2024年陕西省西安市新城区名校协作体中考二模数学试题（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市新城区名校协作体中考二模数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，下列计算正确的是，计算等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．的值等于（ ）
A．﹣2B．4C．2D．﹣4
2．垃圾分类，人人有责．垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，把直线y＝3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是( )
A．y＝3x+2B．y＝3x﹣2C．y＝3x+6D．y＝3x﹣6
6．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，，过对角线的交点O作，交于点E，交于点F，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
8．经过点的抛物线与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是（ ）
A． B．或C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．计算：﹣= ．
10．已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
11．如图，在四边形中，P是边上的一动点，R是边上的一固定点，E，F分别是的中点．当点P在上从点B向点C移动时，线段的长 ．（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
12．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点．若，则的面积等于 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式组．
16．解方程：．
17．如图，用直尺和圆规在内找一点P，使它到三边的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．
19．小明、小华一起到西安游玩，他们决定在三个热门景点（A．大雁塔；B．秦始皇兵马俑；C．城墙）中各自随机选择一个景点游玩．
(1)小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．
20．“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
21．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米．
(1)求明德楼的高；
(2)求塑像的影长．
22．如图，反映了某品牌汽车一天的销售收入与销售量之间的函数关系，反映了该品牌汽车一天的销售成本与销售量之间的函数关系．请根据图象，回答下列问题：
(1)分别求出所对应的函数表达式；
(2)当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为多少？（利润=销售收入一销售成本）
23．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下：
男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．
女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78．
男、女生被抽取的竞赛成绩统计表：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？
24．如图，为的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，交的延长线于点E，延长，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
25．如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．
26．问题提出
（1）如图1，在四边形中，，，，与之间的距离为4，则四边形的面积为 ；
问题探究
（2）如图2，在四边形中，，若，，对角线，求四边形的最大面积；
问题解决
（3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知，，，，则是否存在面积最大的四边形？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个数即是算术平方根．
【解答】解：，
故选：C．
【点拨】本题考查算术平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【解答】解：A．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
3．B
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2∠3，
∴3∠3+60°=180°，
∴∠3=40°，
∴∠1=2×40°=80°，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方法则逐项计算即可．
【解答】解：A．，故不正确，不符合题意；
B．，故不正确，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把直线y=3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y=3（x+2）=3x+6．即y=3x+6，
故选C．
【点拨】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
6．D
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论．
【解答】解：由题意得：，
∴，，
∵， ，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦的长为．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证明是的垂直平分线是解题的关键．连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出DE=BE，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是掌握二次函数的性质．根据点是抛物线上的点，可得抛物线对称轴是直线，再根据对称轴公式，即可得到m和c的关系，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，然后根据抛物线与x轴有两个公共点即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵点，
∴抛物线对称轴是直线．
∵抛物线的对称轴是直线，
．
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴．
∵抛物线与x轴有两个公共点，
，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9．
【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】原式=3-2
=．
故答案为．
【点拨】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
10．36
【分析】首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点拨】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.
