2024小升初数学思维专项模块训练9 同余定理

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第一关 求被除数
【知识点】
1.所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1．
2.同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除．如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来．
如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：
10≡-1（md 11）
把上式两边都乘以各自，即：
10×10≡（-1）（-1）=1 （md 11）
10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （md 11）
10×10×10×10≡1 （md 11）
我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数
如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除．其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可．
被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是多少？
【答案】61
有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？
【答案】61
某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是多少？
【答案】41
妈妈有些糖，若5块5块的分，最后余1块，若4块4块的分，也余1块，妈妈至少有多少块糖？
【答案】21
某班同学决定分组去看望动车事故受伤的病人，按7人一组还剩1人，按6人一组也还剩1人，已知这个班人数不超过50人，则这个班级有多少人？
【答案】43
有一箱子橘子在30～40个之间，2个2个地数多1个，5个5个地数多1个，3个3个地数也多1个，这箱橘子有多少个？
【答案】31
被2、3、4、5、6除余1而被7整除的最小正整数是几？
【答案】301
一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？
【答案】121
对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为多少？
【答案】120
一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是多少？
【答案】7563
三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数。
【答案】523，631，847
两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a＞b，求ab×ba
【答案】2668
传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头．就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头．如果把龙的头都砍光了，龙就死了．问：龙会死吗？请说明理由.
【答案】龙是不会死的，理由如下：
砍掉15个头，会长出24个新的头，相当于长出9个头；
砍掉17个头，会长出2个新的头，相当于砍掉15个头；
砍掉20个头，会长出14个新的头，相当于砍掉6个头；
砍掉5个头，会长出17个新的头，相当于长出12个头；
相当于长出或砍掉的头都是3的倍数，而100除以3余1，所以，勇士再次挥剑之前龙的头数还是除以3余1，而武士一剑砍掉15、17、20或5个头，这四个数中没有除以3余1的数，所以砍不死．最后，最少剩4个头．这4个头是指剩下的2个头和又长出的2个头，勇士是砍不掉的，因为勇士砍掉的头数中不含有4个头。
第二关 求除数
三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是多少？
【答案】7
一个数除33、48、68，余数相同，请问这个数是多少？
【答案】5
有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？
【答案】19
用一个大于0的自然数，分别去除35、59和123，所得的余数相同．这个数是多少？
【答案】2或4或8
100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？
【答案】8或16
有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是多少？
【答案】2，7或14
有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数
【答案】19
有一个大于1的整数，分别去除365，450，314所得的余数都相同，求这个数．
【答案】17
290，233，195除以某个大于1的整数，得到的余数相同，那么这个整数是多少？
【答案】19
[来源:Z。xx。k.Cm]
一个数去除55l，745，1133，1327这4个数，余数都相同．问这个数最大可能是多少？
【答案】194
有一个数分别去除492，2241，3195余数都是15，求这个数最大是多少？
【答案】159
在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是多少？
【答案】98
学校买来101个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓网．如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同．学校应有多少个班？
【答案】17
有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【答案】6
第三关 求余数
270和213对于除数19同余．（判断对错）
【答案】√
3590，3648与4228对于除数29是否同余？
【答案】是
已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是多少？
【答案】7
自然数N（N＞1）分别除63，297和210得到相同的余数，这个余数是多少？
【答案】17
一个非自然数a，分别除442，297和210得到相同的余数，这个相同的余数是多少？
【答案】7
三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是多少？
【答案】11
115，200，319被某个大于1的自然数除，所得余数都相同，求2014除以这个自然数的余数
【答案】8
自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2851被这个自然数除的余数是多少？
【答案】2
某数去除74、109和165，所得的余数相同，139与5612的积除以这个数余多少？
【答案】2
某个自然数被247除余63，被248除也余63．那么这个自然数被26除余数是多少？
【答案】11
一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是多少？
【答案】4
若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？
【答案】120
小林在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来小3，但余数恰好相同．这道题的除数和余数的和是多少？
【答案】27
有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5．问：这个数与余数的和？
【答案】60
若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d-r的最大值是多少？
【答案】35
甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩多少人？
【答案】3
甲、乙、丙、丁四人到果园摘苹果，分别摘得苹果52、66、87、97个．他们把摘得的苹果装框，每筐装的苹果个数相同．已知甲、乙、丙三人装完若干筐后，所剩的不足一筐的苹果数量相同（不是0），则丁装完若干筐后，不足一筐的苹果还剩多少个？
【答案】6
第四关
有一类自然数除112所得的余数都是7，那么，这类自然数共有多少个？
【答案】4
已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有多少个？
【答案】11
1~2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有多少个？
【答案】20
在小于1000的非0自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）
【答案】99
393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有多少个？它们分别是什么？
【答案】4；11，35，55或77
求能被3除余2的所有的两位数的和。
【答案】1635