浙江省宁波市江北区五校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份浙江省宁波市江北区五校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
答案：C
解析：解：抛物线的对称轴是．
故选C．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 任意一个三角形内角和等于
B. 投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C. 射击运动员射击一次，命中10环
D. 宁波今年冬天会下雪
答案：A
解析：解：任意一个三角形的内角和等于，一定会发生，是必然事件，故选项A正确；
投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项B错误；
射击运动员射击一次，命中10环，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项C错误；
宁波今年冬天会下雪，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项D错误；
故选A．
3. 等腰中，，以点A为圆心，长为半径画，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上
C. 点在外D. 以上均不可能
答案：B
解析：解：，以点为圆心，长为半径画，
到圆心的距离等于半径，
点与的位置关系是：点在上．
故选：B．
4. 如图，在中，点D、E分别是边、上的中点，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
答案：D
解析：解：点D、E分别是边、上的中点，
，，
，
故选D．
5. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.84
答案：B
解析：解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
6. 如图，BD是⊙O直径，A，C是圆上不与点B，D重合的两个点，若，则∠ACB的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
答案：C
解析：解：连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠ADB=60°．
∴∠ACB=∠ADB=60°．
故选：D．
7. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：把抛物线先向右平移1个单位得到，再向上平移2个单位后得到；
故选：C．
8. 如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2米的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22米，则旗杆的高度为（ ）米．
A. 8.8B. 10C. 12D. 14
答案：C
解析：解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，
若设旗杆高x米，
则，
∴x=12．
故选C．
9. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：二次函数对称轴，且开口向下，
与的函数值相等，
，当时，y随x的增大而减小，
．
故选C．
10. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A. ﹣2≤h≤B. ﹣2≤h≤1C. ﹣1≤h≤D. ﹣1≤h≤
答案：A
解析：解：把y＝x+2与直线y=x联立得：
，解得：，
∴点 ，
根据题意得抛物线的顶点坐标为 ，
把代入直线y=x，得： ，
∴抛物线解析式为 ，
如图，当抛物线经过点C时，
把点 代入得：
，解得： 或（舍去），
如图，当抛物线经过点B时，
将点代入得：
，解得： 或（舍去），
综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ．
故选：A
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. ，则 =________．
答案：
解析：解：
把代入得：
故答案为：
12. 二次函数的图象开口方向向上，则a的取值范围________．
答案：
解析：解：要使二次函数的图象开口方向向上，
即，
解得．
故答案为：．
13. 不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是 _________ ．
答案：
解析：∵事件的所有等可能性有1+2=3种，摸出红球事件的等可能性有1种，
∴摸出红球的概率是，
故答案为：．
14. 如图， 内接于是的直径， 连结， 若， 则的半径____________．
答案：
解析：是的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
，
为等边三角形，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
则的半径为，
故答案为：．
15. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是______.
答案：
解析：解：根据图象可知，抛物线的对称轴为，
抛物线与x轴的一个交点为，
则关于对称的点为，
即抛物线与x轴另一个交点为，
当时，，
故答案：．
16. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为________．
答案：3
解析：解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴，
∴，
设，，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长交于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20、21、22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17. 如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．
（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；
（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1解析：
解：如下图所示，即为所求作的图形，
小问2解析：
如下图所示，即为所求作的图形，
18. 一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
答案：（1）详见解析；（2）游戏不公平，理由见解析．
解析：列举所有可能：
（2）游戏不公平，理由如下：
由表可知甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，乙获胜的可能性大，
所以游戏不公平．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为________；
（2）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
小问1解析：
∵，
∴，
设外接圆的半径为，则有：，
故答案为：
小问2解析：
如图，即为所作，
小问3解析：
∵，
∴点C经过的路径长
20. 如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
（1）求证：；
（2）若，，求弦的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
小问2解析：
解：，
，
，
，
，
在中，
，
．
21. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
答案：（1）y＝﹣（x﹣1）2+5，顶点为（1，5）；（2）①n＝1；②﹣1≤m≤1
解析：解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)．
∴，解得，
∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣(x﹣1)2+5，
∴顶点为(1，5)；
（2）∵点C(m，n)在该二次函数图象上，
①当m＝﹣1时，则C(﹣1，n)，
把C(﹣1，n)代入y＝﹣x2+2x+4得，
n=-1-2+4=1，
∴n＝1；
②∵y＝﹣(x﹣1)2+5，
∴当x=3时，y＝﹣(3﹣1)2+5=1，抛物线对称轴是直线x=1，函数的最大值是5，
∴点(3，1)关于关于对称轴的对称点是(-1，1)，抛物线的顶点为(1，5)．
∵当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，
∴m的取值范围是-1≤m≤1．
22. 如图，等腰直角中，，，点D、E分别在边、上（不与点A、B、C重合），连接、，有．
（1）证明：．
（2）若，当是等腰三角形时，求的长．
答案：（1）见解析 （2）或
小问1解析：
解：，
，
，
，
，
，
；
小问2解析：
解：是等腰三角形，有三种情况：
①当时，，
，
，
，
，
平分，
垂直平分，
；
②当时，
由（1）知，此时与为对应边，
，
，
，
由勾股定理可得，
即，
解得，
，
；
③当时，
此时点重合，点重合，不符合题意，舍去．
故的长为或．
23. 随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
答案：（1）利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0），利润y2关于投资量x的函数关系式是y=x2（x≥0）；
（2）当x=8时，z的最大值是32．
解析：（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．
试题解析：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a•22，a=，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2（x≥0）；
（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z
元，根据题意，
得z=2（8-x）+x2=x2-2x+16=（x-2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）2≤36，
∴（x-2）2≤18，
∴（x-2）2+14≤18+14=32，
即z≤32，此时x=8，
答：当x=8时，z的最大值是32．
考点：1．二次函数的应用；2．一次函数的应用．
24. 如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为________；
（2）如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为________；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
（4）如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
答案：（1）120 （2）2
（3）
（4）见解析，
小问1解析：
解：连接，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
小问2解析：
解：由题可知，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，
是的中点，
，
当三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为；
小问3解析：
解：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
小问4解析：
证明：由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，
由（1）得，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
、D、P三点共线，
，
过A作于G，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
0
1
2
0
1
2
1
1
3
2
2
3