11．不变
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵R是边上的一固定点，
∴的长度不变，
∴线段的长不变，
故答案为：不变．
12．
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形；设，，得出，进而根据在上，得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：设，，
∵是的中点，
∴
又∵在上，
∴
即，
∴
故答案为：．
13．
【分析】作，且使，连接．作点关于x轴的对称点C'（0，-3），连接交x轴于点W，连接，推出当点在点W处时，最小，最小值是的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【解答】解：如图，作且使，连接，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∵点，，
∴设点1），
∴点．
作点关于x轴的对称点
连接，，交x轴于点W，
，
∴当点在点W处时，最小，最小值是的长．
，
的最小值是
故答案为
【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题，平面直角坐标系中的平移，平行四边形的判定与性质，勾股定理，能灵活运用平移和轴对称构造将军饮马模型是解题的关键．
14．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即可作答．
【解答】
．
【点拨】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．
15．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
所以不等式组的解集为．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．原方程无解
【分析】考查了解分式方程，利用了转化的思想（去分母：将方程两边都乘以最简公分母得到整式方程），解分式方程注意要检验．两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
方程两边都乘以最简公分母，得
．
解这个方程，得 ．
检验：当时，．
∴是原方程的增根，舍去．
∴原方程无解
17．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角平分线的尺规作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．由点P到三边的距离都相等可知点P是的角平分线的交点，据此作图即可．
【解答】如图，
18．证明见解析．
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED，
∵AE＝DB，
∴AE+BE＝BD+BE，
即AB＝DE，
在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边．
19．(1)；
(2)图见解析，．
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明、小华选择到不同景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】（1）由题意得，小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小明选择到不同景点游玩的结果共有6种，
∴小华、小明选择到不同景点游玩的概率为
20．22毫克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，根据三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克列方程求解即可．
【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克．
由题意，得，
解得．
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．
21．(1)15米；
(2)4米．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据已知易得米，证明，从而利用相似三角形的性质可解答；
（2）根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）∵，米，
米．
由题意，得．
∵，
∴，
解得．
答：明德楼的高为15米．
（2）由题意，得．
∵，
∴，
解得．
答：塑像的影长为4米．
22．(1)所对应的函数表达式为，所对应的函数表达式为；
(2)5.5万元．
【分析】本题考查了一次函数的图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
（1）设与x的关系式为， 与x的关系式为，由待定系数法求出其解即可；
（2）设销售利润为w，根据利润=销售收入-销售成本就可以得出解析式，当时代入解析式期初其解即可．
【解答】（1）设所对应的函数表达式为．
把代入，得，
解得k=1，
∴所对应的函数表达式为．
设所对应的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴所对应的函数表达式为．
（2）设销售利润为w．
由题意，得．
当时，（万元）．
答：当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为5.5万元．
23．(1)
(2)女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异，理由见解析
(3)该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人
【分析】（1）根据题意，可得女生各组的人数，即可求出中位数和优秀率，根据众数的定义即可求出男生的众数；
（2）根据众数的比较，即可得出结论；
（3）根据男生、女生的优秀率均为40%，列式求解即可．
【解答】（1）女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组有8个，占总数的，
A、B、E组各有个
则D组占总数的，即个
女生成绩的中间两个数都在C组，为76，76，
中位数为76，即；
女生被抽取的学生竞赛成绩中，大于等于80分的有D、E两个组的人数，共8个，
优秀率，即；
男生被抽取的学生竞赛成绩中，出现次数最多的是86，
众数为86，即；
故答案为：；
（2）女生的众数高于男生的众数，
女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异；
（3）人，
所以，该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人．
【点拨】本题考查了统计表和扇形统计图，涉及中位数、众数、优秀率及用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，等量代换得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明是的切线；
（2）连接．先证明，得出，求出，由求出，再根据求出，然后由勾股定理求解即可．
【解答】（1）如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）连接．
∵是的直径，
，
解得
【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．(1)；
(2)．
【分析】（）利用待定系数法求解析式即可；
（）设点，则点，，从而有求出的值，然后代入求解即可；
本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次图象及性质是解题的关键．
【解答】（1）∵米，
∴设抛物线的函数表达式为
将点，代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）由题意，设点，则点，，
由题意，得
解得，，
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，
∴点的坐标为．
26．（1）20；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）根据梯形的面积公式进行计算即可求解；
（2）如图②中，设交于，过点作于，交于，取的中点，连接．根据可得的最大值为，当的值最大时，点与重合，此时，是等腰直角三角形，，即可得出四边形的面积的最大值；
（3）如图③中，延长交的延长线于．根据平行线分线段成比例可得得出，进而得出四边形的面积为，时，的面积最大，根据三角形的面积公式，可得，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，四边形的面积为；
（2）如图②中，设交于，过点作于，交于，取的中点，连接．
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
当的值最大时，点与重合，
此时，是等腰直角三角形，，
四边形的面积的最大值；
（3）如图③中，延长交的延长线于．
，
∴，
，
，
，
，，设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为，
四边形的面积为，
，，
时，的面积最大，最大值为，
，
，
的最大值为，
四边形的面积的最大值为．
【点拨】本题考查了梯形的面积公式，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键．
性别
男生
女生
平均数
76
76
中位数
76
众数
87
优秀率
40%