2022-2023学年云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附中高一（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附中高一（下）期中数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs40°cs10°+sin40°sin10°的值是( )
A. 12B. 22C. 32D. − 32
2.AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为( )
A. π3B. π6C. 2π3D. π3或2π3
4.已知单位向量a,b的夹角为60°，a−kb与a垂直，则实数k=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.函数y= 2sin2xcs2x是( )
A. 周期为π2的奇函数B. 周期为π2的偶函数C. 周期为π4的奇函数D. 周期为π4的偶函数
6.如图，△ABC中，AB=a,AC=b，DC=3BD，AE=2EC，则DE等于( )
A. −13a+34bB. 512a−34bC. 34a+13bD. −34a+512b
7.设函数f(x)=sin2x+cs2x，给出下列结论：
①f(x)的最小正周期是π；
②f(x)在区间(−π8,π8)内单调递增；
③将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y=cs2x的图象．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
8.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a= 13，c=3，且2absinC= 3(b2+c2−a2)，则△ABC的面积为( )
A. 3 3B. 3 32C. 3D. 6 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知e1，e2，e3为同一平面内的单位向量，e1⊥e3，e2⋅e3=12，且e1与e2的夹角为锐角，则( )
A. e1与e2的夹角π6B. e2= 32e1−12e3
C. |e1−e2|=2− 3D. |e2+e3|= 3
10.下列说法正确的有( )
A. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinC
B. 在△ABC中，若sinA=12，则A=π6
C. 在△ABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件
D. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
11.折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则( )
A. EH//FCB. AH⋅BE=0
C. EG=EH+EFD. EC⋅EH=EC⋅ED
12.若函数f(x)=Asin(12ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )
A. f(x)=2sin(13x+π3)
B. f(x)的图象的一个对称中心为(−7π2,0)
C. f(x)的单调递增区间是[3kπ−5π4,3kπ+π4]，k∈Z
D. 把g(x)=2sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得f(x)的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角为π6，|a|=2，|b|= 3，则|3a−b|=______．
14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国的象棋半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中.若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1，AA2表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有______个.
15.已知锐角α，β满足sinα=2 55，csβ= 1010，则α+β= ______．
16.已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，AB⋅AC=−4，则|AD|的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a−2b|= 7
(Ⅰ)求a，b夹角的大小；
(Ⅱ)求|3a+b|的值．
18.(本小题12分)
已知sinα=35,α∈(π2,π),tan(π−β)=12．
(1)求sinα+2csαsinα−csα和tanβ的值；
(2)求tan(α−2β)的值．
19.(本小题12分)
在△OAB中，已知P为线段AB上一点，BP=3PA．
(1)若OP=xOA+yOB，求实数x、y的值；
(2)若|OA|=4，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°，求OP⋅AB的值．
20.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2−bc．
(1)求角A的大小；
(2)若a= 3,b+c=3 3，求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC．
(1)求AB⋅AP1+AP1⋅AP2的值；
(2)若点Q是线段AP3上一点，且AQ=112AB+mAC，求实数m的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)同时满足下列四个条件中的三个：①f(−π6)=0；②f(0)=−1；③最大值为2；④最小正周期为π．
(Ⅰ)给出函数f(x)的解析式，并说明理由；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：cs40°cs10°+sin40°sin10°=cs(40°−10°)=cs30°= 32．
故选：C．
根据已知条件，再结合余弦函数的两角差公式，即可求解．
本题主要考查了两角和与差的余弦函数，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论．
【解答】
解：四边形ABCD构成平行四边形⇒AB=DC，
反之不一定成立，A，B，C，D四点可能共线，
∴AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的必要不充分条件，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：因为a2=b2+bc+c2，即b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
又因为A∈(0,π)，
所以A=2π3．
故选：C．
根据题意，利用余弦定理的应用求得csA=−12，即可求解．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得k的值．
【解答】
解：∵单位向量a,b的夹角为60°，
∴a⋅b=1×1×cs60°=12，
∵a−kb与a垂直，
∴(a−kb)⋅a=a2−ka⋅b=1−k2=0，
则实数k=2，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：∵y= 2sin2xcs2x= 22sin4x
∴T=2π÷4=π2，
∵原函数为奇函数，
故选A
逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．
利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再解决三角函数性质有关问题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，△ABC中，AB=a,AC=b，则BC=AC−AB=b−a，
DC=3BD，AE=2EC，则DC=34BC，EC=13AC，
则DE=DC+CE=DC−EC=34BC−13AC=34(b−a)−13b=−34a+512b，
故选：D．
根据题意，分析可得BC=AC−AB=b−a，由向量的数乘运算和加减运算可得DE=DC+CE=DC−EC=34BC−13AC，据此分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
①f(x)的最小正周期是T=2π2=π，所以①正确；
②当−π2≤2x+π4≤π2时，解得−3π8≤x≤π8时，函数是增函数，所以f(x)在区间(−π8,π8)内单调递增，所以②正确
③将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y= 2sin(2x+π2+π4)= 2cs(2x+π4)的图象．所以③不正确；
故选：A．
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①；利用函数的单调性判断②；三角函数的图象变换判断③即可．
本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的简单性质的应用，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由2absinC= 3(b2+c2−a2)，得2absinC= 3⋅b2+c2−a22bc⋅2bc=2 3bccsA，
asinC= 3ccsA，
即sinAsinC= 3sinCcsA，
则tanA= 3，则A=π3，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
即13=b2+9−6b×12，
整理得b2−3b−4=0，得b=4或b=−1(舍)，
则三角形的面积S=12bcsinA=12×4×3× 32=3 3，
故选：A．
根据正弦定理和余弦定理求出角A的值，结合三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由e1，e2，e3为同一平面内的单位向量，e1⊥e3，e2⋅e3=12，
则cs=121×1=12，
即=π3，
又e1与e2的夹角为锐角，
则=π6，即选项A正确；
对于选项B，不妨设e1=(1,0)，e3=(0,1)，则e2=(csπ6,sinπ6)=( 32,12)，即e2= 32e1+12e3，即选项B错误；
对于选项C，|e1−e2|= e12−2e1⋅e2+e22= 1−2× 32+1= 2− 3，即选项C错误；
对于选项D，|e2+e3|= e22+2e2⋅e3+e32= 1+2×12+1= 3，即选项D正确，
故选：AD．
由平面向量数量积的运算及平面向量模的运算，结合向量夹角的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A选项，由正弦定理得a：b：c=2RsinA：2RsinB：2RsinC=sinA：sinB：sinC，
R是三角形ABC外接圆的半径，所以A选项正确；
B选项，若sinA=12，则A=π6或A=5π6，所以B选项错误；
C选项，若sinA>sinB，由正弦定理得2RsinA>2RsinB，
则a>b，所以A>B，反之也成立，所以C选项正确；
D选项，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，所以D选项正确．
故选：ACD．
利用正弦定理、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了正弦定理和充要条件的应用，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】选项A，由对称性知，EH/​/FG，EH与FC即不平行也不重合；
选项B，设风车的中心为O，由AH⋅BE=(OH−OA)⋅(OE−OB)，结合平面向量数量积的运算法则，展开计算，即可；
选项C，由平面向量的加法法则，可判断；
选项D，根据平面向量数量积的几何意义，可判断．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【解答】
解：选项A，由对称性知，EH/​/FG，而FG与FC不重合，即A错误；
选项B，设风车的中心为O，
AH⋅BE=(OH−OA)⋅(OE−OB)=OH⋅OE−OH⋅OB−OA⋅OE+OA⋅OB
=0−OH⋅OB−OA⋅OE+0=OF⋅OB−OA⋅OE=0，即B正确；
选项C，EG=EH+HG=EH+EF，即C正确；
选项D，EC⋅EH=|EC|⋅|EH|cs∠CEH=|EC|⋅|OE|，
EC⋅ED=|EC|⋅|ED|cs∠CED=|EC|⋅|OE|，即D正确．
故选：BCD．
12.【答案】BC
【解析】解：由图可知A=2，T4=π−π4=3π4,T=3π=2π12ω,ω=43，A选项错误．
f(x)=2sin(23x+φ),f(x)=2sin(23⋅π4+φ)=2sin(π6+φ)=2，
0<φ<π2,π6<π6+φ<2π3⇒π6+φ=π2,φ=π3,f(x)=2sin(23x+π3)，
故f(−7π2)=2sin(−7π2×23+π3)=0，B选项正确．
由2kπ−π2≤23x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得3kπ−5π4≤x≤3kπ+π4,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是[3kπ−5π4,3kπ+π4]，k∈Z，C选项正确．
把g(x)=2sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，得到g(x)=2sin(32x+π3)≠f(x)，D选项错误．
故选：BC．
根据图象求得f(x)的解析式，利用代入验证法判断f(x)的对称中心，根据三角函数单调区间的求法求得f(x)的单调区间，根据三角函数图象变换的知识确定D选项的正确性．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】 21
【解析】解：因为向量a，b的夹角为π6，|a|=2，|b|= 3，
所以a⋅b=|a||b|csπ6=2× 3× 32=3，
所以|3a−b|= (3a−b)2= 9a2−6a⋅b+b2= 9×22−6×3+3= 21．
故答案为： 21．
先计算出向量的数量积a⋅b的值，再根据向量模的定义，计算即可求得结论．
本题考查平面向量的数量积、向量的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】11
【解析】解：“马”在C处走了“一步”的情况一共有8种，
在B处走了“一步”的情况一共有3种，共有11种，如图所示：
故表示表示马走了“一步”的向量共有11个．
故答案为：11．
利用向量的定义结合象棋中“马”的走法，作出所有走法的图形即可；
本题考查了向量基本概念的理解，解题的关键是掌握象棋中“马”的走法，属于基础题．
15.【答案】3π4
【解析】解：因为α，β为锐角，且sinα=2 55，csβ= 1010，
所以csα= 1−sin2α= 55，sinβ= 1−cs2β=3 1010，
所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsanβ= 55× 1010−2 55×3 1010=− 22，
又0<α+β<π，
所以α+β=3π4．
故答案为：3π4．
利用同角三角函数关系式求出csα，sinβ，然后由余弦的两角和公式求出cs(α+β)，结合α+β的范围，求出角即可．
本题考查了三角函数的化简求值以及角的求解，涉及了两角和差公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
16.【答案】 2
【解析】解：由AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cs120°=−12|AB|⋅|AC|=−4，
可得|AB|⋅|AC|=8，又AD=12(AB+AC)，
所以|AD|2=[12(AB+AC)]2=14(|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC)
=14(|AB|2+|AC|2−8)≥14(2|AB|⋅|AC|−8)=2，
当且仅当|AB|=|AC|=2 2时等号成立，所以|AD|≥ 2．
故答案为： 2．
先求得|AB|⋅|AC|，然后利用基本不等式求得|AD|的最小值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)设a与b夹角为θ，
∵向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a−2b|= 7，
∴9a2+4b2−12a⋅b=7，
∴9×1+4×1−12×1×1×csθ=7，∴csθ=12．
又θ∈[0,π]，∴a与b夹角为π3．
(Ⅱ)∵|3a+b|= 9a2+b2+6a⋅b= 9×1+1+6×1×1×csπ3= 13．
【解析】本题主要考查利用向量的数量积求向量的模，利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
由题意，利用向量的数量积运算性质即可得出．熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由sinα=35,α∈(π2,π)，可得csα=− 1−(35)2=−45，
∴tanα=sinαcsα=−34，sinα+2csαsinα−csα=tanα+2tanα−1=−57，
又由tan(π−β)=−tanβ=12，∴tanβ=−12；
(2)由(1)得，tanα=−34,tan2β=2tanβ1−tan2β=−43，
∴tan(α−2β)=tanα−tan2β1+tanαtan2β=724．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，二倍角公式，属于基础题．
(1)由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，计算求得结果．
(2)由题意利用两角差的正切公式，计算求得结果．
19.【答案】解：(1)在△OAB中，已知P为线段AB上一点，BP=3PA，
则OP=OB+BP=OB+34BA=OB+34(OA−OB)=34OA+14OB，
即x=34，y=14；
(2)由|OA|=4，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°，
则OA⋅OB=4×2×12=4，
则OP⋅AB=(34OA+14OB)⋅(OB−OA)=14OB2−34OA2−OA⋅OB=−15．
【解析】(1)由平面向量的线性运算可得OP=OB+BP=OB+34BA=OB+34(OA−OB)=34OA+14OB，得解；
(2)由平面向量数量积运算可得OP⋅AB=(34OA+14OB)⋅(OB−OA)=14OB2−34OA2−OA⋅OB，然后结合已知条件求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
20.【答案】解：(1)依题意可得，csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3．
(2)由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc⋅csA，
a2=(b+c)2−2bc−bc，
∴3bc=(b+c)2−a2=24，即bc=8，
∴S△ABC=12bc⋅sinA=2 3．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
(2)根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为点P1，P2，P3四等分线段BC，
所以AP2=12AB+12AC，AP1=34AB+14AC，
AB⋅AP1+AP1⋅AP2=AB⋅(34AB+14AC)+(34AB+14AC)⋅(12AB+12AC)=98|AB|2+18|AC|2+34AB⋅AC=98×4+18×4+34×2×2cs60°=132，
(2)因为点Q在线段AP3上，所以AP3=λAQ=λ12AB+mλAC，
因为BP3=3P3C，可得AP3=14AB+34AC，所以λ12=14mλ=34，解得λ=3m=14，
因此所求实数m的值为14．
【解析】(1)根据平面向量的线性运算法则，结合向量数量积的运算性质，求得AB⋅AP1+AP1⋅AP2的值；
(2)根据两个向量共线的条件，建立关于m的等式，解之即可得出实数m的值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：(Ⅰ)若满足②，则f(x)=Asin(ωx+φ)，
此时f(0)=Asinφ=−1与0<φ<π2矛盾，故②不能成立，
则选①③④，
由③得A=2，由④得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，
则f−π6)=Asin(−π6×2+φ)=0，
因为0<φ<π2，
所以φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)；
(Ⅱ)令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，
故函数的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．
【解析】(Ⅰ)先确定所选项条件，然后结合条件及正弦函数性质求出函数解析式；
(Ⅱ)结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了由正弦函数的性质求解正弦函数解析式，属于基础题．