2024七年级数学下册第4章因式分解综合素质评价试卷（附解析浙教版）

这是一份2024七年级数学下册第4章因式分解综合素质评价试卷（附解析浙教版），共12页。

第4章综合素质评价 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1. 【2023·嘉兴期末】下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(　　) A. x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 B. x＋2y＝(x＋y)＋y C. (x＋2)2＝x2＋4x＋4 D. x2－1＝(x＋1)(x－1) 2. 若多项式4a2＋1加上一个单项式以后，能够进行因式分解，这个单项式不可能是(　　) A. 4a4 B. 5a2 C. －5a2 D. －4a 3. 【2023·杭州西湖区期末】下列多项式因式分解的结果中不含因式(x－2)的是(　　) A. x2－2x B. x2－4 C. x2－4x＋4 D. x2＋4x＋4 4. 多项式x2＋x－6可因式分解成(x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则(a＋b)2 025的值为(　　) A. －1 B. 1 C. －2 025 D. 2 025 5. 【2023·宁波北仑区期末】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式. 观察如图的长方形，可以得到的因式分解的等式是(　　) A. (a＋b)(2a＋b)＝2a2＋3ab＋b2 B. 2a2＋3ab＋b2＝(a＋b)(2a＋b) C. 2a2＋5ab＋2b2＝(a＋2b)(2a＋b) D. 2a2＋4ab＋2b2＝2(a＋b)2 6. 已知一个圆的面积为9πa2＋6πab＋πb2(a>0，b>0)，则该圆的半径是(　　) A. 3a＋b B. 9a＋b C. 3ab D. 3πa＋πb 7. 计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,42)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,52)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,62)))的值为(　　) A. eq \f(5,12) B. eq \f(1,2) C. eq \f(7,12) D. eq \f(11,30) 8. 【2023·宁波江北区期末】若S＝3x2－2xy＋y2，T＝x2＋2xy－y2，则S与T的大小关系为(　　) A. S>T B. Sb). (1)若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为(2a＋b)的大正方形，则需要取乙纸片________张，丙纸片________张； (2)若取甲纸片1张，乙纸片3张，丙纸片2张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为________，宽为________. 三、解答题(本题有8小题，共66分) 17. (6分)利用因式分解计算： (1)2 0252－2 0242; (2)121×0. 13＋12. 1×0. 9－12×1. 21； (3)2022＋982＋202×196. 18. (6分)如图，在一块边长为a cm的正方形纸板四角各剪去一个边长为b(b<eq \f(a,2))cm的正方形，利用因式分解计算：当a＝13. 2，b＝3. 4时，剩余部分的面积. 19. (6分)下列方框中的内容是小佳同学对多项式(x2＋4x＋3)(x2＋4x＋5)＋1分解因式的过程. 请回答下列问题： (1)小佳分解因式中第二步到第三步运用了________； A. 提公因式法 B. 两数和的完全平方公式法 C. 两数差的完全平方公式法 D. 平方差公式法 (2)小佳得到的结果能否继续因式分解？若能，直接写出分解因式的结果；若不能，请说明理由； (3)请对多项式(x2－2x－7)(x2－2x＋9)＋64进行因式分解. 20. (8分)【2023·绍兴柯桥区期末】给出三个多项式：①a2＋3ab－2b2，②b2－3ab， ③ab＋6b2. (1)请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解； (2)当a＝2，b＝－3时，求第(1)问所得的代数式的值. 21. (8分) 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“和谐数”. (1)已知28为“和谐数”，且28＝m2－n2，求m＋n的值； (2)嘉淇观察发现以上“和谐数”均为4的倍数，于是猜想：所有“和谐数”都是4的倍数. 设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，请你通过计算判断嘉淇的猜想是否正确. 22. (10分)阅读材料，回答下列问题： 若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值. 解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0， ∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0. 即(m－n)2＋(n－4)2＝0. ∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0， ∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0. ∴n＝4，m＝4. (1)若a2＋b2－4a＋4＝0，求a，b的值； (2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2ac＝0. 判断△ABC的形状，并说明理由. 23. (10分)【2023·杭州拱墅区期中】定义新运算：a⊕b＝a(a－b). 例如：3⊕2＝3×(3－2)＝3，－1⊕4＝－1×(－1－4)＝5. (1)计算－4⊕5和5⊕(－4)； (2)已知2⊕a＝5b－2m，3⊕b＝5a＋m，说明：12a＋11b的值与m无关； (3)已知a>1，记M＝ab⊕b，N＝b⊕ab，试比较M，N的大小. 24. (12分)【2023·宁波海曙区期末】阅读材料： 我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式. 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等. 例如：分解因式：x2＋2x－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)； 又例如：求代数式2x2＋4x－6的最小值：∵2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2(x＋1)2－8， 又∵(x＋1)2≥0， ∴当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8. 根据材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：a2＋6a＋8＝________； (2)已知实数a，b满足a2－8b＝12a－b2－52，求2a＋b的值； (3)当x＝________，y＝________时，多项式－2x2－2xy－y2＋8x－7的最大值为________. 答案 一、1. D 2. B　【点拨】A. 4a4＋4a2＋1＝(2a2＋1)2； B. 5a2＋4a2＋1＝9a2＋1，不能因式分解； C. －5a2＋4a2＋1＝1－a2＝(1＋a)(1－a)； D. －4a＋4a2＋1＝(2a－1)2. 3. D　【点拨】A. x2－2x＝x(x－2)，含有因式x－2； B. x2－4＝(x＋2)(x－2)，含有因式x－2； C. x2－4x＋4＝(x－2)2，含有因式x－2； D. x2＋4x＋4＝(x＋2)2，不含因式x－2. 4. B　【点拨】∵x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)，多项式x2＋x－6可因式分解成 (x＋a)(x＋b)， ∴a＝3，b＝－2或a＝－2，b＝3， ∴(a＋b)2 025＝12 025＝1. 5. C　【点拨】运用组合图形的思路求整体的面积＝2a2＋5ab＋2b2，直接求长方形的面积＝(a＋2b)(2a＋b)， ∴2a2＋5ab＋2b2＝(a＋2b)(2a＋b). 6. A　【点拨】∵9πa2＋6πab＋πb2＝π(9a2＋6ab＋b2)＝π(3a＋b)2，∴圆的半径是3a＋b. 7. C　【点拨】原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,6))) ＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×eq \f(2,3)×eq \f(4,3)×eq \f(3,4)×eq \f(5,4)×eq \f(4,5)×eq \f(6,5)×eq \f(5,6)×eq \f(7,6) ＝eq \f(1,2)×eq \f(7,6) ＝eq \f(7,12). 8. C　【点拨】∵S－T＝(3x2－2xy＋y2)－(x2＋2xy－y2) ＝3x2－2xy＋y2－x2－2xy＋y2 ＝2x2＋2y2－4xy ＝2(x2＋y2－2xy) ＝2(x－y)2≥0， ∴S≥T. 9. A　【点拨】∵b－a＝1，∴b＝a＋1. ∴a2＋2b－6a＋7＝a2＋2(a＋1)－6a＋7＝a2－4a＋9＝(a－2)2＋5. ∵(a－2)2≥0，∴当a＝2时，代数式a2＋2b－6a＋7有最小值，最小值为5. 故选A. 10. B　【点拨】∵X2－16Y2＝(X＋4Y)(X－4Y)＝16，X＋4Y＝eq \f(1,2)，① ∴X－4Y＝32，② 联立①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(X＋4Y＝\f(1,2)，,X－4Y＝32，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(X＝\f(65,4)，,Y＝－\f(63,16)，)) ∴X－Y＝eq \f(323,16). 二、11. 2　【点拨】4x3y－4x2y2＋xy3 ＝xy(4x2－4xy＋y2) ＝xy(2x－y)2. ∵2x－y＝1，xy＝2，∴原式＝2×12＝2. 12. 6　【点拨】∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝1的解， ∴a－2b＝1， ∴a2－4b2－4b＋5 ＝(a＋2b)(a－2b)－4b＋5 ＝a＋2b－4b＋5 ＝a－2b＋5 ＝1＋5 ＝6. 13. (2y＋3)2或(2y－3)2　【点拨】∵(2y±3)2＝4y2±12y＋9，4y2＋my＋9是完全平方式，∴m＝±12. 当m＝12时，4y2＋my＋9＝4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2. 当m＝－12时，4y2＋my＋9＝4y2－12y＋9＝(2y－3)2. 14. 