初中数学华师大版八年级下册18.1 平行四边形的性质当堂检测题

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18.1 平行四边形的性质
基础过关全练
知识点1 平行四边形的定义
1.停车场的三个车位如图所示,若四边形ABCD是平行四边形,AB∥EF∥GH∥CD,则图中平行四边形共有 个.
知识点2 平行四边形的性质
2.(2023广西桂林雁山中学期中)在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )

A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1
C.1∶2∶1∶2D.1∶1∶2∶2
3.【教材变式·P75T1】(2023重庆铜梁巴川中学期末)如图,已知平行四边形ABCD,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=140°,则∠A的度数是( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
4.(2023河南南阳桐柏期中)在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=108°,则∠D=( )
A.72°B.126°C.136°D.108°
5.(2022湖南湘潭中考)如图,在▱ABCD中,连结AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=( )
A.80°B.100°C.120°D.140°

第5题图 第6题图
6.如图,点O是▱ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,则下列结论成立的是( )
A.∠CFE=∠DEFB.∠DOC=∠OCD
C.AE=BF D.OE=OF
7.(2022甘肃武威三中期中)如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是( )
A.8 B.9
C.10 D.11

第7题图 第8题图
8.【教材变式·P79例7】(2022吉林长春德惠三中月考)如图,平行四边形ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多10,则BC的长为( )
A.20 B.5 C.10D.15
9.(2023四川巴中巴州期中)如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B= °.
第9题图 第10题图
10.(2023湖南株洲中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC= .
11.(2022湖南邵阳中考)如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2= .
12.(2022江苏南京中考)如图,▱ABCD的顶点A,C分别在直线l1,l2上,l1∥l2,若∠1=33°,∠B=65°,则∠2= °.

