安徽省黄山市2024届高三下学期第二次质量检测试题（二模）数学

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一．单项选择题
1. C2. B3. A4. C5. B6. A7. D8. C
二．多项选择题
9. AD10. BCD11. ACD
三．填空题
12. 13. 14. ，
四．解答题
15.（1）由得 …………………………2分
即 ，化简得……………………………3分
由余弦定理得：，…………………………5分
所以 …………………………………………………………………………………6分
（2）法1：由题意得，则…………………………………………………8分
由得 …………………………10分
因为，所以 ………………………………………12分
所以 …………………………………………………………………………………13分
法2：由题意得，则…………………………………………………8分
由得，即 ………………………10分
所以 ，，即 ………………………………………12分
所以 ……………………………………………………………………………………13分
法3：由题意得，则………………………………………………8分
由得
……………………………………………………………10分
而，所以 即 ………………………………12分
即，所以 ……………………………………………………………………13分
16.（1）证明：取的中点为，连接,,
,为中点，……………1分
O
又平面平面,且平面平面
平面……………………………………3分
,,故四边形为矩形
,又分别是,的中点,…………………………5分
…………………………………………………………………………………6分
（2）是圆上异于的点，且为圆的直径，故,所以
如图以为原点建立空间直角坐标系，由条件知…………………………………8分
,,,,则
设，，
由得，所以
,, ……………………………………………………10分
设法向量为，则所以
令，则，即 ………………………………………13分
设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ………………………………………15分
17.（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，………
根据题意，，，，…………………………3分
由全概率公式，得；…………5分
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，………………………7分
由全概率公式，得，…………8分
即，，…………………………………………………9分
，是以为首项，为公比的等比数列； …………………………10分
可得， …………………………………………………………11分
当为大于1的奇数时，； ……………………13分
当为正偶数时， ……………………………………………14分
综上所述：当时， …………………………………………………………15分
18.解：（1）设，的最小值为即的最小值为 ……………………1分
……………………3分
当时，，……………………………………………………………5分
……………………………………………………………………………………………………6分
设，直线的斜率，
直线的方程为：， ………………………………………………………8分
即，化简得
则，即， …………………………………10分
同理 ……………………………………………………………11分
则是方程的两根，
所以，则直线的斜率 ……………………………13分
，平分，则，.
，解得，则. ………………………………………………14分
且
故中点为， ……………………………………………………………………………16分
直线的方程为
即. ………………………………………………………………………………17分
19.解析：（1）由题可知函数在处的阶帕德近似……1分
，，
由得，所以 ……………………………………………………2分
则，又由得，所以 ……………………3分
由得，所以 …………………………………………4分
……………………………………………………6分
（2）（i）令，
因为
所以在上均单调递减.…………………………………………7分
①当，，即，而
所以，即 ……………………………………………………………9分
②当，，即，而
所以，即
由①②所以不等式恒成立； ……………………………………………………10分
（ii）由得在上恒成立
令，所以是的极大值点。
又，故，则 ……………………………12分
当时，
所以
当，则，故在上单调递增，
所以当时 …………………………………………………15分
当时，
令，因为，所以在上单调递减，
所以又因为在上
故当时。
综上，当时，恒成立. …………………………17分