2x2－12x＋18；2(x－3)2 【点拨】∵2(x－1)(x－9)＝2x2－20x＋18， 2(x－2)(x－4)＝2x2－12x＋16， ∴原多项式为2x2－12x＋18， 2x2－12x＋18＝2(x2－6x＋9)＝2(x－3)2. 15. －1　【点拨】∵x－y＋2a＝5，∴x－y＝5－2a. ∴(x－y)2＝(5－2a)2，即x2－2xy＋y2＝25－20a＋4a2. ① ∵4xy＋12a2－4a＝－33，② ∴①＋②得x2－2xy＋y2＋4xy＋12a2－4a＝25－20a＋4a2－33，即x2＋2xy＋y2＋8a2＋16a＋8＝0， ∴(x＋y)2＋8(a＋1)2＝0. 又∵(x＋y)2≥0，(a＋1)2≥0，∴a＋1＝0，∴a＝－1. 16. (1)4；1　(2)(a＋2b)；(a＋b) 【点拨】(1)∵(2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2， ∴需要取乙纸片4张，丙纸片1张. (2)依题意，得a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)， ∴这个长方形的长为(a＋2b)，宽为(a＋b). 三、17.【解】(1)2 0252－2 0242 ＝(2 025＋2 024)×(2 025－2 024) ＝4 049×1 ＝4 049. (2)121×0. 13＋12. 1×0. 9－12×1. 21 ＝1. 21×13＋1. 21×9－1. 21×12 ＝1. 21×(13＋9－12) ＝1. 21×10 ＝12. 1. (3)2022＋982＋202×196 ＝2022＋982＋2×202×98 ＝(202＋98)2 ＝3002 ＝90 000. 18.【解】依题意，得剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) cm2， 当a＝13. 2，b＝3. 4时，a2－4b2＝(13. 2＋2×3. 4)×(13. 2－2×3. 4)＝128. ∴剩余部分的面积为128 cm2. 19.【解】(1)B (2)能，分解因式的结果为(x＋2)4. (3)设y＝x2－2x， 则原式＝(y－7)(y＋9)＋64 ＝y2＋2y＋1 ＝(y＋1)2 ＝(x2－2x＋1)2 ＝[(x－1)2]2 ＝(x－1)4. 20.【解】(1)①＋②，得a2＋3ab－2b2＋b2－3ab＝a2－b2＝(a＋b)(a－b). (答案不唯一) (2)当a＝2，b＝－3时，(a＋b)(a－b)＝－5. 21.【解】(1)∵28为“和谐数”， 且28＝m2－n2， ∴28＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)，且m－n＝2， ∴m＋n＝14. (2)(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)＝2(4k＋2)＝4(2k＋1)， ∵k为非负整数，∴2k＋1一定为正整数， ∴4(2k＋1)一定能被4整除，∴嘉淇的猜想正确. 22.【解】(1)∵a2＋b2－4a＋4＝0， ∴(a2－4a＋4)＋b2＝0，即(a－2)2＋b2＝0. 又∵(a－2)2≥0，b2≥0， ∴(a－2)2＝0，b2＝0，∴a＝2，b＝0. (2)△ABC是等边三角形，理由如下： ∵a2＋2b2＋c2－2ab－2ac＝0. ∴(a2－2ab＋b2)＋(b2－2ac＋c2)＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0. 又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，∴(a－b)2＝0，(b－c)2＝0. ∴a＝b，b＝c. ∴a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形. 23.【解】(1)－4⊕5＝－4×(－4－5)＝36， 5⊕(－4)＝5×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－（－4）))＝45. (2)∵2⊕a＝5b－2m，3⊕b＝5a＋m， ∴2(2－a)＝5b－2m，3(3－b)＝5a＋m， ∴5b＋2a＝4＋2m，①　5a＋3b＝9－m，② ①＋②×2，得12a＋11b＝22， ∴12a＋11b的值与m无关. (3)∵M＝ab⊕b＝ab(ab－b)＝ab2(a－1)， N＝b⊕ab＝b(b－ab)＝b2(1－a)， ∴M－N＝ab2(a－1)－b2(1－a)＝b2(a－1)(a＋1). ∵a>1，∴a－1>0，a＋1>0. 又∵b2≥0， ∴M－N＝b2(a－1)(a＋1)≥0，即M≥N. 24.【解】(1)(a＋4)(a＋2) (2)∵a2－8b＝12a－b2－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－6＝0，,b－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4.)) ∴2a＋b＝2×6＋4＝16. (3)4；－4；9 【点拨】(3)－2x2－2xy－y2＋8x－7 ＝－(x2＋2xy＋y2)－(x2－8x＋16)＋16－7 ＝－(x＋y)2－(x－4)2＋9. ∵(x＋y)2≥0，(x－4)2≥0， ∴－(x＋y)2－(x－4)2＋9≤9， ∴当x＋y＝0，x－4＝0， 即x＝4，y＝－4时，－2x2－2xy－y2＋8x－7有最大值，最大值为9. 分解因式：(x2＋4x＋3)(x2＋4x＋5)＋1. 解：设y＝x2＋4x， 则原式＝(y＋3)(y＋5)＋1(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2＋4x＋4)2. (第四步)