DG有何关系？直接写出结论；
（2）如图②，当点E在线段BD的延长线上，射线BA与线段DG交于点M，且时，求边AG的长；
（3）如图③，当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上，直线AB与直线DG交于点M，且时，直接写出边AG的长．
19.在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：是等边三角形，点D是内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时：
（1）观察填空：
①与全等的三角形是________；
②的度数为________；
（2）利用题干中的结论，证明：C，D，F，E四点共圆；
（3）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系________．
20.如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，，，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中；
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．
2024中考数学
几何模型全集
（答案）
等积式：
判定1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
判定2：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。
判定3：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
判定4：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
判定5：同斜边的直角三角形的顶点共圆。
判定6：若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。
判定7：若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆（割线定理）。
判定8：若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理）。
第一讲：三角形中的线
【参考答案】
1.解：（1）∵AD为的中线，
∴，
∵，
∴，
即的周长-的周长=3，
∵的周长为10，
∴的周长为13．
（2）如图，EF即为所作；
∵的面积为20，即，且，
∴，即点E到直线BC的距离为5．
（3）如图1：当时，，
∵，
∴
如图2：当时，，
∵，射线BE平分，
∴，
∴；
如图3：当时，.
2.解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴和面积相等．
②∵点M为CD的中点，
∴和面积相等，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
（2）的面积是或
分为两种情况：①如图1，
∵，∴
∵沿CD折叠A和E重合，∴
∵与重合部分的面积等于面积的
∴，
∴，
∴四边形EDCB是平行四边形，∴
过B作于M，∵，
∴，即C和M重合，∴
由勾股定理得：
∴的面积是
②如图2，．∴
∵沿CD折叠A和E重合，∴
∵与重合部分的面积等于面积的
∴
∴，，∴四边形EBDC是平行四边形，
∴
过C作于Q，
∵，
∴
∴
即的面积是或
3.解：（1）
（2），
∵AD是的平分线，
∴，
∴,
在中，，
∴
∵，
∴
∴.
4.（1）解：∵，E为AB的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故
（2）①证明：∵，
∴，∴，
即，
∴，
而，
∴，
∴，
，
∴，即．
②设，，
由（1）可知，
又，
∴，
∴．
由①可知，
∴，
∴．
在中，，
∴，∴，
∴．
5.解：（1）①∵，，，
∴.
∵点O是BC的中点，
∴，
∴.
②如图1，取AC的中点D，连接OD，
∴.
∵，
∴.
在中，，
∴.
故答案为：0；7.
（2）
取AC的中点D，连接BD，
∴.
过点B作交CA的延长线于，
在中，，
∴.
∵，
∴，，
∴.
在中，根据勾股定理得，，
∴.
（3）如图3，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴①.
取AN的中点D，连接BD，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴②，
联立①②得，或（舍），
∴，，
∴．
6.（1）解：设这个等腰三角形的顶角为，
则底角为.
当顶角是底角的3倍时，，解得；
当底角是顶角的3倍时，，解得.
综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或.
故答案为：或.
（2）①证明：如图1，连接AE.
∵点D为AB的中点，，
∴，∴，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴．
②解：若，猜想：.
∵点D为AB的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，当时，
，
∴.
故答案为：．
（3）解：如图2，取OB的中点M，连接AM.
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
∵，，
由（2）可知，
∴，
设，，则，
由勾股定理可得
解得，
∵，∴．
7.（1）证明：∵在中，，CD为的中线，
∴，
∴PD为的中线，且，
故.
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
又∵，
∴，
∴.
∵，
∴，即.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴是等边三角形，
∴.
（3）解：∵CD是的中线，且，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
8.解：（1）如图1中，∵，，
∴，.
∵，
∴，，
∴，
∴，．
在图2中，连接EF，如图，
∵，，
∴，.
∵，
∴，.
在中，∵，
∴，，
∴，，
∴，.
故答案为：；；；．
（2）．理由如下：
连接EF，如图，
∵AF，BE是的中线，
∴，，
∴，
∴.
设，，
则，，
∴，
，
，
∴．
（3）取AB中点H，连接FH，并延长FH交DA的延长线于点P，如图，
∵在和中，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，.
∵，，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴.
∵，
∴，即，
∴是中垂三角形.
由（2）可知，.
∵，，
∴，
∴．
9.解：（1）是；
（2）①平行；②1；③；④16.
10.解：（1），理由如下
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
（2）∵BF平分，
∴
∵
∴
由（1）知
∴
∴
∴，
∴；
（3）连接AD、DF
∵F是AC中点，G是FC中点，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵S△BCG:S△BDG=BC:BD
即
解得
∴
∵
∴
解得或（不符合实际，舍去）
即．
11.（1）解：∵，
∴可设，，
又∵，
∴，
解得．
∴．
（2）证明：∵是的外角，
∴．
同理可得，．
∵MC、MB分别平分、，
∴，，
∴．
∵，
∴.
（3）猜想．
证明如下：
∵BQ平分，CQ平分，
∴，，
∴．
由（2）知：．
又由轴对称性质知：，
∴．
12.（1）解：如图1，
∵BO平分，CO平分，
∴，，
∴
∴.
如图2，
∵BO平分，CO平分，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴
如图3，
∵BO平分，CO平分，
∴，，
∴
∴.
如图4，
∵，的三等分线交于点，，
∴，，
平分，平分，平分，
∴
∴，
∴.
故答案为：，，，.
（2）证明：∵OB平分，OC平分，
∴，，
∴
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
13.（1）证明：在和中，
∴
∴，
即，
∴．
（2）如图，设，则，
∵，
∴，，，
∵AI、CI分别平分，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴，.
14.解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，.
故答案为：，.
（2）如图，作轴.
根据题意，设，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵轴，
∴，
∴，
∴.
（3）的大小不变，.
理由：如图，过D作，过N作下
∵轴，
∴轴，轴，
∴，.
∵，
∴，
∴
∵MN平分，AN平分，
∴，
∴.
15.解：（1）∵
∴
又∵BD平分，CD平分
∴
∴
（2）①；
②不变，；
③
16.证明：（1）①∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴.
②在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）连接DN，
易证，
所以，
在和中，
∴，
∴，
∵在中，，即，
∴，
又∵，
∴，
∴．
17.解：（1）提示：作；
（2）；
（3）
18.解：（1）略；
（2）提示：利用角平分线和平行线性质证明；
（3）
19.解：（1）；
（2）.
20.（1）解：设点M的坐标为，
∵点，，
∴，，
∵，
∴点M一定在点C的下方，
当时，
则，
解得，
∴点M的坐标为，
当时，
则，
解得，
∴点M的坐标为，
综上所述，点M的坐标为或；
（2）证明：如图，过点D作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DB、DA分别平分、，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：如图，
∵和的平分线相交于点E，
∴设，，
∵，
∴，
∴
∴，
即：，
∴，
∵，，
∴，
即：，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的值为2．
第二讲：倍长中线
【参考答案】
1、解：（1）证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
∴AE＝2AD．
∵AD是的中线，
∴BD＝CD，
在和中，，
∴，
∴BE＝AC，
在中，，
∴；
（2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC，
在中，，
∵AC＝3，AB＝5，
∴，
∴，
∴.
2、证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在和中，，
∴，
∴AC＝EB，∠2＝∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC.
3、证明：如图，延长CD到F，使DF＝CD，连接BF．
由题意可得CF＝2CD，
∵CD是的中线，
∴BD＝AD，
在和中，，
∴，
∴BF＝AC，∠3＝∠A，
∵CB是的中线，∴BE＝AB，
∵AC＝AB，∴BE＝AC，
∴BE＝BF，
∵∠CBE是的一个外角，∴∠CBE＝∠BCA＋∠A＝∠BCA＋∠3，
∵AC＝AB，∴∠BCA＝∠CBA，
∴∠CBE＝∠CBA＋∠3＝∠CBF，
在和中，，∴，
∴CE＝CF，∠4＝∠5，∴CE＝2CD，∴CB平分∠DCE.
4、证明：如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
在和中，，∴，
∴∠CAD＝∠M，AC＝MB，
∵BE＝AC，∴BE＝MB，∴∠M＝∠BEM，
∴∠CAD＝∠BEM，
∵∠AEF＝∠BEM，
∴∠CAD＝∠AEF，即∠AEF＝∠EAF.
5、证明：如图，延长FE到M，使EM＝EF，连接BM．
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在和中，，∴，
∴CF＝BM，∠F＝∠M，
∵BG＝CF，∴BG＝BM，∴∠3＝∠M，∴∠3＝∠F，
∵，∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，
即AD为的角平分线．
6、如图，延长AF交BC的延长线于点G．
∵，∴∠3＝∠G，
∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，
在和中，，∴，∴AD＝CG，
∵AD＝2.7，∴CG＝2.7，
∵AE＝BE，∴∠5＝∠B，
∵AB⊥AF，∴∠4＋∠5＝90°，∠B＋∠G＝90°，
∴∠4＝∠G，∴EG＝AE＝5，∴.
7、证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M．
由题意，∠FEB＝90°，∠DCB＝90°，
∴∠DCB＋∠FEB＝180°，
∴，∴∠FEG＝∠M，
∵点G为FD中点，∴FG＝DG，
在和中，，
∴，
∴EF＝MD，EG＝MG，
∵是等腰直角三角形，∴EF＝EB，∴BE＝MD，
在正方形ABCD中，BC＝CD，∴BE＋BC＝MD＋CD，即EC＝MC，
∴是等腰直角三角形，
∵EG＝MG，∴EG⊥CG，∠ECG＝∠MCG＝45°，∴EG＝CG.
