18.2.3正方形的性质与判定

18.2.3正方形的性质与判定 一．选择题（共6小题） 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（　　） A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 3．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 5．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．55° 6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．75° B．60° C．55° D．45° 二．填空题（共6小题） 7．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　． 8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　 　． 9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB＝　 　． 10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，则正方形的边长为　 　． 11．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 　 　． 12．如图，正方形ABCD的面积为16，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上运动，∠EOF＝90°，OG平分∠EOF，与边BC交于点G．则下列结论： ①OE＝OF； ②四边形OEBF的面积保持4不变； ③BG2+CF2＝GF2； ④EF的最小值为． 其中正确说法的序号是 　 　．（把你认为正确的序号都填上） 三．解答题（共6小题） 13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP． （1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论； （2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长． 14．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 15．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形． 16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G． （1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接BF，求证：AB＝FB． 17．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．F是BD上的一个动点（F与B、D不重合） （1）求证：△AFB≌△CFB； （2）设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明点F此时的位置． 18．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB＝GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB＝2，AG＝，求EB的长．  18.2.3正方形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选B． 故选：B． 【点评】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质． 2．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（　　） A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 【分析】根据正方形的性质可得到∠DBC＝∠BCA＝45°又知BP＝BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数． 【解答】解：∵ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠BCA＝45°， ∵BP＝BC， ∴∠BCP＝∠BPC＝67.5°， ∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝67.5°﹣45°＝22.5°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是掌握正方形的对角线平分对角的性质，及等腰三角形的性质，难度一般． 3．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】由正方形的性质得出DC＝CB，∠DCE＝∠CBF＝90°，由ASA证得△DCE≌△CBF，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3， Rt△DCE中，∠CDE＝30°， ∴CE＝DE， 设CE＝x，则DE＝2x， 根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2， 即32+x2＝（2x）2， 解得：x＝±（负值舍去）， ∴CE＝， ∵DE⊥CF， ∴∠DOC＝90°， ∴∠DCO＝60°， ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE， ∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC， ∴△DCE≌△CBF（ASA）， ∴BF＝CE＝． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明△DCE≌△CBF是解题的关键． 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段DG长，利用中位线得到MN长即可． 【解答】解：连接DG，EF， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴四边形AEFD是矩形， ∴M是ED的中点， 在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1， ∴BC＝DC＝4， 在Rt△DGC中，由勾股定理得， DG＝＝＝， 在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点， ∴MN是三角形EDG的中位线， ∴MN＝DG＝． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键． 5．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．55° 【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可． 【解答】解：设∠BAE＝x°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵AE＝AB， ∴AB＝AE＝AD， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°， ∠DAE＝90°﹣x°， ∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+x°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED ＝180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°） ＝45°． 答：∠BEF的度数是45°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大． 6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．75° B．60° C．55° D．45° 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°； 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 7．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　（﹣1，5）　． 【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′． ∵四边形OEFG是正方形， ∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH， 在△OGM与△EOH中， ∴△OGM≌△EOH（ASA） ∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3， ∴G（﹣3，2）． ∴O′（﹣，）． ∵点F与点O关于点O′对称， ∴点F的坐标为 （﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 【点评】考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，根据题意求得点G的坐标是解题的难点． 8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　　． 【分析】在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，可知O是中点，∠BCD＝90°，F为DE的中点，则CF＝EF＝DF，△CEF的周长为32，CE＝7，则CF+EF＝25，即DE＝25，根据勾股定理可得CD＝24＝BC，从而求得BE，再根据中位线的性质即可解答． 【解答】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴∠BCD＝90°，O是中点， ∵F为DE的中点， ∴CF＝EF＝DF， ∵△CEF的周长为32，CE＝7， ∴CF+EF＝25，即DE＝25， 在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝24＝BC， ∴BE＝24﹣7＝17， 根据三角形的中位线可得OF＝BE＝． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键． 9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB＝　15°　． 【分析】由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等边三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到AB＝AE，且得到∠BAD为直角，∠DAE为60°，由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AEB的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°， 又∵AB＝AE， ∴∠AEB＝＝15°． 故答案为：15°． 【点评】此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，则正方形的边长为　6　． 