2024年江苏省无锡市滨湖区九年级数学中考模拟预测题（含解析）

这是一份2024年江苏省无锡市滨湖区九年级数学中考模拟预测题（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．2024的倒数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．下列运算正确的是 （ ）
A．B．C．D．
3．陈芋汐在2023年杭州亚运会女子十米跳台项目中获得了亚军，其中第五轮跳水的7个成绩分别是（单位：分）：．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9.0，8.5B．9.0，9.0C．D．9.0，9.25
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（）
A．方差是1B．平均数是C．中位数是5D．众数是5
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形对角互补B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线相等D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
7．如图是某几何体的三视图，则该几何体（ ）
A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱
8．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A．2B．C．D．3
9．如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．四边形的最大面积为13
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中17、18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）
11．因式分解： ．
12．2022年中国粮食产量再获丰收，突破亿斤，其中亿用科学记数法表示为 ．
13．若x，y满足方程组，则 ．
14．已知a+b＝3，ab＝﹣4，则 ．
15．小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：140，138，140，137，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是 ．
16．如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则 ．
17．如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ．
18．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则 °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于Q，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．如图，已知，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字：1，1，2，2，3，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为 ；
(2)搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意摸出一个小球，若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜，请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大．
23．劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题
(1)本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
(2)A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 的人数
24．如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
25．某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，
(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）
26．（1）如图，已知A是直线外一点．用直尺和圆规作，使过A点，与直线相切于Q，且．（请保留作图痕迹，不写做法）
（2）在（1）的条件下，若，则的半径长为______，的内接的面积最大值为______．
27．如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）．

(1)求AP的取值范围；
(2)连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接．

(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值；
(3)若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键；
乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可；
【解答】解：2024的倒数是，
故选：D．
2．C
【分析】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．利用平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则判断即可．
【解答】解：A、原式，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答本题的关键．根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵从小到大排列为：8.5，8.5，9.0，9.0，9.0，9.0，9.5，
∴中位数是9.0，众数是9.0．
故选B．
4．A
【分析】先通分，再进行分式的加减运算．
【解答】解：
．
故选：A．
【点拨】本题考查分式的加减运算．掌握分式加减运算法则是解题的关键．也考查了平方差公式．
5．D
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
【解答】解∶这组数据的方差为，因此选项A不符合题意；
这组数据的平均数为吨，因此选项B不符合题意；
将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为吨，因此选项C不符合题意；
这组数据出现次数最多的是5吨，共出现8次，所以用水量的众数是5吨，因此选项D符合题意；
故选∶D．
【点拨】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提．
6．D
【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可．
【解答】解：A、错误，应该是：平行四边形的对角相等；
B、错误，应该是：矩形的对角线相等且互相平分；
C、错误，应该是：菱形的对角线互相垂直且平分；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
故选：D．
【点拨】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．
7．C
【分析】根据主视图和左视图能确定是柱体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图为三角形，
∴该几何体是三棱柱．
故选C．
【点拨】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．
8．D
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：连接，如图所示：