8、解：AF⊥DF，AF＝DF，理由如下：
延长DF交AC于点P，如图所示：
∵BA⊥AC，ED⊥BD，∴∠BAC＝∠EDA＝90°，
∴，∴∠DEC＝∠ECA，
∵F为EC中点，∴EF＝CF，
在和中，，
∴，
∴DE＝CP，DF＝PF，
∵与均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，DE＝BD，∴，即AD＝AP，
在和中，，
∴，
∴∠DFA＝∠PFA＝90°，∠DAF＝∠PAF＝45°，∴AF⊥DF，AF＝DF.
9、解：①∵点F是EC的中点，∴CF＝EF，
在和中，，
∴，
∴CG＝DE，故本选项正确；
②∵，∠BDE＝120º，∴∠GBD＝60º(两直线平行，同旁内角互补)，
∵是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60º，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ABC＋∠GBD＝120º，，
∴∠ABD＝∠ACG
又∵CG＝DE，DB＝DE，∴BD＝CG，
在与中，，
∴，
∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，∴∠DAG＝60º，
∴是等边三角形，
∴∠ADG＝60º，∴∠BDG＝∠BDH＋∠ADG＝∠BDH＋60º，
又∵∠AHB＝∠BDH＋∠GBD＝∠BDH＋60º，
∴∠AHB＝∠GDB(等量代换)，
∴∠ABH＝∠GBD，
∴，故本选项正确；
③如图所示，过点D作DQ⊥BC于点Q，
∵EC⊥BC，∴.
又∵，∴四边形DECQ是矩形，∴CQ＝DE.
∵BD＝DE，DE＝CG，
∴CQ＝CG，
设，则在中，由特殊角的三角函数值求得，
在中，由勾股定理求得，
由②知是等边三角形，则AD＝GD，
∴，即，故本选项正确；
综上所述，正确的结论是①②③.
10、解：（1）在与中，，
∴；
（2）∵，∴BE＝AC＝5，
∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6.
（3）延长GE交CB的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴，∴∠AGE＝∠M，
在和中，，∴，∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，∴FG＝FM，
∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝2＋4＝6，∴GF＝FM＝6.
11、解：（1）∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，
在和中，，
∴，∴BE＝CG；
（2）连接GF，如图所示：
由（1）知，
∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，
又∵∠A＝90º，∴∠B＋∠BCA＝90º，
∴∠GCD＋∠BCA＝90º，即∠GCF＝90º，
∵CG＝3，，
∴，
∵DF⊥DE，且DE＝DG，∴EF＝FG＝.
12、证明：延长AD至点G，使得DF＝DG，连接CG，如图所示：
∵AD是中线，∴BD＝DC，
在和中，，
∴，
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，
∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，
∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF.
13、解：（1）∵∠BAC＝90º，，
∴，
根据题意知，，，
∴，∴，
∴，∴，
在中，AD是斜边中线，∴，∴AD＝BC＝4；
如图2，∵是等边三角形，
∴，，
∵AD是的中线，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴AB＝AC，，
由，得，
∴∠B＝∠C＝30º，
如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，∴BC＝2BE，
在中，，
∴,
∴；
（2）AD＝BC，
证明：由题意知，，，延长AD到M，使DM＝AM，连接，，∴AM＝2AD，
∵AD是的中线，∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴AM＝2BC，∴AD＝BC.
14、解：（1）设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入解得，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）作PM与定直线垂直，垂足为M点，如图所示：
设，则，
∵，
由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可得，M点是唯一的，即以P为圆心，PO为半径的圆恰好与定直线相切于点M，切点M当然也是唯一的，
∴在直线上有且只有一点M，使得∠OMQ＝90º；
（3）设直线PT的解析式为，作TE与定直线垂直，垂足为E，作PF与定直线垂直，垂足为F，如图所示：
设，，由消去整理得，
由韦达定理可得，
又∵，
∴，
∴，∴∠TDE＝∠PDF，
∴∠ODT＝∠ODP，即轴平分∠PDT.
第三讲：截长补短
【参考答案】
1、提示：在DC上截取，证明，，得出
2、提示：在BD上截取，证明，，得出
3、提示：取AP的中点D，，证明是等腰直角三角形
4、提示：延长NC到点E，使，连接DE，证明，得到，，再证明，得出，的周长
5、提示：在DF的延长线上截取，连接AH交BE于点I。证明，得出，得出
6、提示：【问题解决】在CD上截取，连接EG，证明是等边三角形，再证明，得出
【类比探究】在CB上截取，连接EG，证明是等边三角形，再证明
7、提示：（1），，，
（2）延长FC到点G，使得，连接BG，证明，再证明
（3）在AE上截取，连接BG，证明，再证明
8、提示：（1）延长MB到点E，使得，连接AE，证明，再证明
（2）在DC上截取，连接AF，证明，再证明
（3）证明，求出，在中，利用勾股定理求出，，证明，求得
9、提示：（1）连接OC，在AM上截取，连接OQ，证明，再证明
（2）在CA的延长线上截取，连接OE，OC，证明，再证明
（3）分两种情况：①点N在BC上，②点N在BC的延长线上，在中用勾股定理即可求出MN的长。
10、提示：过点B作交CE的延长线于点M，证明
，为等腰直角三角形。
11、提示：延长DE至点N，使得，连接CN，证明，再证明是等腰直角三角形
12、提示：在AC上截取，连接EF、BE，证明，再证明为等腰直角三角形。
13、提示：过点D作交AB于点G，证明
14、提示：延长DB到点E，使得，连接AE，过点A作于点F，证明
15、提示：延长BA到点F，使得，连接CF、CD，证明
16、提示：（1）①证明
②证明是等腰直角三角形
（2）在AD上截取，连接CE，证明
17、提示：（1）证明
（2）证明
（3）在EG上截取，证明是等腰直角三角形
18、提示：（1）过点C作，过点E作，EG交CG于点G，连接AG，证明是等腰直角三角形
（2）过点C作，过点E作，EG交CG于点G，连接AG，证明是等腰直角三角形
（3）过点C作，过点E作，EG交CG于点G，连接AG，证明是等腰直角三角形
第四讲：手拉手模型
【参考答案】
1.解：（1）在我们学过的特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形三种图形中，一定为勾股四边形的有矩形、正方形.
故答案为：矩形或正方形.
（2）如图1所示：或；
（3）如图2，连接CE，
由旋转得：，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）如图3，当，四边形ABCD是勾股四边形．
理由：连接CE，
由旋转得：，
∴，，
又∵，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴．
∴四边形ABCD是勾股四边形．
故答案为：．
2.解：（1）①∵绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，
∴.
∵，
∴是等边三角形.
②.
∵是等边三角形，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴根据同底等高的三角形面积相等，可得．
∵，，
∴中，，
∴点是AB的中点，
∴，
∴的面积和的面积相等，即.
（2）如图3，∵是由绕点C旋转得到，
∴，.
∵，
，
∴.
∵在和中，
∴，
∴，
∴的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即.
3.解：（1）由题意得，线段AC的长的最大值为.
故答案为：.
（2）①连接BD，
∵M，N分别为AB，AD的中点，
∴MN为的中位线，
∴，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，.
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴.
②∵，，
∴的最大值为，
∴MN的最大值为4.
（3）如图，连接CD．以AD为边向左构造等边，连接BE，
易得，
∴，
过点E作BD垂线，交BD延长线于点F，
易得，
∵，
∴，，，
∴，即，.
（4）MN最大时，如图所示，
此时易得，
∴，
∴MN的最大值为8.
MN最小时，如图所示，
此时易得，
∴，
∴MN的最小值为2.
∴MN的取值范围为.
4.（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
而，
∴．
在与中，
∴．
（2）解：连接MN．
由（1）知，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小，
此时，；
；
．
（3）解：由（2）知，的费尔马点在线段EC上，同理也在线段上，
因此线段EC与BF的交点即为的费尔马点．
5.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，.
∴.
在和中，
∴.
∴.
故答案为：；
②∵，
∴.
∵是等边三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，.
∴.
∵，
∴.
∴，.
∴.
（3）由题得，点P在以点D为圆心，半径为的圆上，
又，
∴点P在以点BD为直径的圆上，
如图，点P为两圆的交点.
①若点P在CD右侧，则连接CP，过点C作于点H，
∵，
∴.
又，，
∴.
∵，
∴B，C，P，D四点共圆，
∴，且
∴，
∴在中，，
解得，舍去，
∴点C到直线BP的距离为；
②若点在CD左侧，连接，过点C作于点，
同理可得.
综上，点C到直线BP的距离为或.
6.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴.
∴，
∵为等边三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，∴，
∴，
故答案为：60；
②∵，∴，
故答案为：.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，.
∴，
∴.
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴.
（3）的度数是或．
如图3，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图4，
同理求得，
∴.
∴的度数是或．
7.解：（1）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴且.
故答案为：且；
（2）①∵和都是等腰直角三角形，，
∴，.
由旋转的性质可得，
在与中，
∴，
∴.
由角的和差可得，
故（1）中的结论成立；
②∵以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，和都是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴或或，
∴角的度数是或或.