第12题图 第13题图
13.(2023重庆沙坪坝期中)如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,线段EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为 .
14.【新独家原创】如图,剪两张对边平行的纸条随意叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,若AB+BC=9,∠ABC=2∠DAB.
(1)求四边形ABCD的周长;
(2)求四边形ABCD四个内角的度数.
15.【一题多变·根据平行四边形的对角线中点证线段相等】
(2022北京平谷期末)如图,在▱ABCD中,连结BD,取BD的中点O,过点O作直线EF,分别交AD,BC于点E,F,求证:AE=CF.
[变式·增加中点]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点,求证:AE=CF.
16.(2023福建龙岩模拟)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F是直线AC上的两点,且AE=CF,连结DE,DF,BE,BF,求证:DE=BF.
17.(2021宁夏中考)如图,BD是▱ABCD的对角线,∠BAD的平分线交BD于点E,∠BCD的平分线交BD于点F.求证:AE∥CF.
知识点3 平行线之间的距离
18.在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为( )
A.1 cm B.3 cm
C.5 cm或3 cmD.1 cm或3 cm
19.(2023河南三门峡渑池期中)如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为 .
20.【新独家原创】如图,四边形OABC是平行四边形,顶点A、B的坐标分别是(3,0)、(5,6).反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C.
(1)求点C的坐标及k的值;
(2)求平行四边形OABC的面积.
能力提升全练
21.(2023四川绵阳培城期中,8,★☆☆)如图,在周长为20 cm的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC,BD交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为( )
A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm
第21题图 第22题图
22.【等积变换法】(2023福建泉州泉港期中,8,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则S▱ABCD=( )
A.24B.36C.40D.48
23.(2023甘肃兰州中考,14,★★☆)如图,在▱ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °.
24.(2021广西桂林中考,22,★☆☆)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线BD的中点,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求证:△DOF≌△BOE.
25.(2023山东菏泽中考,17,★★☆)如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,CF平分∠BCD,交AD于点F.求证:AE=CF.
26.(2023黑龙江哈尔滨一模,24,★★☆)如图,在▱ABCD中,对角线AC的中点为O,过点O的直线分别交CD、AB于点G、点H,交CB、AD的延长线于点E、点F.
(1)求证:△OGC≌△OHA;
(2)指出图中所有的全等三角形(△OGC≌△OHA除外).
素养探究全练
27.【推理能力】(2023江西中考)如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为 .
答案全解全析
1.答案 6
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AB∥EF∥GH∥CD,∴四边形ABFE、四边形ABHG、四边形EFHG、四边形EFCD、四边形GHCD都是平行四边形,∴题图中平行四边形共有6个.
2.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴C选项正确,故选C.
3.B ∵∠DCE=140°,∴∠DCB=180°-140°=40°,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠DCB=40°,故选B.
4.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,又∵∠A+∠C=108°,∴∠A=∠C=54°,又∵AD∥BC,∴∠D+∠C=180°,∴∠D=126°.故选B.
5.C ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD.
∵∠BAC=40°,∴∠DCA=∠BAC=40°,
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=80°+40°=120°.
6.D ∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴AO=CO,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(),∴OE=OF,
∴选项D成立,故选D.
7.C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,∵AC=6,∴AO=3,又∵AB⊥AC,AB=4,∴BO=42+32=5,∴BD=2BO=10.故选C.
8.D ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AB=CD,AD=BC.
∵△BOC的周长比△AOB的周长多10,
∴(BO+CO+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB=10,①
∵平行四边形ABCD的周长为40,∴2(BC+AB)=40,∴BC+AB=20,②
①+②,可得2BC=30,∴BC=15.故选D.
9.答案 112.5
解析 根据翻折可知∠B'AC=∠BAC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠BAC=∠DCA,∴∠BAC=∠DCA=∠B'AC,∵∠1=∠B'AC+∠DCA,∴∠1=2∠BAC=45°,∴∠BAC=22.5°,∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-22.5°-45°=112.5°.
10.答案 2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,∴∠DEA=∠EAB,∵∠DAB的平分线AE交DC于点E,∴∠EAB=∠DAE,∴∠DEA=∠DAE,∴AD=DE,∵AD=3,AB=5,∴EC=DC-DE=AB-AD=5-3=2.
11.答案 110°
解析 ∵△ABC是等腰三角形,∠A=120°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=30°,
∵四边形ODEF是平行四边形,∴OF∥DE,
∴∠2+∠ABE=180°,即∠2+30°+40°=180°,
∴∠2=110°.
12.答案 32
解析 如图,过点D作DE∥l1,
∵DE∥l1,∴∠ADE=∠1=33°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠B=65°,
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=65°-33°=32°,
∵l1∥l2,∴DE∥l2,∴∠2=∠CDE=32°.
13.答案 16
