中考数学二轮专题复习课件 专题四 几何最值问题

这是一份中考数学二轮专题复习课件 专题四 几何最值问题，共53页。PPT课件主要包含了“将军饮马”问题，利用隐形圆求最值，“胡不归”问题，“费马点”问题，“阿氏圆”问题等内容，欢迎下载使用。

几何最值问题是中考常考的题型,多以选择题与填空题的形式出现,也常融于解答题中,难度较大.常见的类型有立体图形中的最短路径问题,“将军饮马”问题,隐形圆最值问题(点圆、线圆等),轨迹型(瓜豆模型),函数型,“胡不归”问题,“费马点”问题,“阿氏圆”问题等.解决几何最值问题的依据和方法如下:①两点之间线段最短;②垂线段最短;③三角形的两边之和大于第三边或两边之差小于第三边(重合时取到最值);④构建二次函数模型求最值.常见的转化方式为利用轴对称、平移或旋转,构建全等或相似三角形,构建直角三角形等.
立体图形中的最短路径问题
求立体图形表面上两点之间的最短距离问题,通常利用其展开图转化为求平面上两点间的最短距离.
1.如图所示,是一个棱长为1的正方体纸盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面,从顶点A爬到顶点B去觅食,则需要爬行的最短路程是(　 　)
2.如图所示,小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈,正好从A点绕到正上方的B点.已知圆柱底面周长是3 m,高为5 m,则所需彩带最短是　 　m. 
3.如图所示,一圆锥形物体的母线长为3,底面圆周长为2π.一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,则该小虫爬行的最短路程为　 　. 
“将军饮马”问题,即为轴对称下的最短路径问题,通常需要作对称点,把一条线段转化到对称轴另一侧求解.
命题点1　“一线两点”型(一定直线+两定点)(1)同侧或异侧线段和最小值问题
(2)同侧或异侧线段差最大值问题
4.(1)如图①所示,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是AB边上一点,且AE=2,则EF+CF的最小值为　 　. (2)如图②所示,在等边三角形ABC中,AB=6,AD⊥BC,E是边AC上一点,且AE=2,点M是线段AD上的一动点,则EM+CM的最小值为　 　. 
5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,连接AC,点O是AC的中点,M是AD上一点,且MD=1,P是BC上一动点,则PM-PO的最大值是　 　. 
命题点2　“一点两线”型(一定点+两定直线)
6.如图所示,∠AOB=30°,OC为∠AOB内部一条射线,点P为射线OC上一点,OP=6,点M,N分别为OA,OB边上的动点,则△PMN周长的最小值为　 　. 
命题点3　“两点两线”型(两定点+两定直线)
8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,点G,H分别是边BC,CD上的动点,则四边形EFGH周长的最小值为　 　. 
9.如图所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C分别在x轴,y轴上,B,D两点坐标分别为B(-4,6),D(0,4),线段EF在边OA上移动,保持EF=3.当四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为　 　. 
命题点1　点圆、线圆最值问题
10.(2022泰安)如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4,点P是线段BC上一动点,点M为线段AP上一点,∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为(　 　)
11.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D在AC上,CD=2,点P是△ABC内一点,且∠CDP=∠PCB,则点P到AB的最短距离为　 　. 
命题点2　定弦定角隐圆中的最值问题
12.如图所示,已知△ABC内接于半径为1的☉O,∠BAC=θ(θ是锐角),则△ABC面积的最大值为(　 　)A.cs θ(1+cs θ)B.cs θ(1+sin θ)C.sin θ(1+sin θ)D.sin θ(1+cs θ)13.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为　 　. 
轨迹型(瓜豆模型)最值问题
有一类动点问题,一个动点随另一个动点的运动而运动,我们把它们分别叫作从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的,如主动点在一条直线(或圆弧)上运动,从动点也在另一条直线(或圆弧)上运动,我们称之为“主从联动模型”,也形象地称为“瓜豆模型”,“种瓜得瓜,种豆得豆”.解决这一类问题通常用到旋转和放缩,也就是我们常说的全等型和相似型的手拉手模型.该类问题应满足以下三个条件:定点、定角(两个动点与定点间的线段构成的夹角大小不变)、定比(两个动点到定点的距离比是定值).对于直线型轨迹则有结论“两动点所在直线的一个夹角等于定角”.
14.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ,则CQ的最小值是(　 　)
15.如图所示,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B,C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为(　 　)
16.(2023高青一模)如图所示,在矩形ABCD中,∠BAC=60°,点E在AB上,且BE∶AB=1∶3,点F在BC边上运动,以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF,连接CG,当CG最小时, 的值为(　 　)
17.如图所示,☉O的直径AB=4,P为☉O上的动点,连接AP,Q为AP的中点.若点P在圆上运动一周,则点Q经过的路径长是　 　. 
利用二次函数的性质求几何最值
在某些几何综合题中,通过锐角三角函数或全等三角形等知识构建线段长度间的二次函数关系,从而利用二次函数的最值求解有关几何线段或面积的最值问题.解答该类问题,除了会根据题意确定二次函数关系外,还要熟记二次函数图象的顶点坐标公式,能把一般式通过配方变为顶点式,同时也要关注问题中自变量的取值范围.
18.如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.在两个动点移动的过程中,△OMN的最大面积为　 　. 
19.如图所示,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过点P作PQ∥BC交AC于点Q.(1)求该抛物线的表达式;
(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.
问题:如图①所示,点A为直线l上一定点,点B为直线l外一定点,点P为直线l上的一动点,要使kAP+BP(021.如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB,PC,则PA+2PB的最小值为　 　. 
[问题背景]“费马点”就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点.在中考考查时,“费马点”问题主要隐藏在求PA+PB+PC的最小值问题中,通常将某三角形旋转一定的角度,从而将三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题.[模型分析]对于一个各角不超过120°的三角形,“费马点”是对各边的张角都是120°的点;对于有一个角超过120°的三角形,“费马点”就是这个内角的顶点.
[例析]如图所示,将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′,BC′,则可以构造出等边三角形APP′,从而得到AP=PP′,CP=C′P′,所以将PA+PB+PC的值转化为PP′+PB+P′C′的值,则线段BC′的长即为所求的最小值.
22.两张宽为3 cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示.若∠α=30°,则对角线BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值是　 　cm. 
23.如图所示,矩形ABCD是某公园的平面图,AB=30 m,BC=60 m.现需要在对角线BD上修一凉亭E,使得E到公园出口A,B,C的距离之和最小,则这个最小值为　 　m. 
(2)求PA+PB+PC的最小值.
[问题背景]“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点,更是一个难点.当k的值为1时,即可转化为“PA+PB”的最值问题,就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理;当k取任意不为1的正数时,此类问题通常以动点P的运动轨迹来分类,一般分为两类,即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在圆周上运动的类型称为“阿氏圆”问题.
[模型分析]如图①所示,☉O的半径为r,点A,B都在☉O外,P为☉O上一动点,已知r=k·OB,连接PA,PB,则当PA+k·PB的值最小时,点P的位置如何确定?如图②所示,连接OB,在线段OB上截取OC,使OC=k·r,连接PC,PO,则可证明△BPO与△PCO相似,即k·PB=PC.故求PA+k·PB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值,其中A,C为定点,P为动点,当点P,A,C共线时,PA+PC的值最小,如图③所示. 图①　 图②　 图③
26.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(2,-3),且与x轴交于原点及点B(8,0).(1)求二次函数的表达式;
(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式;
(3)判断△ABO的形状,试说明理由;