由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故选：D．
9．C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=；由S△BDC=•BD•CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以点D的纵坐标为4；设C（m，），D（m+9，4），则k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC=•BD•CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，
设C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
10．C
【分析】】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB；
（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误；
（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC；
（4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为．
【解答】解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b
解得：a=，b=-，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2-m+4）、N（m，m-），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，-）、（，），
由勾股定理得：BN=，而MN=，
BN+MN=5=AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC=∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴EB是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD=∠ABE=∠ABC，
而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，
S△ABC=10，
S△ABM=MN•（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+=12.25，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
11．##
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
＝
＝
故答案为：
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【解答】解：亿．
故答案为：．
【点拨】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
13．3
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】，
得：，
解得：，
把代入②得：，
则，
故答案为:3
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法是解本题的关键．
14．
【分析】根据完全平方公式以及分式的除法运算即可求出答案．
【解答】∵，
∴，
∴，
∵ab＝﹣4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的除法以及完全平方公式．
15．145
【分析】设第5次跳绳成绩为x次/分钟，由题意易知众数为140，然后根据平均数及众数可进行求解．
【解答】解：设第5次跳绳成绩为x次/分钟，由前4次跳绳成绩可知众数为140，
∴，
解得：；
故答案为145．
【点拨】本题主要考查平均数与众数，熟练掌握平均数与众数是解题的关键．
16．
【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长．
【解答】解：四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
17．
【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，
则，
由旋转得：，，，
，，
，，
，，
正方形的边长为2，点是边上的动点，
设，则，
，，
在和中，
，
，
，，
同理：，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
即，
，
线段的取值范围为．
故答案为：
18． 90 或
【分析】①根据题意求出，，，从而可得，，，根据勾股定理的逆定理即可求出结果；
②分两种情况，一是当时，过点作轴于点，设交轴于点，可证，求出，再由，求出，故；二是当时，过点作轴于点，可证，求出，再由求出，故．
【解答】解：①∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，
∴时，，
解得：，，
∴点A的坐标为：；点B的坐标为：，
∴，，
，
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴时，，
∴点C的坐标为：，
，
，
在和中,
，，
在中， ，即，
∴是以为斜边的直角三角形，
；
②当时，过点作轴于点，设交轴于点，如图：
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当时，过点作轴于点，如图：
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：90；或．
【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，涉及函数图象上点的特征，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质、负整数指数幂和特殊角三角函数值将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）先用完全平方公式、单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项即可．
【解答】（1）解：
；
（2）
．
【点拨】本题考查实数的运算和整式的混合运算．掌握二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角三角函数值、完全平方公式和单项式乘多项式运算法则是解题的关键．
20．（1）（2）
【分析】（1）利用公式法解该一元二次方程即可；
（2）分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定解不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
∵，
∴，
∴，
∴该方程的解为；
（2），
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
所以，该不等式组的解集为．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算方法和步骤是解题关键．
21．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由平行线的性质得出，根据可得出；
（2）求出，可得出．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)
(2)甲获胜的概率大
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）列表表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【解答】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
所有可能的结果数为25个，两次摸到的小球编号和为偶数的结果数为13个，
∴两次摸到的小球编号和为偶数的概率为：，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵，
∴甲获胜的概率大．
23．(1)60，12
(2)，
(3)860
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
（1）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数；
（2）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数．
【解答】（1）解：由题意可得，本次调查的样本容量是，
由题意得，
故答案为：60，12；
（2）解：∵A组的数据为：，共有5个数据，出现次数最多的是，共出现了3次，
∴A组数据的众数是；
B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
（3）解：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点作交于点，延长和交于点，利用角角边判定，得到，结合，证明是线段的垂直平分线，进一步推导得到，由，，即可证明，此时点F即为所求．
（2）由矩形性质求得相关边长度，在中，由勾股定理得：，将对应数值代入求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点作交于点，点即为所求；
延长和交于点，
∵四边形是矩形，
，
，，
为的中点．
，
在和中，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
，
，
解得，
，
．
【点拨】本题考查勾股定理，矩形性质，三角形全等的判定等知识点，根据知识点解题是关键．
25．(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．
【分析】（1）设乙种图书进价每本元，则甲种图书进价为每本元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货本，总利润元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【解答】（1）解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
甲种图书进价为每本元．
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）设甲种图书进货a本，总利润元，
由题意得：，
解得：，
∵，
随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当本时，w最大（元），
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26．（1）见解析；（2），
【分析】（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作，即可；
（2）设交于点C，由（1）得：垂直平分，可得是等腰直角三角形，可求出的长；根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，
设线段的延长线交于点T，此时最大，则，可得到的长，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【解答】解：（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作．
理由：根据作法得：，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴过A点，与直线相切于Q；
（2）设交于点C，
由（1）得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
即的半径长为；
根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，
设线段的延长线交于点T，此时最大，则，
∴，
∴．
故答案为：，
【点拨】本题主要考查了尺规作图——作圆，切线的判定，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在CD上时，AP的长度达到最大．利用翻折的性质和勾股定理求出和长度，再利用，即可推断出最大长度，从而求出取值范围．
（2）利用已知条件和翻折性质推出，从而证明，得出，再根据翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出，．在中，，即可求出长度．
【解答】（1）解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，如图所示，
四边形ABCD是矩形，
，，，
沿直线翻折，
，，
，．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
AP的取值范围是．
故答案为：．
（2）解：如图，
由折叠性质得：，
，
，
，
，
，
．
设，过M作于H，连接，
由折叠性质得：，，
．
，
．
．
，
．
，
MN为的中位线，则，
在中，，
，
．
．
．
（舍去）．
．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定理．解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大．解题的难点在于是否能正确画出图形，解题的易错点在于是否能排除的其中一个值．
28．(1)
(2)；
(3)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为；
（2）由，得，用待定系数法可得直线的函数表达式为：，设与轴交于，过点作于点，求得，，根据，得，及可得；
（3）由待定系数法可得直线解析式为，设，，根据是直角三角形，且，得到与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，再分三种情况进行讨论即可得到答案．
【解答】（1）解：将，代入得：
，
解得，
二次函数的函数表达式为；
（2）解：，
抛物线顶点；
设直线的函数表达式为，
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
设与轴交于，过点作于点，如图，
，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：存在与相似，理由如下：
由得直线解析式为，
设，，
是直角三角形，且，
与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，
①点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），不可能是直角；
②若是直角，则或，过作轴于，如图，
，
，
，
∴，即，
若，则，
解得：，
∴；
若，则＝2，
解得：（此时不在线段上，舍去）；
③若为直角，则或，过作轴于，过作于，如图，
，
同理可得，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
当时，
，
解得：，
∴；
综上所述，点N的坐标为：或或．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想的应用．
月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
4
5
2
3
3
4
4
5
3
4
4
5
5
6