【分析】延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG和EF，由△ABG≌△ADF（SAS），推出AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，由△AEG≌△AEF（SAS），推出GE＝EF，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°， ∴∠EAF＝∠GAE 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS） ∴GE＝EF， 设正方形的边长为x，DF＝x﹣4，EC＝x﹣3，GE＝EF＝BG+BE＝DF+BE＝x﹣4+3＝x﹣1， 在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2， 即（x﹣1）2＝（x﹣3）2+42， 解得：x＝6， 即正方形的边长为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 11．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 　6　． 【分析】方法一：延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，可得四边形AA′EH是平行四边形，所以A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题．方法二：过点G作GA′∥AH交AF于点A′，可得四边形AHGA′是平行四边形，进而可以解决问题． 【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG， ∵HE⊥AB，AA′⊥AB， ∴AA′∥EH， ∵A′A＝EH， ∴四边形AA′EH是平行四边形， ∴A′E＝AH， 则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝FG＝4， ∴EG＝4， ∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10， 在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10， ∴A′C＝＝10， ∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝6． 则AH+CG的最小值为6． 方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′， ∴四边形AHGA′是平行四边形， ∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH， ∴A′B＝AB﹣AA′＝6， ∵BC＝6， ∴A′C＝6， ∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C， 则AH+CG的最小值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 12．如图，正方形ABCD的面积为16，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上运动，∠EOF＝90°，OG平分∠EOF，与边BC交于点G．则下列结论： ①OE＝OF； ②四边形OEBF的面积保持4不变； ③BG2+CF2＝GF2； ④EF的最小值为． 其中正确说法的序号是 　①②③④　．（把你认为正确的序号都填上） 【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OCF＝∠OBE＝45°， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，故①正确； ∴△BOE与△COF的面积相等， ∴四边形OEBF的面积与△OBC的面积相等， 又∵△BOC的面积等于正方形ABCD面积的四分之一， ∴四边形OEBF的面积保持4不变，故②正确； 如图所示，连接EG， ∵OG平分∠EOF， ∴∠EOG＝∠FOG， 又∵OE＝OF，OG＝OG， ∴△EOG≌△FOG（SAS）， ∴EG＝FG， ∵△BOE≌△COF， ∴BE＝CF， ∵Rt△BEG中，BG2+BE2＝EG2， ∴BG2+CF2＝GF2，故③正确； ∵OE＝OF，∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴EF＝OE， 当OE有最小值时，EF的值最小， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴当OE⊥AB时，OE的最小值等于AB的一半， 即OE的最小值等于2， ∴EF的最小值为，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形、直角三角形解决问题． 三．解答题（共6小题） 13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP． （1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论； （2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长． 【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF，从而得出结论； （2）由△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案． 【解答】解：（1）AF＝BE，且AF⊥BE，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°， 在△BAE和△ADF中， ， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴AF＝BE，∠DAF＝∠ABE， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴AF⊥BE； （2）由（1）知∴△BAE≌△ADF， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF＝90°， ∵点P为BF的中点， ∴OP＝BF， ∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2， ∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3， ∴BF＝＝＝， ∴OP＝． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键． 14．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°， 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）解：连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO， 又∵DF＝BE， ∴OE＝OF，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形， ∵AB＝3， ∴AC＝BD＝6， ∵BE＝DF＝2， ∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 15．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形． 【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键． 16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G． （1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接BF，求证：AB＝FB． 【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE； （2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC， 又∵AG⊥DE， ∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF， ∴∠DAG＝∠CDE， ∴△ADG≌△DCE（ASA）； （2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE（ASA）， ∴BH＝DC＝AB， 即B是AH的中点， 又∵∠AFH＝90°， ∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 17．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．F是BD上的一个动点（F与B、D不重合） （1）求证：△AFB≌△CFB； （2）设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明点F此时的位置． 【分析】（1）AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，BF＝BF，SAS可证△AFB≌△CFB； （2）AF＝FC，EFC的长＝EF+CF＝EF+AF，当A，F，E在一条直线时m取得最小值． 【解答】（1）证明：在△AFB与△CFB中，AB＝BC，BF＝BF，∠ABD＝∠CBD＝45° ∴△AFB≌△CFB（5分） （2）解：∵△AFB≌△CFB ∴AF＝FC（1分） ∴m＝EF+CF＝EF+AF 仅当A，F，E在一条直线时m取得最小值（4分） 此时连接AE交BD于F，有AE＝（1分） 故m的最小值为 此时F是AE与BD的交点．（1分） 【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，SAS证明△AFB≌△CFB．求m的最小值，用到两点之间线段最短． 18．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB＝GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； （3）若AB＝2，AG＝，求EB的长． 【分析】（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，得到∠GAD＝∠EAB，从而△GAD≌△EAB，即EB＝GD； （2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG＝∠ABE，则在△BDH中，∠DHB＝90°所以EB⊥GD； （3）设BD与AC交于点O，由AB＝AD＝2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果． 【解答】解：（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD， ∴∠GAD＝∠EAB， ∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形， ∴AG＝AE，AB＝AD， 在△GAD和△EAB中 ， ∴△GAD≌△EAB（SAS）， ∴EB＝GD； （2）解：EB⊥GD． 理由如下：如图1，AD，BE的交点记作点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠AMB+∠ABM＝90°， 又∵△AEB≌△AGD， ∴∠GDA＝∠EBA， ∵∠HMD＝∠AMB（对顶角相等）， ∴∠HDM+∠DMH＝∠AMB+∠ABM＝90°， ∴∠DHM＝180°﹣（∠HDM+∠DMH）＝180°﹣90°＝90°， ∴EB⊥GD． （3）解：如图2，连接AC、BD，BD与AC交于点O， ∵四边形ABCD是正方形，OA＝OB， ∴BD⊥CG， ∵AB＝AD＝2， 在Rt△ABD中，DB＝， OD＝DB＝ 在Rt△AOB中，OA＝OB，AB＝2，由勾股定理得：2AO2＝22， OA＝， 即OG＝OA+AG＝+＝2， ∴EB＝GD＝． 【点评】本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 10:25:34；用户：初中数学；邮箱：cyzxjy02@xyh.com；学号：30082752