8.解：（1）由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形.
故答案为：等边三角形.
（2）.
证明：由旋转的性质可知，，.
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴.
（3）①当点D在线段BC上时，∵，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
当点D在线段BC的延长线上时，∵，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
综上，当时，BD的长为2或8.
②点D在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为，
理由如下：∵，
∴，
则的周长，
当DE最小时，的周长最小，
∵为等边三角形，
∴，
AD的最小值为，
∴的周长的最小值为．
9.（1）证明：∵和均为等腰三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵和均为等边三角形
∴，，
，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：①如图，，
理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
，，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴点B，D，E三点共线，
∴．
∵AF是的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
②，
理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴点B，D，E三点共线，
∴．
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
10.（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
，
∴，
∴．
∵绕着点A逆时针旋转至，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴B，E，F三点共线．
（2）解：设，则．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
∵绕着点A逆时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则．
解得，（舍去），
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
过点D作，垂足为M，过点G作，垂足为N，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
11.解：（1）因为，
所以．
因为，，
所以．
因为，点D是AC边的中点，
所以，，
所以，
所以，
即．
（2）因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
在和中，
所以，
所以．
（3）因为，，，
所以．
在和中，
所以，
所以，
所以．
因为，，，
所以，
所以．
12.（1）解：①是的“旋转位似图形”.
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴绕点A顺时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴是的“旋转位似图形”.
②∵与互为“旋转位似图形”，,
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
③∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，，
∴，
即.
∵，，，
∴，，
∴.
故答案为：是；；10；.
（2）证明：∵，
∴
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴和互为“旋转位似图形”.
（3）解：过E作于H，
∴，
∴.
∵为等腰直角三角形，点G为AC中点，
∴，.
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，，
即，
∴.
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
则.
综上所述，，.
13.解：（1）∵，
∴．
即．
在与中，
∴，
∴．
∴，
∴，
又∵
∴.
故答案为：90.
（2）①当点D在线段BC上移动时，α与β之间的数量关系是.
理由：∵，
∴，
∴.
在与中，
∴，
∴.
在中，
∵，
∴，
即，
即.
②(i)当点D在CB的延长线上，如图，.
理由是：
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
(ii)当点D在BC的延长线上时，如图，.
理由是：
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴.
在中，，
∴
∴，
即.
14.解：（1）当时，
∵，，M是BF中点，
∴，
，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
（2）．理由如下：
∵，，
∴，
在中，，
M是BF的中点，∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（3）．理由如下：
如图，延长AM至点G，使得，连接，FG．
∵M是BF的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（4）由（3）得，（在此问依然成立），
∵M，A，N在同一条直线上，．
∴，又，
∴，∴．
∵，∴．
∵．
∴．
∴,
∵,
∴，
∴．
故答案为：．
15.解：（1）∵与同为等边三角形，
∴，，，
易证，
∴，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：；.
（2）（1）中的结论不成立，理由如下：
∵与同为等腰直角三角形，
∴，，，
易证，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴（1）中的结论不成立.
（3）①如图，B，D，E三点在一条直线上，
∵易证四边形ABCE为矩形，
∴；
②如图，B，E，D三点在一条直线上，
∵，
∴.
∴，
，
∴.
16.（1）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
②解：∵，
∴，，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点C作于G，作于H，
在和中，
∴，
∴，且，，
∴PC平分，
即.
（3）解：有最大值，有最小值.
∵，，
∴当点E旋转到与直线AB共线（在点C右侧）时，AE有最大值，
最大值为；
当点E旋转到与直线AB共线（在点C左侧）时，AE有最小值，
最小值为.
17.（1）证明：∵，，
，
∴.
在和中，
∴，
∴，.
又∵，
∴，
∴.
（2）解：在和中，
∴，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
即，
∴.
（3）解：作，如图，
∵为等腰直角三角形，F为BC中点，
∴，
∴，，
由勾股定理，得，即，
∴.
18.（1）证明：如图，延长BD交AC于M．
∵与是等腰直角三角形，
∴.
，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：，.
理由：∵，
∴，
∴.
设BD，AE交点为M，如图，
在和中，
，,
∴，
∴，.
令AC与BD交于点O，
∴，
∴.
∴，
∴.
（3）解：，BA与AE所成的角的度数为．
理由如下：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
令AE与BD的交点为F，
∴
，
即BD与AE所成的角的度数为．
19.（1）①解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，点D为BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴AC垂直平分DE，
∴，
∵点D为BC的中点，
∴，
∴.
②证明：由①知，，
在和中，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
由（1）①知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由（1）知，.
故答案为：9.
20.解：（1）结论：，.
理由：如图中，延长交BD于点H，AH交BC于点O．
∵和均为等腰直角三角形，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，.
∵，，
∴，
∴，
即
故答案为：相等；垂直.
（2）结论：.
理由：∵和均为等腰直角三角形，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在等腰直角三角形中，CM为斜边DE上的高，
∴，
∴，
∴.
（3）情形1：如图中，在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，
使，，连接EA，，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴.
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴.
情形2：如图中，作交BC的延长线于E，
则是等腰直角三角形，
同法可证：，
∴.
∵，
∴.
综上所述，BD的长为或.
故答案为：或.
21.解：（1）如图中，作于H．
当旋转角为时，，，是等边三角形，
.
故答案为：2.
（2）如图2中，作于H，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，.
（3）CD的长有最大值．
理由：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴.
取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作圆H，连接CH，
∵，，
∴，，，
，
点D的运动轨迹是圆H
当时，CD的值最大，此时.
22.（1）问题发现：
证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）变式探究：
解：和的数量关系为：．理由如下：
∵在等腰中，，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解决问题：
解：连接AB，AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴，，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴正方形ADBC的边长．
23.（1）解：①∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
∴，
∴，∴；
②过点A作于点G，过点E作于点Q，EQ即为所求；
∵，，∴，
在中，∵，，∴，，
在中，∵，∴，
∴，
由①得，∴，
在中，∵，∴，
∴.
（2）证明：∵是等边三角形，∴，
∴．
∵，∴，
∴，
又，
∴，∴，
又，∴，
∴，
即
24.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∵是等腰直角三角形，
∴.
在和中，
∴，
∴.
∵，
∴.
故答案为：；.
（2）结论仍然成立.证明如下：
如图，延长AE和FC交于点H，交BC于点P.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
在和中，
∴，
∴，.
∵，
∴.
又，，
∴.
∵，
∴，
∴.
（3）为等腰直角三角形.理由如下：
如图，延长AE和FC交于点H，交BC于点P，
∵O为EF的中点，
∴，
∵，
∴.
又，
∴，
∴.
∵，
∴.
由（2）可知，，，
∴.
∴为等腰直角三角形.
25.（1）证明：∵，
∴.
又∵，
∴是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．理由如下：
∵是等边三角形，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：∵，
，
∴．
若，则，
∴，
∴，
∴当为时，．
26.（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，.
∴，
即.
在和中，
∴，
∴.
（2）①∵，，
∴，.
由（1）可知，，
∴，
∴.
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
如图b，过点E作轴于点F.
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
∴点E的坐标为.
②存在，点P的坐标为或．理由如下：
如图，当时，且点P在点C左侧时，
∵，
∴，
∴;
当点P在点C右侧时，，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴是等边三角形，
此时，重合，舍去.
综上所述，当为等腰三角形时，点P的坐标为或．
27. 解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴.
②∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：，60.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）①如图，当点B在线段ED的延长线上时，连接CD，取AB中点H，连接EH，CH，
∵，H是AB的中点，
∴，，
∴，
∴点A，E，C，B四点在以H为圆心，为半径的圆上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点C到直线DE的距离；
②如图，当点B在线段DE的延长线上时，
由①同理可得，，，
∴点C到直线DE的距离为，
综上所述，点C到直线DE的距离.
28.证明：（1）∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即．
在和中，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
29.（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，.
∵，
∴.
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴.
又∵，
即．
（3）解：由（1）知，
∴.
∵，
∴在和中，
∴，
∴.
∵，
∴是等边三角形．
30.解：（1）.
理由：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）由（1）可知，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：180.
（3）
理由如下：
在线段BE上取一点H，使得，
设AC交BE于点O，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即.
第五讲：一线三等角
【参考答案】
1、提示：证明
2、提示：证明或
3、提示：证明
4、提示：证明
5、提示：证明
6、提示：（1）25，65；
（2）证明
7、提示：证明
8、提示：过点D作于点E，证明
得出OP与OF之间的数量关系，利用二次函数求最值。
9、提示：是等腰直角三角形，过点P作于点D是等腰直角三角形，证明
10、提示：证明求出点A的坐标，代入反比例函数解析式求得比例系数，解析式为
11、提示：将点A、B的坐标代入二次函数解析式，求出抛物线解析式为，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作于点M，证明，
12、提示：（1）证明，
（2）证明，
（3）证明，
13、提示：（1）①由
②分三种情况：（a）当时，点D、E分别与点B、C重合
（b）当时，
（c）当时，
∴AE的长为2或或1
14、提示：（1）由
（2）证明，再证明
15、提示：（1）抛物线的解析式为：
（2），只需求的最大值，利用三角形面积公式铅垂高乘以水平宽求出面积最值，此时点D坐标为
（3）分点M、N在x轴异侧和同侧两种情况讨论，过点M作x轴于点G，证明，
第六讲：一线三垂直
【参考答案】
解：（1）如图1，由题意可知：，求得，，求得，
，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图2，过C作轴于点D，
与y轴交于B点，与x轴交于A点，
令，求得，令，求得y=4，
∴，，
同（1）可证得，
∴，
∴，
∴，且，
设直线AC解析式为，
把C点坐标代入可得，
解得，
∴直线AB解析式为
（3）如图3，过点B作轴于E，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，，
∵在中，，，
又∵轴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线AB的解析式为，
∵，
∴，解得
∴直线AB的解析式为
∵直线AB与y轴交于点D，
∴．
解：（1）．理由如下：
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，∵，，，∴，
∴，．
又∵，
∴．
（2）．
同（1）可得，
∴，．
又，
∴．
3.（1）解：∵一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点B、A．
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
设直线BC的函数表达式为，
将点B和点C坐标代入表达式，
利用待定系数法得直线BC表达式为：．
（2）证明：连接OE，
∵MG垂直平分OB，点E在MG上，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点E为AB中点，
又∵点G为OB中点，
∴EG为的中位线．
（3）解：设，
∵，
∴，
解得或，
∴或．
4.（1）证明：∵，，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
连接CO，
∵，
∴.
