2024年广东省清远市清城区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上，用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 如图，直线平分，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对顶角相等可得∠1=∠ABD=70°，由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠CDB=110°，再由AD平分∠CDB求出∠ADC=55°；由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可得到∠2=∠ADC=55°．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠1=∠ABD=70°，
∴∠CDB=110°，
∵AD平分∠CDB，
∴∠ADC=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ADC=55°．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质角、平分线的定义、对顶角的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
4. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，请找出以下四个图形中不是从正面、左面、上面看到的（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图、左视图、俯视图的定义，判断各选项即可．
【详解】解：A是物体的俯视图；
B不是物体的视图；
C是物体的主视图；
D是物体左视图．
故选B．
【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图的定义，解题的关键是会判断物体的主视图、左视图、俯视图．
5. 点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故选：C．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项进行计算即可得到正确答案．
【详解】解：A、，计算正确；
B、，计算错误；
C、，计算错误；
D、，计算错误；
故选：A．
【点睛】本题考查积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项，解题的关键是掌握相关运算的法则．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “任意画一个六边形，它的内角和是720度”，这是一个随机事件B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用全面调查的方式
C. 一组数据6，8，7，9，7，10的众数和中位数都是7D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查事件的分类、统计与调查、众数、中位数及方差，熟练掌握各个定义是解题的关键；因此此题可根据事件的分类、统计与调查、众数、中位数及方差进行求解
【详解】解：A、“任意画一个六边形，它的内角和是720度”，这是一个必然事件，故A不合题意；
B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽样调查的方式，故B不合题意；
C、一组数据6，8，7，9，7，10的众数是7，中位数是7.5，故C不合题意；
D、甲乙两人六次跳远成绩的方差，乙组数据的方差，则乙的成绩更稳定，故D符合题意；
故选：D．
8. 小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为( )
A. 50【答案】C
【解析】
【分析】根据题设中关键词少于、不少于即可列出不等式.
【详解】依题意正常范围为少于80次，但不少于50次，即大于等于50，小于80， 50≤x<80，选C.
【点睛】此题主要考查列不等式，仔细分析题意即可.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为( ).
A. B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，又由∠A=90°可得四边形AEOD是矩形，得出∠DOE=90°，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴∠DOE=90°，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=，
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值．
10. 已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的最值．将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据y的最小值为，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】解：，
故该抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
①若，当时，，
解得：；
②若，当时，，
解得(舍)；
③若，当时，，
解得：或(舍)，
∴m的值为或，
故选：D．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
12. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．
【答案】2：3##
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，
∴它们对应高线的比为2：3，
故答案为：2：3．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键．
13. 方程1﹣3x=0的解是_____________．
【答案】x＝
【解析】
【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：方程移项得：−3x＝−1，
解得：x＝．
故答案为： x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
14. 图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面的高度为．当时，则操作平台C离地面的高度为__m．（结果精确到0.1米）【参考数据：】
【答案】7.6
【解析】
【分析】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用．过点C作，过点A作，由题意得到：进而结合题目已给的条件利用三角函数即可求出的长度，然后根据矩形的性质可得EF的长度，进而即可求解.
【详解】解：过点C作，过点A作，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴
∴
在中，
∴
∴
故答案为：．
15. 如图，已知等边三角形的边长为，点为平面内一动点，且，将点绕点按逆时针方向转转，得到点，连接，则的最大值__________．
【答案】+1.
【解析】
【分析】如图，连接BE，易证△BCE≌△ACD，从而证得BE=AD=1.再由AE≤AB+BE，当E点在AB的延长线上时AE取得最大值.
【详解】
解：如图所示，连接BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC= ,∠ACB=60°.
∵将点绕点按逆时针方向转转，得到点，
∴EC=DC, ∠DCE=60°.
∴∠ACB=∠DCE.
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE.
即：∠ACD=∠BCE.
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD=1.
在△ABE中，
∵AE≤AB+BE.
∴当点E在AB的延长线上时，AE有最大值，最大值为+1.
故答案为+1.
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及三角形的三边关系等知识，知道当点E在AB的延长线上时，AE有最大值是解题的关键.
