第01讲 函数的图象与性质（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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【考点分析】
考点一 函数的概念与表示
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
一、单选题
1．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知，则（ ）
A．2B．C．D．1
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数则（ ）
A．B．C．D．2
3．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·江苏·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．16
二、多选题
10．（2024上·福建泉州·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·广东惠州·统考三模）德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法正确的是（ ）
A．
B．的值域为
C．存在是无理数，使得
D．，总有
12．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）对于函数．下列结论正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数 有2个零点
C．函数在上单调递增
D．若关于的方程有且只有两个不同的实根，则．
三、填空题
13．（2024上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数是奇函数，且，则的值为
14．（2024上·山东菏泽·高三校考期末）设函数，则 .
15．（2023上·湖南怀化·高三校考阶段练习）已知函数 若 ，则的值为 .
16．（2024上·北京昌平·高三统考期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ．
17．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）设函数，当时，的最大值为 ；若无最大值，则实数的一个取值为 .
18．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰有个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.（1）若函数是的“重覆盖函数”，则 ；（2）若为的“2重覆盖函数”，记实数的最大值为，则 .
考点二 函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图是的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
5．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（ ）
A．①③②④B．①④③②C．③①②④D．③①④②
7．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
8．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知，且，函数，则（ ）
A．曲线与曲线关于轴对称
B．曲线与曲线关于轴对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数在上单调递减
三、填空题
9．（2023·上海宝山·统考一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限
考点三 函数的性质
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
考向1 单调性与奇偶性
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·重庆·统考一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，.若，，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·校联考模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数．若曲线上存在点，使得，则实数的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 ．
9．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
①的定义域为；②，；③，都有．
10．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
11．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知函数，若且，则的最大值为 ．
12．（2024·全国·模拟预测）设函数的定义域为．若，则实数的取值范围是 ．
考向2 奇偶性、周期性与对称性
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，给出如下结论：①是偶函数；②;③是最小正周期为4的周期函数；④．其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的增函数满足对任意的都有，函数满足，且时，．若在上取得最大值时的值从小到大依次为，取得最小值时的值从小到大依次为，则（ ）
A．2800B．2700C．2600D．2500
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（ ）
A．0B．C．2D．
4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ）
A．B．C．0D．
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则（ ）．
A．的图象关于y轴对称，的图象关于点对称
B．的图象关于y轴对称，的图象关于y轴对称
C．的图象关于原点对称．的图象关于点对称
D．的图象关于原点对称．的图象关于y轴对称
6．（2024·四川雅安·统考一模）已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·广东惠州·统考三模）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．是奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．点（其中）是函数的对称中心
D．
二、多选题
8．（2024·山西·校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，当时，，则（ ）
A．是周期为的周期函数B．
C．当时，D．
9．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
【强化训练】
一．选择题（共9小题）
1．（2024•重庆模拟）已知函数满足，（1）且当时，，若存在，，使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2024•攀枝花模拟）已知函数对都有（2），若函数的图象关于直线对称，且对，，，当时，都有．给出如下结论：
①是偶函数；
②（2）；
③是周期为4的周期函数；
④（3）．
其中正确的结论个数为
A．1B．2C．3D．4
3．（2024•昆明一模）若将函数的图象平移后能与函数的图象重合，则称函数和互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”，则
A．2B．1C．D．
4．（2024•吉林模拟）已知函数，则关于的不等式解集为
A．B．
C．D．
5．（2024•天津模拟）已知函数是上的偶函数，对任意，，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
6．（2024•淮北模拟）已知定义在上奇函数满足，当时，，则
A．B．C．D．
7．（2024•重庆模拟）已知函数满足：，，成立，且，则
A．B．C．D．
8．（2024•拉萨一模）已知函数的定义域为，，（5），且，，，当时，，则不等式的解集为
A．或B．C．或D．
9．（2024•惠州模拟）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是
A．是奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．点（其中是函数的对称中心
D．
二．多选题（共7小题）
10．（2024•1月份模拟）已知函数的定义域为，且，若，则
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
11．（2024•临沂模拟）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．有最小值
C．D．是奇函数
12．（2024•泉州模拟）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，，则
A．B．
C．D．
13．（2024•良庆区校级模拟）已知定义域为的函数对任意实数，都有，且，，则以下结论一定正确的有
A．B．是奇函数
C．关于中心对称D．（1）（2）
14．（2024•大庆一模）已知定义在的函数满足，且（4），当时，，则
A．（1）
B．是偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集是
15．（2024•北京模拟）存在定义域为的函数满足
A．是增函数，也是增函数
B．是减函数，也是减函数
C．对任意的，（a），但
D．是奇函数，但是偶函数
E．的导函数的定义域也是，且
16．（2024•新疆一模）定义在上的函数满足（1），且，均有，当时，，则下列说法正确的是
A．
B．时，数列是公比为2的等比数列
C．在上单调递增
D．（1）（2）（3）
三．填空题（共3小题）
17．（2024•郑州一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ．
18．（2024•河南模拟）以maxM表示数集M中最大的数．设0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a+b≤1，则max{b﹣a，c﹣b，1﹣c}的最小值为 ．
19．（2024•广东模拟）已知为函数图象上一动点，则的最大值为 ．
四．解答题（共3小题）
20．（2024•凉山州模拟）已知函数．
（1）解不等式；
（2）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（2024•南充模拟）已知函数．
（1）若恒成立，求取值范围；
（2）若的最大值为，正实数，，满足：，求的最大值．
22．（2024•攀枝花模拟）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．