18.2.1矩形的性质与判定

18.2.1矩形的性质与判定 一．选择题（共9小题） 1．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿AB向下平移使A点到达B点，得到△BEC，下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定是等腰三角形 B．△ACE一定是等边三角形 C．△ACE一定是锐角三角形 D．△ACE不可能是等腰直角三角形 3．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝AB D．OA＝OB 4．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90° C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° 5．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4.8 6．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 7．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（　　） A． B． C． D．8 8．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F分别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（　　） A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长 9．在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论： ①BD平分∠CDE；②2AB+EF＝4AD；③（﹣1）CD＝DE；④CF：AE＝（+1）：1． 其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题） 10．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，DC＝4cm，则AC的长为 　 　cm． 11．E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的形状是 　 　，当AC与BD满足条件 　 　时，四边形EFGH是矩形． 12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE+FC，则边BC的长为　 　． 13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是　 　． 14．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论： ①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE， 其中正确的结论的序号是　 　． 15．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　 　． 三．解答题（共7小题） 16．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，AE⊥BD于点E，求OE的长． 17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝3∠BCD，E是AB的中点， （1）求∠A的对数； （2）探究AB与DE之间的数量关系． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）求矩形ADBE的面积． 19．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD＝EF，连接EB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 20．如图，△ABC中，点D是AB的中点，将BD沿射线BC方向平移得到线段CE，连接DE，DC，AE，若BD＝3，AE＝4，AE⊥CE． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）求△ABC的周长． 21．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处． （1）试判断△BEF的形状，并说明理由； （2）若AE＝3，求△BEF的面积． 22．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M、N分别是BC、DE的中点． （1）猜想，MN与DE的位置关系，并证明； （2）若∠A＝60°，求的值．  18.2.1矩形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【分析】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项B符合题意； C、对角线相等，是矩形具有的性质，而菱形不具有的性质，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了菱形的性质以及矩形的性质，正确区分矩形和菱形的性质是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿AB向下平移使A点到达B点，得到△BEC，下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定是等腰三角形 B．△ACE一定是等边三角形 C．△ACE一定是锐角三角形 D．△ACE不可能是等腰直角三角形 【分析】根据矩形的对角线相等的性质和平移的性质进行判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． 又△BEC是由△ABD沿AB向下平移得到的， ∴BD＝EC． ∴AC＝CE， ∴△ACE一定是等腰三角形． 故A正确； 当AD＝2AB时，AE＝AC＝EC成立，否则不成立．故B错误； 当AD＝CD时，矩形ABCD是正方形，则∠ACE＝90°，即△ACE是等腰直角三角形．故C、D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质、平移的性质．解答该题时，需要理清矩形与正方形间的关系． 3．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝AB D．OA＝OB 【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB， 故A、B、D正确， 故错误的是C， 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题． 4．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90° C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° 【分析】根据平行四边形的判定和矩形的判定判断即可． 【解答】解： A、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误； C、根据AB＝BC，AD＝DC，∠C＝90°不能推出平行四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确； D、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，注意：矩形的判定定理有①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4.8 【分析】利用勾股定理先求出斜边AB的长，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∵D为斜边AB的中点， ∴CD＝AB＝×10＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半是解题的关键． 6．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】先根据矩形的性质，推理得到∠EDO＝30°，再根据Rt△DOE求得OE的长，即可得到EF的长． 【解答】解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°， ∴∠EDO＝30°， 又∵AC＝2， ∴DO＝BD＝AC＝， ∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1， 同理可得，Rt△BOF中，OF＝1， ∴EF＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分． 7．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（　　） A． B． C． D．