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. 计算：．
【答案】-1
【解析】
【分析】原式第一项利用﹣1的偶次幂为1计算，第二项根据绝对值的意义进行化简，第三项化为最简二次根式，第四项利用特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．
【详解】解：
=
＝
=-1．
【点睛】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：乘方，二次根式的混合运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】证即可．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，利用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简得到原式为，进而把代入即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 为了使二十大精神深入人心，某地区举行了学习宣传贯彻党的二十大精神答题竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个小区中各随机取10名群众的成绩（单位：分），收集数据如下：
锦绣城：90，70，80，70，80，80，80，90，80，100；
万和城：70，70，80，80，60，90，90，90，100，90；
龙泽湾：90，60，70，80，70，80，80，90，100，100．
整理数据：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数，中位数和众数，你认为哪个小区的成绩比较好？请说明理由；
（3）为了更好地学习宣传贯彻党的二十大精神，该地区将给竞赛成绩满分的群众颁发奖品，统计该地区参赛的选手数为3000人，试估计需要准备多少份奖品？
【答案】（1）5，85，80；
（2）万和城成绩比较好，理由详见解析．
（3）400．
【解析】
【分析】（1）根据所给数据，结合平均数、众数、中位数的定义求解可得；
（2）从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得；
（3）利用样本估计总体的思想求解可得．
【小问1详解】
解：由表格可得，锦绣城80分的有5人，
∴，
万和城10名群众成绩重新排列为：60，70，70，80，80，90，90，90，90，100，
所以中位数，
∵龙泽湾80分的人数最多，
∴龙泽湾10名群众成绩的众数；
【小问2详解】
解：万和城成绩比较好，理由如下：
从平均数上看三个小区都一样；
从中位数看，锦绣城和龙泽湾一样是80，万和城最高是85；
从众数上看，锦绣城和龙泽湾都是80，万和城是90．
综上所述，万和城成绩比较好．
【小问3详解】
解：（份），
答：估计需要准备400份奖品．
【点睛】本题主要考查众数、平均数、中位数以及样本估计总体，掌握众数、平均数、中位数的定义及其意义是解题的关键．
20. 如图，在中，是直径，，点P在优弧上．
（1）利用尺规作图，作，交于点D．（不写作法，但要求保留作图痕迹）．
（2）在（1）中，连接，，，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
分析】（1）熟练运用尺规作出即可；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线做图，平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关的性质并灵活运用是解题的关键．
21. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元．则共有哪几种建造方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）共有3种建造方案，方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位；（3）方案1的总费用最少，最少费用是10630元
【解析】
【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，根据题意列分式方程解决问题；
（2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，根据题意，列一元一次不等式组解决问题；
（3）根据（2）的结论，分别计算各方案的费用，再比较即可得出费用最少的方案以及最少费用．
【详解】解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝5．
答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米．
（2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，
依题意得：
解得：≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；
方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；
方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位．
（3）方案1所需总费用为40×5×23+30×3×67＝10630（元），
方案2所需总费用为40×5×24+30×3×66＝10740（元），
方案3所需总费用为40×5×25+30×3×65＝10850（元）．
∵10630＜10740＜10850，
∴方案1的总费用最少，最少费用是10630元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式和方程是解题的关键．
22. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）点P坐标为；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
【点睛】本题考查求一次函数与反比例函数的解析式，根据函数图像解不等式，反比例函数图像上点与x轴上点围成图像面积问题，解题的关键是求出解析式，并学会看图像．
23. 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点，令．
特例解析：如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
类比探究：如图2，若四边形是平行四边形，当与满足什么关系时，仍然成立？并证明你的结论；
拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，若，，，，求的长．
【答案】特例解析：证明见解析；类比探究：与互补时，，证明见解析；拓展延伸：．
【解析】
【分析】（1）由四边形是矩形，可知，根据，易证，则有；
（2）根据，，得，，利用四边形为平行四边形，则有，，可得，，在的延长线上取一点，使，则有，可证，可得，根据，则有；
（3）在（2）的条件下，可的结论：， ，
根据，得，作于 ，则为等腰直角三角形；根据，可令 ，则，；可得
，解得；易证，则解得 ，由，代入值，解得 ．
【详解】（1）证明，如图1，四边形是矩形，可知
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）与互补时，，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴
四边形为平行四边形，则有，
∴，
在的延长线上取一点，使，则有
∴
∴，
∵，
∴
（3）如图3，在（2）的条件下，可的结论：
， ，
∵
∴
作于，
则为等腰直角三角形；
∵，可令，则 ，；
∴
，解得；
∴
在与中，， ；
∴，
∴，即，解得
由，代入值，解得 ；
【点睛】本题主要考查了相似形综合题目、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
分数人数小区
60
70
80
90
100
锦绣城
0
2
a
2
1
万和城
1
2
2
14
1
龙泽湾
1
2
3
2
2
平均数
中位数
众数
锦绣城
82
80
80
万和城
82
b
90
龙泽湾
82
80
c