又∵，点O为AB的中点，
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，.
又易知，
∴，
∴为等腰直角三角形.
5.（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，
∴；
（2）①如图1，过点C作轴于点D，
在中，令可求得，令可求得，
∴，，
同（1）可证得
∴，，
∴，
∴，且
设直线AC解析式为，把C点坐标代入可得-，解得
∴直线AC解析式为；
②以B、C、P、Q四点构成的平行四边行有三种情况：
由题意可知点B坐标为，点C坐标为
设点P坐标为，点Q坐标为
情况一：当四边形BPCQ为平行四边形时，
由，得：，即，
点P坐标为
由得，得，即，
点Q坐标为;
情况二：当四边形BCPQ为平行四边形时，
由，得：，即，
点P坐标为
由，得，即
点Q坐标为
情况三：当四边形BCQP为平行四边形时，
由，得：
即，点P坐标为
由，得，即，
点Q坐标为
综上，点Q坐标为）或；
（3）解：当点D位于直线上时，分两种情况：
①点D为直角顶点，分两种情况：
如图，当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设；
则，，；
则，得，即：，解得；
∴；
当点D在矩形AOCB的外部时，设；
则，，；
则，
∴，即：，解得；
∴；
②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；
如图，
设点，则，；
则，
∴，；
∴；
联立两个表示BF的式子可得：
，即；
∴；
综上，存在符合条件的等腰直角三角形；
且D点的坐标为：或或.
6.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
在和中，，，，
∴，
∴
（2）证明：由（1）同法可证，
∴，
∴四边形是菱形．
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴菱形AKFH是正方形；
（3）连接AE．由（2）知四边形AKFH是正方形，四边形AKFH的面积为10，∴四边形AKFH的边长为
∵，
∴．
在中，由勾股定理可得，，
∴
在中，由勾股定理可得，
7.解：（1）证明：如图1中，
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴，，
∴.
（2）猜想：.
理由：在中，∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴.
（3）结论：.
理由．如图2中，过点A作，垂足为点N，过点D作，垂足为点M．
∵，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，，
由（2）可知，，
∴，
∴.
8.解：（1）∵，，
∴.
∵，
∴.
（2）∵于，于N，
∴，，
在中，，
∴，
同理：.
又∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∴.
（3）结论：．
理由如下：∵，
∴，
又∵，
∴.
在和中，
∴.
∴，，
∴，
∴.
9.解：（1）
（2）
（3），理由如下：
证明：∵，
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴，
∵在等腰中，点D是BC的中点.
∴
∵
∴
在和中，，，，
∴，
∴；
（4）解：，
由图形可知，
∴当时，AP最小，此时，
最大值为4
10.解：（1）
（2）的面积为3．
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，
∴，
∵线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（3）
11.解：（1），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（2）（或）.
∵，，
又∵，
∴（证明同理）.
（3）①过E点做垂直于AB，交BC与M点，则，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴.
②的最小值为.
12.解：（1）因为，
所以．
因为，，
所以．
因为，点D是边的中点，
所以，，
所以，
所以，
即．
（2）因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
在和中，，
所以，
所以．
（3）因为，，，
所以．
在△EDB和△FDC中，，
所以，
所以，
所以．
因为，，，
所以，
所以．
13.解：（1）①已知，，
∴，
∴的面积为.
②∵，，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：；.
（2）①与全等．理由如下：
如图，∵AB绕点B旋转至，
∴.
又∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴.
②∵，
∴，，
∴.
（3）①如图，过作延长线上垂线，垂足为H．过A作，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴.
②由对称性可知，，
∴，
当，D，C共线时，的值最小，即为的值，
则，
∵，
∴，
∴.
故答案为：18；；.
14.解：（1）证明．∵，，
∴，.
∴，，
∵，
∴.
∴.
又∵，
∴.
（2）解：①如图，连接AD.
∵，点D为BC的中点，
∴.
∵，，
∴.
∴，.
由（1）知，
∴，，
即.
∴，
∴.
∴，，
∴，
∵，
∴，即.
∴.
∴.
②由题意得，当GF=2时，DG=1，
在中，，
在中，，
∴.
又∵，
∴.
∴.
∵点E为BD中点，
∴设，则.
∴.
∴，即
∴.
∴的面积为.
15.解：证明：（1）∵直线m，直线m，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
在和中，，
∴，
∴，，
∴.
（2）成立．理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴.
（3）是等边三角形．
由（2）知，，，.
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴.
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
16.解：（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①如图，过点Q作于F，
则，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
整理得，，
∵点P与A，B两点不重合，
∴，
∴，
由得，，
∴.
②线段DQ的中点所经过的路径就是的中位线MN．
由（2）①可知，．
当点P运动至AC中点时，，∴．
∴．
在中，根据勾股定理得：
，
∴．
∴线段DQ的中点所经过的路径长为．
17.解：（1）如图1，过C作轴于M点，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为．
（2）如图2，过D作于Q点，
则，
∴.
∵，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，即．
（3）如图3，过点F分别作轴于S点，轴于T点，
则，，
∴，
∴，
又∵，，点F坐标为，
∴，，，
∴，，
则，
则．
18.解：（1）如图1，①∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
②∵，
∴，.
∵，
∴.
（2）如图2，，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，.
∵，
∴．
第七讲：半角模型
【参考答案】
1.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：延长GD到点F，使得，
由（1）得，
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：如图，过点C作，交的延长线于点D，
易得四边形ABCD是正方形，
∴．
∵，
根据（1）（2）可得，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴．
2.（1）
（2）作关于直线的对称，作关于直线的对称，
∵是的高，
∴
∴，
又∵
∴
延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，
又∵
∴四边形AEGF是正方形，
由（1）、（2）知：，，
设，则，
∴；；，
在中，
解得，，
故AD的长为6．
3.证明：由题意可得：，．
∴，，又，
∴．
又∵
∴，．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵，
∴．
∴矩形AEGF是正方形；
设，则．
∵，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴．
化简得，
解得，（舍去）
所以．
4.解：∵，
∴；
由折叠可知，，，
，，
∴；
∴；
∴四边形AFHG是正方形，
∴，
又，，；
设AD的长为，则，．
在中，，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
∴．
5.解：（1）证明：由题意得，，，
∴，
∴四边形ABCD是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明；∵，，
∴，
∴的周长，
∴三角形的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6.解：（1）提示：由折叠可知：，，先证明四边形AEGF为矩形，再证明为正方形；
（2），，.
7.解：（1）证明：在正方形中，，，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（2）解：成立．理由如下：
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：①如图2，过点C作交AD的延长线于点G，
由（2）和题设知：，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：
∴
解得．
∴；
②将沿着边折叠，使D与E重合，沿着边折叠，使与重合，
可得，，
∴，
，
，
，
∴四边形AEFG为正方形，
设正方形的边长为，可得，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴，
则．
8.（1）证明：∵，，
∴.
又，，
∴．
（2）解：，，之间的数量关系为：．
证明如下：
将线段CD绕着点C按逆时针方向旋转得到CF，连接EF，BF，
∴，.
∵，
∴.
又，
∴，
∴.
∵，
∴.
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：在等腰直角中，，，
∴.
∵，
∴.
设，则．
由（2）可知，，
解得，
∴.
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴.
9.（1）解：，，，．
（2）①证明：∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：的度数为．
（3）解：当时，的度数为定值，且.理由如下：
∵，，
∴.
∵且，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
∵，
∴.
又，
∴，
∴，
∴，
即的度数为定值，且．
（4）解：因为，
因此可设，则，.
由，，
可得，，
所以，.
由，得，
所以，
所以，
所以
由，得，
所以，
所以，
解得：，
所以．
故答案为：.
10.（1）证明：∵，
∴，，，，
∴，
∴G，D，F三点共线.
又∵，即，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）证明：如图，把绕点A旋转至，
∵，
∴，，，.
∵，
∴，
∴G，D，F三点共线.
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转至，
连接，过A作，垂足为H．
∵，，
∴.
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
由（2）知：，
∴.
11.解：（1）∵，，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，，
∴.
（2）在AC的延长线上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故一定成立．
故答案为：一定成立.
（3）在CN上截取，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
12.证明：（1）∵，四边形ABCD是菱形，
∴和都是等边三角形，则.