8 【分析】先图形折叠的性质得到BF＝EF，AE＝AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE＝x，则AF＝2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB， 因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3， 又因为AE＝AB＝CD＝6， 所以∠EAD＝30°， 则∠FAE＝（90°﹣30°）＝30°， 设FE＝x，则AF＝2x， 在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2＝62+x2， x2＝12，x1＝2，x2＝﹣2（舍去）． AF＝2×2＝4． 故选：A． 【点评】解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答． 8．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F分别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（　　） A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长 【分析】证明EF为三角形AMC的中位线，那么EF长恒等于定值AC的一半． 【解答】解：连接AC，如图所示： ∵E，F分别是AM，MC的中点， ∴EF＝AC， ∵C是定点， ∴AC是定长， ∴无论M运动到哪个位置EF的长不变， 故选：A． 【点评】此题考查的是进行的性质、三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 9．在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论： ①BD平分∠CDE；②2AB+EF＝4AD；③（﹣1）CD＝DE；④CF：AE＝（+1）：1． 其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】如图1中，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N，由△BCM≌△BEN，推出BM＝BN，由BM⊥CD，BN⊥DE，可得∠BDN＝∠BDM，故①正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．易证△DAE≌△DGK，可得DE＝DK，设AD＝DG＝a，则BC＝BE＝CF＝2a，通过计算即可一一判断． 【解答】解：如图1中，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N． ∵∠BMD＝∠MDN＝∠N＝90°， ∴四边形BMDN是矩形， ∴∠MBN＝∠CBA＝90°， ∴∠CBM＝∠EBN，∵BC＝BE，∠BMC＝∠N， ∴△BCM≌△BEN， ∴BM＝BN，∵BM⊥CD，BN⊥DE， ∴∠BDN＝∠BDM，故①正确， 如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．易证△DAE≌△DGK，可得DE＝DK，∵CD⊥EK， ∴CE＝CK，∠DCK＝∠DCE＝22.5°， 易证∠K＝∠AED＝∠CED＝∠EFD＝∠CBF＝67.5°， ∴DE＝DF，HF＝HE，BC＝CF，易证△DEA≌△DEH， ∴AE＝EH＝HF，设AD＝DG＝a，则BC＝BE＝CF＝2a， ∵EC＝2a， ∴EF＝2a﹣2a，AE＝EH＝HF＝a﹣a， ∴2AB+EF＝2（2a+a﹣a）+2a﹣2a＝4a＝4AD，故②正确， ∴（﹣1）CD＝（﹣1）•＝a， ∵DE＝＝＝a， ∴（﹣1）CD＝DE，故③正确， ∵＝＝2（+1），故④错误， 故选：B． 【点评】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（共6小题） 10．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，DC＝4cm，则AC的长为 　8　cm． 【分析】画出图形，由∠BOC＝120°，得∠COD＝60°，根据四边形ABCD是矩形，即有OA＝OD，∠ADC＝90°，从而∠OAD＝∠ODA＝30°，在Rt△ADC中，即知AC＝2CD＝8cm． 【解答】解：如图： ∵∠BOC＝120°， ∴∠COD＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD，∠ADC＝90°， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 在Rt△ADC中，AC＝2CD＝8（cm）， 故答案为：8． 【点评】本题考查矩形性质及应用，解题的关键是掌握矩形对角线相等且互相平分，得到OA＝OD． 11．E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的形状是 　平行四边形　，当AC与BD满足条件 　AC⊥BD　时，四边形EFGH是矩形． 【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，，FG∥BD，，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形． 【解答】解：如图，连接BD，AC． ∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，， 同理FG∥BD，， ∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 连接AC． ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点， ∴EH∥BD，HG∥AC， ∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG， 又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是矩形； 故答案为：平行四边形，AC⊥BD； 【点评】本题主要考查中点四边形，三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键是正确构造三角形，正确的运用中位线定理，难度不大． 12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE+FC，则边BC的长为　3　． 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，AB＝BO＝3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形， ∴∠A＝90°，AD＝BC，DE＝BF，OE＝OF，EF⊥BD，∠EBO＝FBO， ∴AE＝FC．又EF＝AE+FC， ∴EF＝2AE＝2CF，又EF＝2OE＝2OF，AE＝OE， ∴△ABE≌OBE， ∴∠ABE＝∠OBE， ∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°， ∴BE＝， ∴BF＝BE＝2， ∴CF＝AE＝， ∴BC＝BF+CF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°． 13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是　4　． 【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4． 【解答】解：如图，连接AF． ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD． ∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2， ∴AC＝2EF＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键． 14．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论： ①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE， 其中正确的结论的序号是　①③④　． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝45°，然后求出∠BAO＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB，然后判断出△AOB是等边三角形，然后求出△ODC也是等边三角形，判断出①正确；求出AC＝2AB，再根据垂线段最短可得BC＜AC，判断出②错误；判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB＝BE，再求出BO＝BE，根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE＝75°，然后求出∠AOE＝135°，判断出③正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOE＝S△COE，判断出④正确． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°， 又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△ODC是等边三角形，故①正确； 由等边三角形的性质，AB＝OA， ∴AC＝2AB， 由垂线段最短BC＜AC， ∴BC＜2AB，故②错误； ∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∴BO＝BE， ∵∠COB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确； ∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等， ∴S△AOE＝S△COE，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不大，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 15．