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,在△DOE和△BOF中,∠EDO=∠FBO,OD=OB,∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF(),∴DE=BF,OE=OF=2,∴EF=4,
∵平行四边形ABCD的周长为24,∴AB+AD=12,
∴四边形ABFE的周长=EF+AE+AB+BF=EF+AE+AB+DE=EF+AB+AD=4+12=16.
14.解析 (1)∵AD∥BC,DC∥AB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC,AB=CD.
∵AB+BC=9,
∴四边形ABCD的周长为AB+BC+DC+AD=2(AB+BC)=18.
(2)由(1)知四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC.
∵AD∥BC,∴∠ABC+∠DAB=180°.
∵∠ABC=2∠DAB,∴3∠DAB=180°,
∴∠DAB=60°,∴∠ABC=2∠DAB=120°,∠DCB=∠DAB=60°,∠ADC=∠ABC=120°.
15.证明
如图,连结AC,
∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,
∴AC经过点O,AD∥BC,
∴OA=OC,
∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(),
∴AE=CF.
[变式] 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=12OB,OF=12OD,∴OE=OF,
在△AOE和△COF中,AO=CO,∠AOE=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△COF(),
∴AE=CF.
16.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAE=∠BCF,在△ADE和△CBF中,
AD=CB,∠DAE=∠BCF,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(),∴DE=BF.
17.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
∴∠ADB=∠CBD.
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F,∴∠EAD=12∠BAD,∠FCB=12∠BCD,
∴∠EAD=∠FCB.
在△AED和△CFB中,∠ADE=∠CBF,AD=CB,∠EAD=∠FCB,
∴△AED≌△CFB(),∴∠AED=∠CFB,
∴AE∥CF.
18.C 当直线c在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4-1=3 cm;当直线c不在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4+1=5 cm.综上所述,a与c的距离为5 cm或3 cm.故选C.
19.答案 20
解析 如图,作DG⊥BE于G,AH⊥BE于H,
∵AD∥BC,∴AH=DG,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5,又∵BE=8,∴CE=3,又∵△DCE的面积为6,∴DG=4,∴四边形ABCD的面积=BC·AH=20.
20.解析 (1)∵点A的坐标是(3,0),∴OA=3.
在平行四边形OABC中,BC=OA=3,BC∥OA,
又∵点B的坐标是(5,6),
∴C(5-3,6),即点C的坐标是(2,6).
将点C的坐标代入y=kx(x>0),得k=2×6=12.
(2)四边形OABC的面积=OA·yB=3×6=18.
能力提升全练
21.D ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC,BD互相平分,∴O是BD的中点.又∵OE⊥BD,∴OE垂直平分线段BD,∴BE=DE.∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD.∵▱ABCD的周长为20 cm,∴AB+AD=10 cm,∴△ABE的周长为10 cm.故选D.
22.D ∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40,∴BC+CD=20①,
∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=4,AF=6,
∴S▱ABCD=4BC=6CD,
∴BC=32CD②.联立①②,解得CD=8,
∴S▱ABCD=6CD=6×8=48.故选D.
23.答案 50
解析 在△DBC中,∵BD=CD,∠C=70°,∴∠DBC=∠C=70°,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C=70°,∴∠ADB=∠DBC=70°,又∵AE⊥BD,∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=50°.
24.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠1=∠2.
(2)∵O是BD的中点,∴OD=OB,
在△DOF和△BOE中,∠1=∠2,∠DOF=∠BOE,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE().
25.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,
∵AE平分∠BAD,交BC于点E,CF平分∠BCD,交AD于点F,∴∠BAE=12∠BAD,∠DCF=12∠BCD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE与△CDF中,∠BAE=∠DCF,AB=CD,∠B=∠D,
∴△ABE≌△CDF(),∴AE=CF.
26.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,∴∠GCO=∠HAO,∠CGO=∠AHO,
∵点O为AC的中点,∴CO=AO,
∴△OGC≌△OHA().
(2)△ACD≌△CAB,△AOF≌△COE,△FDG≌△EBH,△FAH≌△ECG.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD∥BC,
∴∠DCA=∠BAC,∠DAC=∠BCA,
又∵AC=CA,∴△ACD≌△CAB();
∵AD∥BC,∴∠F=∠E,∠FAO=∠ECO,
又∵OA=OC,∴△AOF≌△COE();
∴AF=CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠ADC=∠CBA,∠DAB=∠BCD,
∴DF=BE,∠FDG=∠EBH,
又∵∠F=∠E,∴△FDG≌△EBH();
∵∠F=∠E,AF=CE,∠FAH=∠ECG,
∴△FAH≌△ECG().
素养探究全练
27.答案 90°或180°或270°
解析 连结AC,取BC的中点E,连结AE,如图所示,则BE=CE=12BC,
∵BC=2AB,∴BE=AB,
又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE=CE.
∴∠EAC=∠ECA=12∠AEB=30°,
∴∠BAC=90°,
∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=90°.
易知∠CPD<90°.分三种情况讨论.
①如图,当点P在线段AC上时,∠PCD=90°,此时α的度数为90°.
②如图,当点P在CA的延长线上时,∠PCD=90°,此时α的度数为360°-90°=270°.
③如图,当P在BA的延长线上时,∠PDC=90°,α的度数为180°.
综上所述,α的度数为90°或180°或270°.
单元大概念素养目标
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