∵是等边三角形，
则，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2），证明如下：
如图，过点G作交BD于点H．
∵，是等边三角形，
∴是等边三角形，则，，
又∵是等边三角形，则，，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
（3），证明如下：
如图，过点G作交DB于点H，则是等边三角形，
∴，则，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
13.解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴.
∵，F分别是边BC，CD的中点，
∴，，
∴.
故答案为：2.
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）同（2）可得，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
即，
∴，，，
，
∴的周长为．
14.解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴，，
∴.
故答案为：3.
（2）连接AC，如图2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，，，
∴.
∵，
∴为等边三角形，且，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴.
在和中，，
∴，
∴，
∴.
∴的长为3.
（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴.
∴，
∴，
∴，
∴的周长.
第八讲：对角互补
【参考答案】
1.解：如图，作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于R.
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90º，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90º＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPE，
∴△QPE∽△RPF，
∴，∴
∵，∴
设，则，，，∴，解得，
∴.
2.如图，过点E分别作于点G，于点H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形CHEG也是矩形，∴∠GEH＝90º，
∴∠BEG＋∠GEF＝∠GEF＋∠FEH＝90º，
∴∠BEG＝∠FEH，
又∵∠BGE＝∠FHE＝90º，∴△BEG∽△FEH，
∴，
∵，
∴，
∴
∴.
3.如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM.
∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90º，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90º，AM＝CM，
∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，
∴MF是梯形AOEC的中位线，∴，
∵，∴
∴，
∴OB＝CE，AO＝BE，∴，
又∵OF＝FE，∴是直角三角形，
∵MO＝ME，∴是等腰直角三角形，
∴，∴
∴，
∴
∴.
4.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，
∵∠BCE＋∠DCF＝90º，∠BCE＋∠CBE＝90º，
∴∠CBE＝∠DCF，
在与中，，
∴.
5.解：当或OP经过点C时，重叠部分面积为正方形面积的，即25；
当点P旋转到如图所示位置时，过点O分别作CD、BC的垂线，垂足分别为E、F.
在与中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴，
.
6.解：如图，连接EF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO，∠OAE＝∠ODF＝45º，∠ADC＝90º，
又∵OE⊥OF，∴∠OFD＋∠EDO＝180º，
∵∠AEO＋DEO＝180º，∴∠OFD＝∠AEO，∴，∴AE＝DE＝4，
又∵AD＝CD，∴DE＝CF＝3，在中，.
7.解：取AB的中点G，连接DG，如图所示：
∵AB＝AC，∠A＝60º，∴是等边三角形，
∵点D、G分别是AB、BC的中点，
∴DG是的中位线，∴DG＝DC＝BD，
∵∠B＝60º，∴是等边三角形，
∴∠BGD＝∠C，
∵∠AED＋∠AFD＝180º，且∠AFD＋∠DFC＝180º，
∴∠AED＝∠DFC，∴，
∴EG＝FC，∴BE＋CF＝BE＋EC＝BG＝.
8.证明：过点B作AC的平行线交ND的延长线于点E，连接ME.
∵BD＝DC，∴ED＝DN，
在与中，，
∴，
∴BE＝NC，
∵∠MDN＝90º，∴MD为EN的中垂线，∴EM＝MN，
∴，
∴为直角三角形，∠MBE＝90º，
∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90º，
∴∠BAC＝90º，∴.
9.（1）连接BD，如图所示：
∵等腰直角三角形ABC，点D为AC的中点，
∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，
∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，
∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，
∴∠BDG＝∠HDC，
∴，∴BG＝CH；
（2）在等腰直角中，∵AB＝BC＝4，
∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，
∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，
又∵BD＝AD，∴，
由（1）可得，∴，
∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，∴，∴
∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，始终是4；
（3）连接BD，如图所示：
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，
∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，
∵是等腰直角三角形，
∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，
∴，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.
10.（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，
∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴DE⊥AB；
（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：
∵点D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，
∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，
∴，
∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，
∴，∴DE＝DF；
（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：
在与中，，
∴
∴BM＝CN，DM＝DN，
∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，
在与中，，
∴，∴ME＝NF，
∴.
11.（1）将代入到中，解得，∴，
∵BC为对称轴，点B的坐标为，∴OC＝1；
（2）如图，分别过点D作轴于点M，作DN⊥PQ于点N.
∵，∴∠DMQ＝∠DNQ＝∠MQN＝90º，
∴四边形DMQN是矩形，
∵是等腰直角三角形，∴DC＝DE，
∵∠CDM＋∠MDE＝∠EDN＋MDE＝90º，
∴∠CDM＝∠EDN，∴，
∴DM＝DN，∴矩形DMQN是正方形，
∴∠BQC＝45º，∴是等腰直角三角形，
∴CQ＝CB＝3，∴，设BQ的解析式为，将点B、Q坐标代入解得，b＝4，
∴直线BQ的解析式为.
12.（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：
∵P、C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，
∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，
∴∠BPE＝∠QPF，∴，∴PB＝PQ；
（2）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：
证明过程参考（1），通过证即可得到PB＝PQ.
第九讲：将军饮马
【参考答案】
1、解：连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示：
∵四边形ABEF为正方形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，
即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，
∵正方形ABEF的面积为4，是等边三角形，
∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，
在中，，BC＝2，
∴CG＝1，，
∴，
∴，即这个最小值的平方为.
解：∵MN垂直平分AC，
∴MA＝MC，
又∵，BM＋MA＝AB＝12，
∴，
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，
如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，
∴，
在中
当P、B、C共线时有最大值，此时，故选B.
3.解：作点D关于OM的对称点D'，作点A关于ON的对称点A'，连接A'D'，与OM，ON的交点就是点B、C，如图所示：
此时AC＋BC＋BD＝A'C＋BC＋BD'＝A'D'为最短距离。
连接OD'，OA'，
根据对称性可知：
OA＝OA'，OD＝OD'，∠AOA'＝60º，∠DOD'＝60º，
∴和是等边三角形，
∴OD'＝OD＝6，OA'＝OA＝10，∠A'OD＝90º，
根据勾股定理，得，
∴AC＋BC＋BD的最小值为.
4.解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，∴，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，
∴AC＝6，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，∴ON＝1，
∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，
∵，
∴，
∴，
∴，∠CMN'＝60º，
∵∠N'CM＝60º，
∴为等边三角形，
∴，即的最大值为2.
5.解：过点C作CE⊥AB，如图所示：
∵菱形ABCD中，，∠A＝120º，
∴∠ABC＝60º，，BD平分∠ABD，
∴，，
∵BD平分∠ABD，
∴在AB上作点P关于BD的对称点，
∴，
当，K，Q三点共线且时，PK＋QK有最小值，
即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为.
6.解：过E作，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵是等边三角形，
∴∠ACB＝60º，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴.
解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70º，
∴∠A＝40º，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90º，
∴∠NMA＝50º；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
的周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，
∵AB＝8，的周长是14，
∴；
②当点P与M重合时，周长的值最小，
理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，，
∴P与M重合时，PA＋PC＝AC，此时PB＋PC最小，
∴周长的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14.
8.解：（1）四边形ADCE是菱形，理由如下
∵点E是AD的中点，
∴，
∵，
∴AE＝BC
∵，即，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称，
∵点F是AE的中点，，
当PA＋PF最小时，的周长最小，
即点P为CF与BE的交点时，的周长最小，
此时的周长＝PA＋PF＋AF＝CF＋AF，
在中，点E是AD的中点，则CE＝DE，
∠ECD＝∠D＝30º，
∴是等边三角形，
∴AC＝AE＝CE＝4，
∵AF＝EF，CF⊥AE，
∴
的周长最小.
9.解：（1）∵AB＝AC，AD是中线，∴∠BAD＝∠CAD；
（2）BD＝CE.
理由：∵AD是中线，∴BD＝CD，
∵AD，AE关于AC对称，∴CD＝CE，∴BD＝CE；
（3）连接BE交AD于点P，此时PE＋PC的值最小，如图所示：
∵AB＝AC，∠BAC＝90º，BD＝DC＝4，
∴AD＝AE＝4，
由题意，AE＝AD＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴PA＝PD＝2，
∵PD⊥BC，
∴.
10.解：（1）∵是等边三角形，DF⊥AC，
∴DF垂直平分线段AC，
∴AE＝EC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∵∠ACB＝90º，
∴∠ACE＋∠BCE＝90º＝∠CAE＋∠B＝90º，
∴∠BCE＝∠B，
∴CE＝EB，
∴AE＝CE＝BE；
（2）连接PA，PB，PC，如图所示：
∵DA⊥AB，
∴∠DAB＝90º，
∵∠DAC＝60º，
∴∠CAB＝30º，
∴∠B＝60º，
∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.
∴AB＝12，
∵DE垂直平分AC，
∴PC＝AP，
∴PC＝PB＋PA，
∴当PB＋PC最小时，也就是PB＋PA最小，即P，B，A共线时最小，
∴当点P与点E共点时，PB＋PC的值最小，最小值为12.
解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点和(不同于点M和N)，连接，，和，如图1所示：
∵，，，
∴，
又∵，，，
∴，
时周长最小；
连接DB，过点作于的延长线于点H，如图示2所示：
在中，AD＝3，，
∴，
∴∠2＝30º，
∴∠5＝30º，，
又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，
∴∠1＝30º，
∴∠7＝30º，，
∴＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，
，
又∵，
∴∠6＝60º，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴，故选C.
12.解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，
∵∠B＋∠C＝150º，
∴∠BEC＝30º，
∴∠BEF＝60º，
∴是等边三角形，
连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，
∴BP＋QP＝FP＋PQ，
当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，
此时，Q为EB的中点，故与A重合，
∵DA⊥AB.DA＝6，
∴，
∴中，，
∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.
13.解：作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，如图所示：
∵是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30º，，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30º，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴，
∴BM＝HN，
∵，
∴B，N，H共线时，BM＋BN＝NH＋BN的值最小，
当B，N，H共线时，如图所示：
∵，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45º，
∵∠ABD＝60º，
∴∠DBM＝15º，
∴，
当BM＋BN的值最小时，∠MBN＝30º.
14.解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设，
∵四边形ABC都是矩形，，
AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵，
∴，
∴，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，
在中，，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，
∴，
∴PD＋PC的最小值为.
15.解：（1）如图，作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，周长的值最小，
∵AC＝BC，∠ACB＝90º，
∴∠BCE＝45º，
连接BE，∴BC＝BE＝2，
是等腰直角三角形，
∴，
∴周长的最小值；
（2）存在，
∵AC＝4，BC＝8，
∴，
当AD1＝AB时，的等腰三角形，
∵AC⊥BC，
∴CD1＝BC＝8
当时，是等腰三角形，
∴，
当AD3＝D3B时，的等腰三角形，
∴，
∴,
∴，解得CD2＝3，
当时，的等腰三角形，
∴，
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或或3或.
16.解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点，过点作于，则CE即为CM＋MN的最小值.
∵，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故CM＋MN的最小值为4.
17.解：（1）证明：∵平行四边形ABCD中，，
∴∠DBC＝∠ADB＝90º，
∵中，∠ADB＝90º，E时AB的中点，
∴，
同理，BF＝DF，
∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）连接BF，如图所示：
∵在菱形DEBF中，∠DEB＝120º，
∴∠EBF＝60º，
∴是等边三角形，
∵M是BF的中点，
∴EM⊥BF，
则，
即PF＋PM的最小值是.
18.解：（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：
∵AD＝2AB，E为AD中点，
∴AD＝2DE，
∴PQ＝DE，
∵PE⊥EM，
∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，
∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，
∴∠QPE＝∠DEM，
∴，
∴PE＝EM；
（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2
①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
③证明：连接BE、CE，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，
∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，
∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，
在和中，，
∴，∠BEC＝90º，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45º，
∴∠EBC＝∠ECD，
又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，
∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM
在和中，，
∴，
∴BP＝MC，PE＝ME，
∵EN平分∠PEM，
∴∠PEN＝∠MEN＝45º，
在和中，，
∴，
∴PN＝MN，
在中有：MC2＋NC2＝MN2，
∴BP2＋NC2＝PN2；
（3）连接PM，如图所示：
由（2）可得PN＝MN，PE＝ME，
∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，
∵K为EM中点，
∴，
又∵∠D＝90º，
∴，
由（2）可得为等腰直角三角形，
根据勾股定理，可得，
∴，
∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，
即当ME＝DE＝6时，DK＋GK＋PG有最小值，最小值为.
第十讲：十字模型
【参考答案】
1.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∴.
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
（2）是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴是等腰三角形；
类比迁移：延长CB到点H，使，连接AH，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，,
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
2.（1）证明：略.
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：当时，成立，
证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∴，
∴，
∴.
3.解：（1）∵，，且，
∴；
∴结论①②成立.
（2）结论①、②仍然成立．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴且，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）结论：四边形是正方形
证明：∵，，
∴且，
同理可证：，；，；，；
∵，
∴，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵，
∴，
∴四边形MNPQ是正方形．
4.（1）解：．理由如下：
∵绕点B顺时针旋转至后，
∴，
∵把沿射线平移至，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：根据旋转和平移可得，，，，
∵，
∴，
∴四边形BCGE是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
5.解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
6.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴A、O、B、E四点共圆，
∵，
∴，即EO平分；
（2）解：．
理由：如图1，延长EA至点F，使，连接OF，
∵由（1）知，，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴．
（3）证明：如图2所示，
∵ABCD是正方形，，
∴．
∵，，，
∴，．
在与中，，
∴．
同理可得，，，，
∴，
∴四边形EFGH为正方形．
第十一讲：瓜豆原理
【参考答案】
1.解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，
甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB；
乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD；
丙行走的距离是AF＋FC＋CD，
∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，
∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，
∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B．
2.解：由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．
∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：
由题中数据可知OP＝5，又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是的中位线，∴AF＝2.5，
当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴.
3.解：当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，
∵，
∴，
设，分别为AC、BC的中点，连接，交CP于点O，如图所示：
∵，，
当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图所示，
∴点M的运动路径长为π. 上运动，延长BA至点P，使得AP＝OC，连接PE，如图所示：
∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴，∴PE＝OF，
当O、E、P三点共线时，PE的值最小，
∵，
∴，
∴OF的最小值是.
法二：E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO＝2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．
5.如图，以AO为直角边作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90º，则AO＝FO，，
∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90º，
∵∠BOC＝∠AOF＝90º，
∴∠AOB＝∠COF，∴，∴CF＝AB＝4，
若点A、C、F三点不共线时，AF＜AC＋CF，
若点A、C、F三点共线时，AF＝AC＋CF，
∴，∴AF的最大值是6，
∵，∴AO的最大值是；
6.解：根据∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为．
7.解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：①当点B与点O重合时，作出P点位置；②当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．
根据∠ABP＝60°可知：与y轴夹角为60°，作，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以．
8.解：同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置(不一定在CD边)，即为G点运动轨迹．
CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．
根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．
过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝＝1，，
所以，因此CG的最小值为．
9.解：连接OC，作CD⊥轴于点D，AE⊥轴于点E，如图所示：
设点A的坐标为，
∵A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，
∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，
∵为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC＋∠AOE＝90º，
∵∠DOC＋∠DCO＝90º，∴∠DCO＝∠AOE，
在与中，，∴，
∴，，
∴
∵，∴点C在反比例函数的图像上.
10.解：法一：中点模型
取AB的中点E，连接EM、CE，如图所示：
在中，，
∵E是斜边上的中点，∴CE＝5，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴，
∴在中，，即，
∴CM的长度最大值为7.
法二：瓜豆原理
由M为BD的中点，结合瓜豆原理内容可得点M的轨迹是一个圆，如图所示，M点的轨迹就是由圆A以定点B为位似中心，以为位似比缩小来的.
∴圆E的半径为2，
当C、E、M三点共线时，CM的长度最大，
∵E是斜边的中点，∴CE＝5，∴CM＝CE＋EM＝5＋2＝7.
11.解：连接AM、CM，如图所示：
∵为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º，
∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM，
在与中，，∴，
∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，∴当BM⊥AM时，MB有最小值，
此时.
12.解：由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点，
∵是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45º，，
结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45º，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，
如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离(点B到的最短距离)，
由旋转相似可得，∴，
∴，在中，有，则，
∴线段BE的最小值为.
13.解：将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：
由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90º，
∵，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，
∴∠HFG＝∠HCF＝15º，∴∠FHG＝150º，
∴∠CHB＝120º，∴，
∴点D的运动路径长度为.
14.解：根据是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，面积为，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
15.解：由题意可知，点N在直线上，于点M，则是等腰直角三角形，∴，
如图1，设动点P在O点(起点)时，点B的位置为，动点P在N点(终点)时，点B的位置为，连接，
∵，，∴
∵，
∴，
∴，相似比为，
∴，
如图2，当点P运动至ON上任意一点时，设其对应的点B为，连接AP、、，
∵，，∴
∵，，∴
∴，∴，
又∵，，∴
∴点在线段上，即线段就是点B运动的路径，
综上所述，点B运动的路径是线段，其长度为.
第十二讲：射影定理
【参考答案】
1.解：①∵，，
∴，
∴，即，故①正确；
②∵，
∴故②正确；
③作，则，
∵BE平分，，
∴，
∴，故③正确；
④若F为BE中点，则，
∴，，
∴，
∴，故④正确．
2.解：A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算；
B、根据切割线定理即可计算；
C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径；
D、根据切线长定理，得．相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长．
故选D.
3.解：连接AC，BC，
∵AB为直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵（当C点为半圆AB的中点时取等号），
∴；
4.解：∵在中，点C是的中点，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵AB是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵C为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即P为斜边AQ的中点，
∴P为的外心，故③正确；
∵AB是的直径，
∴，
又∵
∴根据射影定理，可得，故④正确；
如图，连接BD，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
故答案为：D．
5.解：∵，，
∴，
∴．
故选C．
6.解：法①：作AB的中点F，连接DF，
则，．
在中，又，得．
∴．
即．
∴．
故选A．
7.解：作与C，
∵，
∴，，
由勾股定理得：，
由射影定理得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵在第四象限，
∴，
由勾股定理得：．
故选B．
8.解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作于点E，于点F，
∴，，即DS是PC的中垂线，
∴，
∴，
∴，
由三角形的面积公式可得，
∵BC为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故选B．
9.解：①∵PC与相切于点C，
∴，，
∴，
∴；
②∵，
∴；
③∵，，
∴，
∵，
∴；
④∵，，
∴，
所以正确的有①，②，③，④，共4个．
故选D．
10.解：如图，连接AM，PB，AN，
∵MN为的直径，
∴．
由题意得：，，，
∴，
∵PM为的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴解得：（舍负），即，
11.解：C．
12.解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时的周长最小，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，即．
故选B．
13.解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选A．
14.解：∵是的直径，
∴，．
∴．
故选A．
15.解：∵中，，CD是斜边AB上的高，
∴，①正确；
，②正确；
，③正确；
不一定成立，④不正确；
16.解：取CF的中点为M，则．
∴和均为等腰三角形，
∴．
设，则．
∴与均为等腰三角形．
∵，
∴设，则，．
过点B作于点N，得．
由射影定理可得．
∴．
∵，
∴．
在中，，则．
∴AF＝．
17.（1）证明：连接BD,
∵,
∴BD是直径,
∴B、O、D在一条直线上.