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　（）n﹣1　． 【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1． 【解答】解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1＝； 第三个矩形的面积是（）3﹣1＝； … 故第n个矩形的面积为：（）n﹣1． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 三．解答题（共7小题） 16．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，AE⊥BD于点E，求OE的长． 【分析】根据矩形的性质求出OA＝OD，根据等边三角形的判定得出△ODA是等边三角形，求出OA＝2，根据含30度角的直角三角形的性质得出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OD， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOD＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∵AD＝2， ∴OA＝OD＝2， ∵AE⊥BD， ∴∠ADO＝90°， ∴∠OAD＝30°， ∴OE＝OA＝1． 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出OA的长是解此题的关键． 17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝3∠BCD，E是AB的中点， （1）求∠A的对数； （2）探究AB与DE之间的数量关系． 【分析】（1）先求出∠ACD和∠BCD的度数，再根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，根据等边对等角可得∠ACE＝∠A，再求出∠BCE，然后求出∠DCE＝45°，从而判断出△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD， ∴∠ACD＝90°×＝22.5°， ∠BCD＝90°×＝67.5°， ∵CD⊥AB， ∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣67.5°＝22.5°； （2）∵E是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CE＝AE＝BE＝AB， ∴∠ACE＝∠A＝22.5°， ∴∠BCE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE， ∴AB＝DE， ∴AB＝2DE． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）求矩形ADBE的面积． 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质可以证得∠ADB＝90°，再根据矩形的定义即可证得四边形ADBE是矩形； （2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵四边形ADBE是平行四边形． ∴平行四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC＝BC＝3， 在直角△ACD中， AD＝＝4， ∴S矩形ADBE＝BD•AD＝3×4＝12． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 19．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD＝EF，连接EB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【分析】（1）先证出OE＝OF，再由SAS即可证明△BOF≌△DOE； （2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形EBFD形状． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵AE＝CF， ∴OE＝OF． 在△BOF和△DOE中，OB＝OD，∠BOF＝∠DOE，OE＝OF， ∴△BOF≌△DOE（SAS）． （2）解：四边形EBFD是矩形，理由如下： ∵OB＝OD，OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∵BD＝EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【点评】本题侧重考查全等三角形和四边形形状判定的题目，回忆一下平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定定理． 20．如图，△ABC中，点D是AB的中点，将BD沿射线BC方向平移得到线段CE，连接DE，DC，AE，若BD＝3，AE＝4，AE⊥CE． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）求△ABC的周长． 【分析】（1）由平移的性质得BD＝CE，BD∥CE，再证四边形ADCE是平行四边形，然后证∠AEC＝90°，即可得出结论； （2）由矩形的性质得CD＝AE＝4，∠ADC＝90°，再由线段垂直平分线的性质和勾股定理得BC＝AC＝5，即可解决问题． 【解答】（1）证明：由平移的性质得：BD＝CE，BD∥CE， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴AD＝CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形ADCE是矩形， ∴CD＝AE＝4，∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB， ∵点D是AB的中点，BD＝3， ∴AD＝BD＝3，AB＝2BD＝6，BC＝AC＝＝＝5， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+5+5＝16． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处． （1）试判断△BEF的形状，并说明理由； （2）若AE＝3，求△BEF的面积． 【分析】（1）由平行线的性质和折叠的性质可得∠BEF＝∠EFB，可得BE＝BF，可证△BEF为等腰三角形． （2）由勾股定理可求BE＝BF＝4，即可求解． 【解答】解：（1）如图，△BEF为等腰三角形；理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB； 由题意得：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF， ∴△BEF为等腰三角形． （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝8，∠A＝90°， ∵BE＝＝＝5， ∴BF＝BE＝5， ∴△BEF的面积＝×BF×AB＝10． 【点评】该题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，牢固掌握矩形的性质、勾股定理等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键． 22．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M、N分别是BC、DE的中点． （1）猜想，MN与DE的位置关系，并证明； （2）若∠A＝60°，求的值． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到ME＝MD，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DME＝60°，得到△MED是等边三角形，根据等边三角形的性质计算即可． 【解答】（1）证明：MN⊥DE，理由是： 连接EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB，点M是BC的中点， ∴EM＝BC，DM＝BC， ∴ME＝MD， 又点N是DE的中点， ∴MN⊥DE； （2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM， ∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°， ∴∠DME＝60°， ∴△MED是等边三角形， ∴＝． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 9:47:37；用户：初中数学；邮箱：cyzxjy02@xyh.com；学号：30082752