中考数学一轮复习考点精讲与巩固练习专题28 相似图形【考点精讲】（2份打包，原卷版+解析版）

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知识精讲
考点1：比例的有关概念和性质
1．两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
2．在四条线段中，如果其中两条线段的比 另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
3．若a∶b=b∶c或 SKIPIF 1 < 0 ,则b叫做a,c的比例中项.
4．比例的基本性质: SKIPIF 1 < 0 ⇔ad=bc.
5．合比性质: SKIPIF 1 < 0 .
6．等比性质: SKIPIF 1 < 0 =…= SKIPIF 1 < 0 (b+d+…+n≠0)⇒ SKIPIF 1 < 0 .
7．黄金分割:如图，点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则 为线段AB的黄金分割点，AC= SKIPIF 1 < 0 AB≈0.618AB，BC= SKIPIF 1 < 0 AB，一条线段有2个黄金分割点.
8．平行线分线段成比例定理:
①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 .
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成 .

【例1】（2021·四川巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【例2】（2021·黑龙江大庆市）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________
方法技巧
（1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例；
针对训练
（2）黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC= SKIPIF 1 < 0 AB≈0.618AB，BC= SKIPIF 1 < 0 AB，一条线段有2个黄金分割点.
1．（2020成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
2．（2020遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2020哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点2：相似图形的判定与性质
1．三角形相似
（1）定义:对应角相等， 成比例的三角形叫做相似三角形.
（2）似三角形的判定定理
①相似三角形的判定定理1： 对应相等的两个三角形相似;
②相似三角形的判定定理2： 对应成比例的两个三角形相似;
③相似三角形的判定定理3： 对应成比例且 相等的两个三角形相似;
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充：若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB
（3）性质:
①相似三角形的对应角 ;
②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线) ;
③相似三角形的周长比等于 ,面积比等于 .
2．相似多边形
（1）定义:各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比.
（2）性质:
① 相似多边形的对应角 、对应边成 .
② 相似多边形的周长比等于 ，面积比等于相似比的 .

【例3】（2021·四川巴中）如图， SKIPIF 1 < 0 ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B． SKIPIF 1 < 0 ADE与 SKIPIF 1 < 0 ABC的面积比为1：3
C． SKIPIF 1 < 0 ADE与 SKIPIF 1 < 0 ABC的周长比为1：2
D．DE SKIPIF 1 < 0 BC
【例4】（2021·内蒙古通辽市）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为射线 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点B落在点 SKIPIF 1 < 0 处，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于M，N两点，当 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点时， SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
方法技巧
判定三角形相似的几种思路方法
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.
（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.
若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.
（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.
若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.
若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.
针对训练
1．（2021·内蒙古）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为B，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为N．若 SKIPIF 1 < 0 ，则MN的长为__________．
2．（2021·四川南充市）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，D为BC上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
3．（2021·江苏无锡市）下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
考点3：位似图形
1．位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，此时相似比又称 .
2．位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于 ，位似图形周长的比等于 ，面积比等于 .

【例5】（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将 SKIPIF 1 < 0 以原点O为位似中心放大后得到 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的相似比是（ ）
A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3
【例6】（2021·辽宁沈阳）如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位似，位似中心是点O，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的周长比是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
方法技巧
针对训练
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形， SKIPIF 1 < 0 是位似中心，位似比为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对应点分别为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A．8B．9C．10D．15
2．（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，
1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则
线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．2 SKIPIF 1 < 0
3．（2020绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一
边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm