第24讲 切线长定理与弦切角定理-【同步精品】2024年九上数学同步精品讲义（人教版）

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第24讲 切线长定理与弦切角定理知识点01 切线长定理切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的长度 。圆心和这一点的连线 两条切线的夹角。 即PA PB，∠APO ∠BPO。 推广：有切线长定理的结论可得：①△APO △BPO∠AOP ∠BOPEQ \* jc0 \* hps11 \o(\s\up 10(⌒),AM) EQ \* jc0 \* hps11 \o(\s\up 10(⌒),AM)AB OP。 题型考点：①切线长定理的应用。【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 ．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（　　）A．5 B．7 C．8 D．10【即学即练4】4．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　）A．12 B．6 C．8 D．4知识点02 三角形的内切圆与内心内切圆的定义：如图：与三角形各边都 的圆叫三角形的 。三角形叫做圆的 。内心：三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角 的交点。所以圆心到三角形三边的距离 相等 。特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。则这个直角三角形的内切圆半径为 。三角形的面积与内切圆半径的关系：若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。 考点题型：内切圆与内心的性质的应用。【即学即练1】5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点【即学即练2】6．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（　　）A．119° B．120° C．121° D．122°【即学即练3】7．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（　　）A．3 B．3 C．6 D．6【即学即练4】8．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是　 　．【即学即练5】9．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．知识点03 弦切角定理弦切角的定义：如图，像∠ACP这样顶点在 ，一边与圆 ，一边与圆 的角叫弦切角。即圆的切线与弦构成的夹角。弦切角定理：弦切角的度数与它所夹的弧的圆周角度数 。等于它所夹弧的圆心角度数的 。 证明提示：连接圆心与切点，过圆心作弦的切点即可证明。题型考点：①利用弦切角定理计算。【即学即练1】10．如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（　　）A．30° B．45° C．50° D．60°【即学即练2】11．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）A．50° B．55° C．60° D．65°【即学即练3】12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于　55　度．题型01 切线长定理求长度【典例1】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　．【典例2】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【典例3】如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　）A．8 B．9 C．10 D．11【典例4】如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　）A．13 B．12 C．11 D．10题型02 切线长与周长【典例1】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）A．8 B．12 C．16 D．20【典例2】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　 　．【典例3】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　）A．12 B．13 C．14 D．15题型03 三角形的内切圆与内心的性质【典例1】如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）​A．140° B．135° C．125° D．110°【典例2】如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（　　）A．50° B．55° C．60° D．80°【典例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，则∠MPC的度数（　　）A．等于115° B．可以等于80° C．等于120° D．无法确定【典例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　）A． B．3 C． D．【典例5】如图，在⊙€O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）A．1 B．﹣3 C．5﹣ D．【典例6】如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，题型04 弦切角定理的应用【典例1】如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）A．50° B．55° C．60° D．65°【典例2】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　）A．25° B．30° C．40° D．50°【典例3】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　）A．97° B．104° C．116° D．142°【典例4】如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数为　 　°．1．如图，AB、AC、BD分别切⊙O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（　　）A．5 B．7 C．8 D．103．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB＝24，则AB的长（　　）A．11 B．10 C．9 D．85．如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　）A．36° B．53° C．74° D．128°6．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，下列选项中，⊙O的半径为（　　）A． B． C． D．7．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　）A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°8．如图，等边△ABC边长为a，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①△ODE形状不变；②△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；③四边形ODBE的面积始终不变；④△BDE周长的最小值为1.5a．上述结论中正确的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．19．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是　 　cm．10．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6，，则⊙O的半径为 　 　． 第10题 第11题 第12题11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为　 　．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角边BC在x轴上，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A，则a＝　 　．13．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，（1）若PA＝10，求△PDE的周长．（2）若∠P＝50°，求∠O度数．14．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．15．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。