∵DE是切线,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴.
（2）解：∵,
∴.
∵，，
∴.
∵,
∴,
∴,
∴.
18.解：【问题情境】证明：如图1，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
【结论运用】（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴；
（2）∵，
而，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即，
∴．
19.解：（1）设的半径为，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴，，
在中，，
∴
∴
∴，即的半径为5；
（2）∵FC是的切线，
∴
又∵E是的中点．
∴，
∴，即
∴
在中，
∴
20.解：（1）连接AD，
∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由射影定理得，，
∴
∴，
∴，
∴的面积；
（2）连接BE，
∵AB是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
第十三讲：胡不归与阿氏圆
【参考答案】
1.解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，
设D坐标为(0，y)，则，，
∴设，
等式变形为：，则t的最小值时考虑y的取值即可，
∴，
∴，
，
∴t的最小值为，∴，
∴点D的坐标为，
故选D．
2.如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，
由已知条件千米，千米，BC⊥AC，知
千米．
则千米，
，
设走的行驶时间为y，则．
整理为关于x的一元二次方程得
．
因为x必定存在，所以．即
．
化简得．
解得，
即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．
3.如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，
∴
设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20，
∴或（舍）
∴
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴的最小值为.
4.解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠QDP＝∠DAB＝60°，
∴
∴
∴当点B、P、Q三点共线时，有最小值，
∴的最小值为.
5.解：（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点坐标．
（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时最小．
理由：∵OA＝1，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时最短(垂线段最短)．
在中，∵∠AHD＝90°，，∠HAD＝60°，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
②如图，中，∵，∴∠ABO＝30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵，
∴，
∵，EF2＝EB2，
∴，
解得或，
故，，
∴t的取值范围
6.过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵，
∴∠HEB＝∠ABE，
∴，
设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4(s)
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4(s)，
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则，
∴AD＋DH的最小值为AQ的长，
当y＝0时，，解得，x2＝3，则，，
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵，
∴OC＝4，则，
设直线BE的解析式为，
把，代入得，解得，
∴直线BE的解析式为，
解方程组得或，则E点坐标为，
∴，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝(s)，
即蚂蚁从A到E的最短时间为．
7.解：（1）连接OC，如图，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，
∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，
由题可得CH＝h．
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，
则．
∵OA＝OF＝OC，
∴、是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴，
∴．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即)最小，
此时，
则，．
∴当的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
8.解：在抛物线中，
令，即，解得，，
∴，
令，解得，∴，
设直线AC的解析式为，将A、C两个点坐标代入得，
解得，∴直线AC的解析式为，
设，∵轴，且点E在直线AC上，点P在直线AB上方的抛物线上，
，，
，，
∴，
∵，，∴，∴∠CAO＝30º，
过点E作交y轴于点H，则EH⊥y轴且∠CEH＝∠CAO＝30º，∴，
∵PF⊥x轴，FO⊥OH，EH⊥y轴，∴四边形EFOH为矩形，
∴，∴
∴
∴
∴当时，取得最大值，此时，
∵，∴轴，
∵轴，轴，∴，∴四边形PFOC为矩形，
∴，
作C关于轴的对称点D，连接DB1，则B1C=B1D，
过O1作且O1Q=B1D，连接DQ、PQ,PQ交轴于点G.则四边形O1B1DQ为平行四边形.
∴，
∴
∵，，∴
∵
当最小时，四边形的周长最小，
而，∴当点与G重合时，的值最小为PQ的长，
∵点C、D关于轴对称，且，∴，
∵，，∴
∵，
∴的最小值为，即四边形的周长的最小值为，
设直线PQ的解析式为，
将P、Q坐标代入得，解得，
∴，
令，解得，∴，即.
9.解：（1）抛物线，
令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴，．
∵直线经过点，
∴，解得，
∴直线BD解析式为：．
当x＝﹣5时，，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
∴．
∴抛物线的函数表达式为：．
即．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得，
∴，OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是或．
①若，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
，即：，
∴．
∴，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：x＝8或x＝﹣2(与点A重合，舍去)，
∴．
∵，
∴，即，
解得：．
②若，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：x＝6或x＝﹣2(与点A重合，舍去)，
∴．
∵，
，
∴，
解得，
∵k＞0，
∴，
综上所述，或．
（3）作，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BDH＝30°，
∴，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，
点M在整个运动中用时为：，
∵：，
∴，
∴．
10.解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵，，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为．
∵，
当点P在DG的延长线上时，的值最大(如图2中)，最大值为DG＝5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵，，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为．
∵，
当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．
∵，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG，
在中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴，CF＝2，
在中，，
∵，
当点P在DG的延长线上时，的值最大(如图2中)，最大值为．
11.解：（1）令y＝0，则ax2＋(a＋3)x＋3＝0，
∴(x＋1)(ax＋3)＝0，
∴或，
∵抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3(a≠0)与x轴交于点，
∴，
∴．
∵，，
设直线AB解析式为，则，解得，
∴直线AB解析式为．
（2）如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴，
∴，∵，∴，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，解得m＝2．
（3）如图2中，在y轴上取一点使得，连接，在上取一点使得．
∵OE′＝2，，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴，
∴，
∴，
∴，此时最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，
最小值．
12.解：连接CP，在CB上取一点D，使得CD＝1，连接AD，如图所示：
易得，
∵∠PCD＝∠BCP，∴，
∴，∴，
∴，
当点A、P、D在同一条直线上时，的值最小，
在中，∵CD＝1，CA＝6，
∴，
∴的最小值为.
13.解：取OM的中点G，连接PG与圆O的交点就是点Q，连接OQ、QM，如图所示：
∵MO＝2，∴，
∵圆O的半径，
∴，
∵∠MOQ＝∠QOG，
∴，
∴，∴
∴最小，
∴最小值为.
14.解：取点，连接OP、PK、BK，如图所示：
∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，
∴，
∵∠POK＝∠AOP，
∴，
∴，
∴
∴，
在中，，∴的最小值为BK的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为5.
15.解：（1）结论：相切．
理由：作CM⊥AB于M，如图所示：
在中，
∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，
∴，
∵的半径为4，
∴CM＝r，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：
∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，
∴CF2＝CD•CA，
∴，
∵∠FCD＝∠ACF，
∴．
（3）解：作于，交于．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴欲求的最小值，就是要求EF＋DF的最小值，
当E与，F与重合时，EF＋DF的值最小，最小值．
16.解：（1）把，代入y＝﹣x2＋bx＋c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋4；
（2）设直线AB的解析式为，
把，代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋4，
设，则，
∵，
∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，
∴﹣x2﹣2x＋4﹣(2x＋4)＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为(﹣2，4)；
（3）存在．
当x＝0时，，则，
∵AB2＝42＋82＝80，AC2＝42＋22＝20，BC2＝102＝100，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴为直角三角形，∠BAC＝90°，
∵∠AHF＝∠AEF，
∴点H在以EF为直径的圆上，
EF的中点为M，如图，设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，
∴H点的坐标为或．
17.解：（1）如图，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵，要使最小，
∴只需AP＋AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋AD最小，
即：最小值为AD，
∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°
∴CF＝6，，
∴，
∴，
∴的最小值为;
（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，
∵AB＝9，PB＝3，BF＝1
∴，且∠ABP＝∠ABP，
∴，
∴，
∴
∴，
∴当点F，P，C三点共线时，的值最小，
∴，
∴的值最小值为，
（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP
∴
∴，
∴PF＝2AP
∴2PA＋PB＝PF＋PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP＋PB的值最小，
∵∠COD＝120°，
∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，，
∴MB＝OM＋OB＝4＋3＝7
∴，
∴2PA＋PB的最小值为．
18.解：连接CD，在BC上取点E，使得CE＝2，连接AE、ED，如图所示：
∵CD＝4，BC＝8，CE＝2，
∴，
∴，
∵∠BCD＝∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝2DE，
∴，
∴，
根据两点之间，线段最短，当点D在AE上时，AD＋DE最小，最小值就是AE的长，
∵，∴∠ACB＝90º，
∴
∴的最小值是.
解：依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：
∵，∠POC＝∠EOP，
∴，
∴，∴，
∴，
当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，
∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，
∴，
∴的最小值为.
