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专题23 圆的基本性质的核心知识点精讲（讲义）-备战中考数学一轮复习考点帮（全国通用）
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1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点6：圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点7：圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴
【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
【答案】B
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故选：B．
1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴＝，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OA＝×2＝1，
故答案为：1．
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，
故选：C．
2．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
【题型3：弧、弦、圆心角】
【典例3】（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵＝，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
1．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
2．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140°B．120°C．110°D．70°
【答案】A
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．20°B．18°C．15°D．12°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝∠BOC＝15°．
故选：C．
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
【答案】C
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为＝2π，
故选：B．
2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝ 70 °．
【答案】70．
【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案为：70．
3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
一．选择题（共9小题）
1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．76°C．80°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故选：B．
2．如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．110°D．130°
【答案】D
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】B
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．2B．2C．4D．10
【答案】B
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝4，
∴CE＝DE＝CD＝2，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴OD＝DE＝2，
即⊙O的半径为2，
故选：B．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
9．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 105 °．
【答案】105．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为：105．
11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 28° ．
【答案】28°．
【解答】解：连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝62°，
∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠C＝∠D＝28°，
故答案为：28°．
12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案为2．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1） ．
【答案】（2，1）．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故答案为：100°．
三．解答题（共1小题）
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
【答案】C
【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故选：C．
2．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【答案】D
【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是的中点，
∴，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：连接CO，
∵四边形ACBO为菱形，
∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，
∴△OBC与△OAC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，
故选：C．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．38°B．40°C．42°D．44°
【答案】A
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠DCA＝∠B﹣∠BAC＝64°﹣26°＝38°，
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD，
设BC＝x，则OD＝x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故选：C．
6．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A．B．πC．2πD．4 π
【答案】A
【解答】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED＝EO，
∴OE＝OB，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝3．
故选：A．
7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∵AN⊥OD，
∴ON＝DN＝2，
∴OA＝OD＝ON+DN＝4，
∵M平分ON，
∴MN＝ON＝1，
∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD，
∴AN＝OA＝2，
∴AM＝＝．
故选：A．
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
【答案】D
【解答】解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°，＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：C．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是 42 度．
【答案】42．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，
∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，
故答案为：42．
12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，若AB＝6，则BD的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：连接AD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36，
解得BD＝3．
故答案为：3．
13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 8 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接OA，
∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，
∴OD＝8﹣5＝3（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m），
故答案为：8．
14．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为 140° ．
【答案】140°．
【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，
即＝，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝40°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
三．解答题（共2小题）
15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π ）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，如图，
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是中点，
∴EF是弓形高，
∴AE＝AB＝2，EF＝2，
设半径为R米，则OE＝（R﹣2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，
解得R＝4，
∵sin∠AOE＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝120度．
∴的长为＝π（m），
∴帆布的面积为π×60＝160π（平方米）．
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
【答案】D
【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故选：D．
2．（2023•淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD•AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半径为，
故选：A．
3．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（ ）
A．300πmB．200πmC．150πmD．100πm
【答案】B
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴AD＝ AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴+（OA﹣150）2＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝200πm．
故选：B．
4．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOD＝124°，
∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，
∴∠ACD＝∠AOD＝28°，
故选：C．
5．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1B．2C．2D．4
【答案】B
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
6．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 120 °．
【答案】120．
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
7．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 140 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140．
8．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 80° ．
【答案】80°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案为：80°．
9．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 16 cm．
【答案】16．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中，（cm），
∴AB＝2AC＝16（cm），
故答案为：16．
10．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ 0.1 ．（结果保留一位小数）
【答案】0.1．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AO＝2，∠AOB＝90°，
∴OB＝2，AB＝2，
∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO＝，CD＝2﹣，
∵，
∴s＝2+＝3，
∵l＝2π×2×≈3.1，
∴|l﹣s|≈0.1
故答案为：0.1．
1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点6：圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点7：圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴
【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20mB．28mC．35mD．40m
【答案】B
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故选：B．
1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴＝，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OA＝×2＝1，
故答案为：1．
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，
故选：C．
2．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
【题型3：弧、弦、圆心角】
【典例3】（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵＝，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
1．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
2．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140°B．120°C．110°D．70°
【答案】A
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．20°B．18°C．15°D．12°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝∠BOC＝15°．
故选：C．
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
【答案】C
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为＝2π，
故选：B．
2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝ 70 °．
【答案】70．
【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案为：70．
3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
一．选择题（共9小题）
1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．76°C．80°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故选：B．
2．如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．110°D．130°
【答案】D
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】B
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．2B．2C．4D．10
【答案】B
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝4，
∴CE＝DE＝CD＝2，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴OD＝DE＝2，
即⊙O的半径为2，
故选：B．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
9．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 105 °．
【答案】105．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为：105．
11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 28° ．
【答案】28°．
【解答】解：连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝62°，
∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠C＝∠D＝28°，
故答案为：28°．
12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案为2．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1） ．
【答案】（2，1）．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故答案为：100°．
三．解答题（共1小题）
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
【答案】C
【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故选：C．
2．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【答案】D
【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是的中点，
∴，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：连接CO，
∵四边形ACBO为菱形，
∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，
∴△OBC与△OAC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，
故选：C．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．38°B．40°C．42°D．44°
【答案】A
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠DCA＝∠B﹣∠BAC＝64°﹣26°＝38°，
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD，
设BC＝x，则OD＝x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故选：C．
6．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A．B．πC．2πD．4 π
【答案】A
【解答】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED＝EO，
∴OE＝OB，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝3．
故选：A．
7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∵AN⊥OD，
∴ON＝DN＝2，
∴OA＝OD＝ON+DN＝4，
∵M平分ON，
∴MN＝ON＝1，
∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD，
∴AN＝OA＝2，
∴AM＝＝．
故选：A．
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
【答案】D
【解答】解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°，＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：C．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是 42 度．
【答案】42．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，
∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，
故答案为：42．
12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，若AB＝6，则BD的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：连接AD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36，
解得BD＝3．
故答案为：3．
13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 8 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接OA，
∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，
∴OD＝8﹣5＝3（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m），
故答案为：8．
14．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为 140° ．
【答案】140°．
【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，
即＝，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝40°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
三．解答题（共2小题）
15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π ）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，如图，
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是中点，
∴EF是弓形高，
∴AE＝AB＝2，EF＝2，
设半径为R米，则OE＝（R﹣2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，
解得R＝4，
∵sin∠AOE＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝120度．
∴的长为＝π（m），
∴帆布的面积为π×60＝160π（平方米）．
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
【答案】D
【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故选：D．
2．（2023•淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD•AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半径为，
故选：A．
3．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（ ）
A．300πmB．200πmC．150πmD．100πm
【答案】B
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴AD＝ AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴+（OA﹣150）2＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝200πm．
故选：B．
4．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOD＝124°，
∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，
∴∠ACD＝∠AOD＝28°，
故选：C．
5．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1B．2C．2D．4
【答案】B
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
6．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 120 °．
【答案】120．
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
7．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 140 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140．
8．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 80° ．
【答案】80°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案为：80°．
9．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 16 cm．
【答案】16．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中，（cm），
∴AB＝2AC＝16（cm），
故答案为：16．
10．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ 0.1 ．（结果保留一位小数）
【答案】0.1．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AO＝2，∠AOB＝90°，
∴OB＝2，AB＝2，
∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO＝，CD＝2﹣，
∵，
∴s＝2+＝3，
∵l＝2π×2×≈3.1，
∴|l﹣s|≈0.1
故答案为：0.1．
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专题23 圆的基本性质的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习（全国通用）： 这是一份专题23 圆的基本性质的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习（全国通用），文件包含专题23圆的基本性质的核心知识点精讲讲义-备战2024年中考数学一轮复习全国通用原卷版docx、专题23圆的基本性质的核心知识点精讲讲义-备战2024年中考数学一轮复习全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
