2023年初中数学中考专题讲练试卷：等腰三角形（含答案）

这是一份2023年初中数学中考专题讲练试卷：等腰三角形（含答案），共14页。

一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
2．（3分）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
3．（3分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）
4．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）
5．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是 （ ）
6．（3分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
7．（3分）如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（ ）
8．（3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
9．（3分）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）
二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）
10．（3分）已知△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，AD=3，BD=5，则边CD的长为 2 ．
11．（3分）如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 240 度．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3 ．
13．（3分）等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为 5 ．
14．（3分）从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 72或 度．
15．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 3 条．
16．（3分）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为 ．
17．（3分）等腰三角形的对称轴最多有 3 条．
18．（3分）一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为 1 ．
三．解答题（共7小题，满分56分，每小题8分）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
20．（8分）已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数．
23．（8分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
24．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．
25．（8分）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

A．
16
B．
18
C．
20
D．
16或20
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系。
专题：
探究型。
分析：
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解答：
解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
点评：
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

A．
20°
B．
50°
C．
60°
D．
80°
考点：
等腰三角形的性质。
分析：
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
解答：
解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．
故选B．
点评：
考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．

A．
等腰三角形两底角相等

B．
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

C．
等腰三角形是中心对称图形

D．
等腰三角形是轴对称图形
考点：
等腰三角形的性质；轴对称图形；中心对称图形。
分析：
根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．
解答：
解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；
C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．
故选C．
点评：
此题考查了等腰三角形的性质．注意等边对等角，三线合一，以及其对称性的应用．

A．
15cm
B．
16cm
C．
17cm
D．
16cm或17cm
考点：
等腰三角形的性质。
专题：
分类讨论。
分析：
已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分两种情况进行分析．
解答：
解：（1）当腰长是5cm时，周长=5+5+6=16cm；
（2）当腰长是6cm时，周长=6+6+5=17cm．
故选D．
点评：
此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用，注意分类讨论思想的运用．

A．
30°
B．
60°
C．
150°
D．
30°或150°
考点：
等腰三角形的性质。
专题：
分类讨论。
分析：
读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
解答：
解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°，
故选D．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．

A．
2.5秒
B．
3秒
C．
3.5秒
D．
4秒
考点：
等腰三角形的性质。
专题：
动点型。
分析：
设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．
解答：
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，（当PA=PQ和QA=QB时，无法求出x的值）
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
点评：
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．

A．
40°
B．
35°
C．
25°
D．
20°
考点：
等腰三角形的性质。
分析：
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．
解答：
解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，
∴∠ADC==50°，
∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，
∴∠B+∠BAD=（）°=25°．
故选C．
点评：
此题比较简单，考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理．

A．
B．
C．
D．
不能确定
考点：
等边三角形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
解答：
解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE=EM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
∴△PMD≌△QCD；
∴CD=DM；
∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．
点评：
此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．

A．
60°
B．
45°
C．
40°
D．
30°
考点：
等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
因为△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．
解答：
解：∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴AB=BC=AC
在△ABD和△CAE中
BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴∠BAD=∠ACE
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°
∴∠ACE+∠DAC=60
∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°
∴∠AFC=120
∵∠AFC+∠DFC=180
∴∠DFC=60°．
故选A．
点评：
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，综合性强，考查学生综合运用数学知识的能力．
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：
延长AD到点E，使DE=CD，连接CE．通过证明△BCD≌△ACE，可得出BD=AE，从而得出CD的值．
解答：
解：延长AD到点E，使DE=CD，连接CE．
∵∠ADC=120°
∴∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
∴∠DCE=60°，CD=CE
∵∠ACB=60°
∴∠BCD=∠ACE
∵BC=AC
∴△BCD≌△ACE
∴BD=AE
∵BD=5，AD=3
∴DE=2
∴CD=2．
故答案为：2．
点评：
本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等是解题的关键．
考点：
等边三角形的性质；三角形内角和定理。
专题：
计算题。
分析：
由等边三角形的性质及四边形的内角和为360°可求得∠1+∠2=240°．
解答：
解：如图，∵等边三角形
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣120°=240°．
故答案为240．
点评：
本题利用了：1、四边形内角和为360°；2、等边三角形的内角均为60°
考点：
等腰三角形的性质。
专题：
探究型。
分析：
直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．
解答：
解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，
∴BD=BC=×6=3．
故答案为：3．
点评：
本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
考点：
等腰三角形的性质。
分析：
先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．
解答：
解：∵等腰△ABC的两边长为2和5，根据等腰三角形两腰相等的性质可知第三边可能是2或5
∵2+2＜5
∴2，2，5不能构成三角形，舍去
∵5+2＞5
∴2，5，5能构成三角形
故第三边长为5．
故填5．
点评：
本题综合考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．常常利用两边和大于第三边来判断能否构成三角形．
考点：
等腰三角形的性质。
分析：
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，最后根据三角形内角和定理不难求解．
解答：
解：（1）如图（1），
∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
∴底角∠C=2∠A=72°，
（2）如图（2）
AD=BD，BC=CD，设∠A=β，则∠ABD=β，
∴∠1=2β=∠2，
∴∠C=3β，
∴7β=180°，
∴β=；
即∠C=×（360﹣）=，
∴原等腰三角形纸片的底角为72°或．
点评：
本题考查等腰三角形的性质，判断出底角与顶角的关系是解题的关．
考点：
轴对称图形；等边三角形的性质。
分析：
根据轴对称图形的对称轴的概念作答．
解答：
解：等边三角形的对称轴是三条高所在的直线．
故它的对称轴共有3条．
故填3．
点评：
考查了轴对称图形的对称轴的概念及等边三角形的性质；本题比较简单，属于基础题．
考点：
等腰三角形的性质；三角形的外角性质。
专题：
规律型。
分析：
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数．
解答：
解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A===80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1===40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=．
故答案为：．
点评：
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
考点：
等腰三角形的性质；轴对称图形。
分析：
当等腰三角形的腰和底不相等时，等腰三角形的对称轴只有一条．但是当等腰三角形的腰和底相等的情况下，即为等边三角形时，其对称轴有3条．
解答：
解：当等腰三角形的腰和底相等时，等腰三角形的对称轴有3条．因此等腰三角形的对称轴最多有3条．
故填3．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的性质及轴对称图形；本题很易出错，往往漏掉等边三角形的情况，做题时，思考要全面．
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系。
分析：
此题我们可以采用列举法．即分别用整数代入题目中从而确定答案．
解答：
解：若底边为1，则腰为2，符合三角形的构成条件；
若底边为2，则腰为1.5，不符合条件则舍去；
若底边为3，则腰为1，不能构成三角形，舍去．
故应填1．
点评：
此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形性质的运用；列举法在做选择题和填空题时有时非常好用，注意掌握．
考点：
等腰三角形的性质。
专题：
计算题。
分析：
（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；
（2）根据三角形外角性质和得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
解答：
（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
欲证AB=AC，可以证明它们所在的△ADB与△AEC全等，全等的条件已经有两组边对应相等，只要再证明它们的夹角相等就可以了，因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED，所以其对应的邻补角∠ADB=∠AEC，所以问题解决．
解答：
证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
在△ADB≌△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质；证明两条线段相等，通常利用证明这两条线段所在的三角形全等证明，根据全等的判定找出所需要的条件问题即可解决．
考点：
等腰三角形的性质。
分析：
设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
解答：
解：设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°．
点评：
本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理。
分析：
首先根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及三角形的内角和是180°求出∠ACB．再根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ACD进而用角的和差即可计算出结果．
解答：
解：∵AB=AC
∴∠C=∠B
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°
∴∠C=∠B=65°
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠ACD=40°
∴∠BCD=25°．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°是正确解答本题的关键．
考点：
等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质。
专题：
探究型。
分析：
（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
解答：
解：（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=BE，
∵BD⊥DE，
∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC；
（2）在Rt△BED中，
∵BE=6，DE=3，
∴BD===3．
点评：
本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
考点：
等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．
解答：
证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．
点评：
本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
探究型。
分析：
由AE∥BC，因为△ABC与△CDE为正三角形得BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而求得△BCD≌△ACE，而求得∠B=∠EAC，从而得到结论．
解答：
解：AE∥BC．理由如下：
∵△ABC与△CDE为正三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．