20.解：（1）连接OP，在射线OA上截取AE＝6，连接PE，如图所示：
则OE＝OA＋AE＝12，
∵C是OA的中点，
∴，
又∵∠POC＝∠EOP，
∴，
∴，
∴PE＝2CP，
∴，
当P、D、E三点共线时，2PC＋PD的值最小，
在中，，
∴2PC＋PD的最小值是；
（2）在射线OB上截取BF＝3，连接CF交于点P，连接OP，如图所示：
OF＝OB＋BF＝9，
∵OD＝4，
∴，
∴
∴，
当C、P、F三点共线时，2PC＋3PD的值最小，
在中，，
∴2PC＋3PD的最小值为.
第十四讲：四点共圆
【参考答案】
1.解：（1）.
（2）取AC中点O，连接OB，OD，BD，过点O作.
因为.
又因为与共斜边，
所以A，B，C，=D在同一个圆上，
所以O为此圆的圆心.
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以.
（3）连接AP，取其中点Q，过点Q做轴.
因为，
所以A，M，P，N，在同一个圆上.
又因为，
所以此圆的半径为，
所以，
所以,
所以最小值为.
2.（1）证明：∵等边三角，∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴，
而A，E，C，B四点共圆，∴，
∴，同理可得，∴.
（2）解：①补全图形如图：
∵，，∴，
以点E为旋转中心，将逆时针旋转得到，
∴，，，
而D，E，C，F四点共圆，
∴，∴,
∴R，C，F三点共线，
而，，，
∴，
∴，
∴，
而，
即，为常量．
②连接BD，则圆心O在BDE，点O是等边三角形ABE的中心．
故，
∴在中，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∵点D、F、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∵点P、F、B、N四点共圆，
∴，
∴，
在中，，
，
在中，，
∵，，
∴，
∴，∴，∴.
3.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
在和中，
∴，
∴.
故答案为：.
（2）①易证，
∴点E，F，G，D在以EF为直径的圆上.
∵，
∴，
∴；
②连接BD交MN于H,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴H为BD的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
设，则，，
∴，，
∴.
4.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，.
∴.
在和中，
∴.
∴.
故答案为：；
②∵，
∴.
∵是等边三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，.
∴.
∵，
∴.
∴，.
∴.
（3）由题得，点P在以点D为圆心，半径为的圆上，
又，
∴点P在以点BD为直径的圆上，
如图，点P为两圆的交点.
①若点P在CD右侧，则连接CP，过点C作于点H，
∵，
∴.
又，，
∴.
∵，
∴B，C，P，D四点共圆，
∴，且
∴，
∴在中，，
解得，舍去，
∴点C到直线BP的距离为；
②若点在CD左侧，连接，过点C作于点，
同理可得.
综上，点C到直线BP的距离为或.
5.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴.
②∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：，.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）①如图，当点B在线段ED的延长线上时，连接CD，取AB中点H，连接EH，CH，
∵，H是AB的中点，
∴，，
∴，
∴点A，E，C，B四点在以H为圆心，为半径的圆上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点C到直线DE的距离；
②如图，当点B在线段DE的延长线上时，
由①同理可得，，，
∴点C到直线DE的距离为，
综上所述，点C到直线DE的距离.
6.解：（1）∵，
∴，，
解得，，，
则，
则，
三角形的面积.
（2）①如图，连接BD，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点P，E，B，D四点共圆，
∵，，
∴，
∴；
②如图，过D作轴于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
过C作轴于H，
同理可得，，
∴，，
∴，
设直线CD的解析式为：，
把C，D两点的坐标代入得：，解得，
则直线CD的解析式为：，
∴，
∴.
7.解：（1）∵，，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，，
∵，
∴点A、点Q、点C，点P四点共圆，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴当的长度最小时，PQ的长度最小，
即当时，PQ的值最小，
此时，PQ的最小值为．
8.解：（1）证明：如图1，连接AC，FC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴，
又直线FG为CE的垂直平分线，
∴，
∴.
（2）解：∵点M，N分别为AE，EF的中点，
∴MN是的中位线，
∴，
又NG是斜边上的中线，
∴.
由（1）知，
∴，即AF的最小值为的最小值，
易知AF的最小值是菱形对角线AC的一半．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故的最小值为.
（3）解：当点E在AB上运动时，的大小不会变化．
理由如下：
如图2，连接AC，MG，分别交BD于点O，H，连接FM．
易知点G是CE的中点，
又点M是AE的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，点M为AE的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴F，M，E，G四点共圆，
∴，
故的大小不会变化．
9.证明：（1）如图，连接，OC.
在中，，点O是AB的中点，
∴.
在中，，点O是AB的中点，
∴，
∴，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
（2）由（1）知，，
∴.
在中，，
∴.
在中，，
∴，
∴.
∵点O是AB的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴CD平分.
（3）由（2）知，.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
即．
10.解：（1）过点A作于E，过点C作于F．
∵，
∴.
在中，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴．
（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．
理由：过点D作，使得，连接CM．
∵四边形ABCD中，，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是对余四边形．
（3）如图③中，过点D作轴于H．
∵，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴.
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，
由（2）可知，，
∴，
整理得，
在中，，
∴，
即．
11.解：（1）①证明：如图1中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②结论：．
理由：如图1中，∵，，，，
∴，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴，
∴．
故答案为：90．
（2）结论：．
理由：如图2中，
∵，，，，
∴，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴，
∴．
（3）如图3中，连接EK．
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或0(舍弃)，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴.
12.解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.
故答案为：1；.
（2）如图2中，设BD交AC于点O，交PC于点E．
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45．
（3）如图中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴A，D，C，B四点共圆，
，，
∴，
∴，设，则，，
∴.
如图中，当点P在线段CD上时，
同法可证：，设，则，，
∴，
∴.
13.解：（1）由旋转得，，，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）点C到AP的距离为1或7.
①当点C在AB上方时，设AB中点为O，
连结，CO，过点C作于点E，
∵，
∴点C，P，B，A四点共圆，
∵点C到A，B的距离相等，且，
∴，
所对的圆周角为和，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵点C到A、B的距离相等，且，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
，
∴，
∵，
即，
即，
∴（不合题意，舍去），；
②当点C在AB下方时，设AB中点为O，
连结CP，CO，过点C作于点F，
∵，
∴点C，B，P，A四点共圆，
∵点C到A，B的距离相等，且，
∴，
所对的圆周角为和，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵点C到A、B的距离相等，且，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
，
∴，
∵，
即，
即，
∴（不合题意，舍去），.
综上，点C到AP的距离为1或7.
14.解：（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵MN垂直平分AP，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵MN垂直平分AP，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接AN，PN，
设，
∵MN垂直平分AP，
∴，
∴，
即，解得：，
∵，
∴P，F，N，C四点共圆，
∴，
∴．
15.解：（1）①∵在中，，，
在中，，，
∴，即，
在和中，
∴，
∴
∴.
故答案为：；
②∵，
∴，
∴.
故答案为：；
（2），.
理由：∵和均为等腰直角三角形，
，
∴，，，
即.
∴.
∴，，
∴.
在等腰直角三角形ABC中，，
∵，
∴；
（3）或.
作于E，连结AD，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴点B、C、A、D四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或5，
∴或.
16.解：（1）将点，代入，
得：，解得，
∴.
（2）如图1，过点P作轴，交AB于点E，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∵，与是等高的两个三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可求得直线AB的解析式为，
设，则，
将点P坐标代入得，
解得，，
当时，，，
∴；
当时，，，
∴，
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，
∴，
∴点P的坐标为或.
（3）由（1）得，抛物线的解析式为，
∴，
∵，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
在四边形CGHM中，，
∴点C、G、H、M共圆，
如图2，连接CH，
则，
∴点H在与y轴夹角为的定直线上，
∴当时，BH最小，过点H作轴于点P，并延长PH交AC于点Q，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
17.（1）解：∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线．
又∵抛物线的顶点D到x轴的距离是4,
∴
设抛物线的解析式为．
将点代入抛物线的解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，即．
（2）证明：令，，
∴．
∵，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：存在.
由（2）易得B，C，D三点在以BD为直径的圆上，
如图，以BD的中点P为圆心画圆，交y轴于点E（异于点C)，过点P作轴于点，轴于点H
∵，
∴，
∴.
又∵,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在y轴上存在异于点C的点E，使得C，D，B，E四点共圆，点E的坐标为．
18.解：（1）结论：，．
如图所示：
理由：如图①中，设BE交DG于点K，AE交DG于点O．
∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图所示，连接EG，作交DA的延长线于H．
∵，
∴A，D，E，G四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
（3）①如图所示，当点E在CD的延长线上时，作交DA的延长线于H．
易证，可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
②如图所示，当点E在DC的延长线上时，易证：，可得．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
综上所述，满足条件的AG的长为或．
19.解：①∵是等边三角形，
∴，，
∴，
由旋转知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②由①知，，
∴，
∵，
∴，
∴C，D，F，E四点共圆，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
证明：由（1）②中，已证；
由（1）①知，是等边三角形，
∴，
由（1）②知，，
由（2）知，点C，D，F，E四点共圆，
∴，
在FC上取一点G，使，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点C，D，F，E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
20.解：（1）如图一（1）中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴．
（2）①如图一（1）中，当时，
∵，，，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
如图一（2）中，当时，易证，
∵，
∴，∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的CM的值为5或．
②结论：大小不变．
理由：如图一（1）中，
∵，
∴A，B，M，N四点共圆，
∴．
如图一（2）中，∵，
∴A，N，B，M四点共圆，
∴，
∵，
∴，
综上所述，．
（3）如图二中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴BN垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，，
∴．