专题6.4 估算-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

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【知识点1 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型1 估算无理数的范围】
【例1】（2020秋•本溪期末）估计11.6的值在（ ）
A．3.2和3.3之间B．3.3和3.4之间
C．3.4和3.5之间D．3.5和3.6 之间
【解题思路】估算11.6的算术平方根，即可得出答案．
【解答过程】解：∵3.52＝12.25，3.42＝11.56，而12.25＞11.6＞11.56
∴3.4＜11.6＜3.5，
故选：C．
【变式1-1】（2021春•丰台区校级期末）通过估算，估计340的值应在（ ）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
【解题思路】因为33＝27，43＝64，由27＜40＜64，得340的值在3和4之间，即可解答．
【解答过程】解：∵27＜40＜64，
∴3＜340＜4．
故选：C．
【变式1-2】（2021•江阳区一模）已知m=8+9，则以下对m的估算正确的是（ ）
A．3＜m＜4B．4＜m＜5C．5＜m＜6D．6＜m＜7
【解题思路】估算确定出8的范围，计算9=3，进而确定出m的范围即可．
【解答过程】解：∵2＜8＜3，9=3，
∴5＜8+3＜6，
∵m=8+9=3+8，
∴m的范围为5＜m＜6．
故选：C．
【变式1-3】（2021春•沙坪坝区校级期末）估算56-54的值是在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【解题思路】由题意得原式＝26，根据4＜24＜5即可得解．
【解答过程】解：∵54=36，
∴56-54=26=24，
∵4＜24＜5，
∴估算56-54的值在4和5之间，
故选：B．
【题型2 已知无理数的范围求值】
【例2】（2021春•蚌埠期末）若两个连续整数x，y满足x＜5+2＜y，则x+y的值是（ ）
A．5B．7C．9D．11
【解题思路】先利用“夹逼法”求5的整数部分，再利用不等式的性质可得5+2在哪两个整数之间，进而求解．
【解答过程】解：∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴4＜5+2＜5，
∵两个连续整数x、y满足x＜5+2＜y，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝4+5＝9．
故选：C．
【变式2-1】（2021•九龙坡区校级模拟）已知整数m满足38＜m＜10，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】本题从10的整数大小范围出发，然后确定m的大小．
【解答过程】解：∵38=2，3＜10＜4，38＜m＜10，
∴2＜m≤3．
∵m是整数，
∴m＝3，
故选：B．
【变式2-2】（2021•永安市一模）若a＜28-7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】先把28-7化简，再估算7的范围即可．
【解答过程】解：28-7=27-7=7，
∵22＜7＜32，
∴2＜7＜3，
∵a＜28-7＜a+1，其中a为整数，
∴a＝2．
故选：B．
【变式2-3】（2021•北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜2021＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【解题思路】先写出2021所在的范围，再写2021的范围，即可得到n的值．
【解答过程】解：∵1936＜2021＜2025，
∴44＜2021＜45，
∴n＝44，
故选：B．
【题型3 估算无理数最接近的值】
【例3】（2021•玄武区二模）下列整数中，与10-30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】先估算出30的范围，再估算10-30的范围即可．
【解答过程】解：∵25＜30＜36，30离25更近，
∴5＜30＜6，且更接近5，
∴﹣6＜-30＜-5，且更接近﹣5，
∴4＜10-30＜5，且更接近5．
故选：C．
【变式3-1】（2021•九龙坡区校级模拟）下列整数中，与4+26的值最接近的是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解题思路】先估算出6的大小，进而估算出26的大小，从而得出与4+26的值最接近的整数．
【解答过程】解：因为2.42＜6＜2.52，
所以2.4＜6＜2.5，
所以4.8＜26＜5，
所以8.8＜4+26＜9，
所以与4+26的值最接近的是9．
故选：C．
【变式3-2】（2021春•厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且10＜m＜12，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】根据m的取值范围确定n的取值，再根据m、n为整数，确定n的最大值，再估算即可．
【解答过程】解：∵10＜m＜12，
∴100＜m＜144，
∴20＜m5＜28.8，
即20＜n＜28.8，
又∵m、n是正整数，
∴n的最大值为28，
∵25比36更接近28，
∴n的值比较接近25，即比较接近5，
故选：B．
【变式3-3】（2021春•赣州期末）与实数39-1最接近的整数是 ．
【解题思路】首先估算39最接近2，从而求出39-1的结果最接的整数是1．
【解答过程】解：∵38＜39＜327，
即2＜39＜3，
且39更接近于2，
∴实数39-1最接的整数是1．
故答案应为：1．
【题型4 无理数整数、小数部分问题】
【例4】（2021春•岚山区期末）我们知道2是一个无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来．因为2的整数部分为1，所以2减去其整数部分，差就是2的小数部分，所以用2-1来表示2的小数部分．根据这个方法完成下列问题：
（1）43的整数部分为 ，小数部分为 ；
（2）已知17的整数部分a，6-3的整数部分为b，求a+b的立方根．
【解题思路】（1）根据6＜43＜7求43的整数部分和小数部分；
（2）求17的整数部分4，6-3的整数部分为4，得a+b的立方根．
【解答过程】解：（1）∵6＜43＜7，
∴整数部分为 6，小数部分为 43-6．
故答案为：6、43-6．
（2）∵4＜17＜5，
∴a＝4．
∵4＜6-3＜5，
∴b＝4．
∴3a+b=2．
【变式4-1】（2021春•昭通期末）阅读材料：
∵4＜5＜9，即2＜5＜3，
∴0＜5-2＜1，
∴5的整数部分为2，5的小数部分为5-2．
解决问题：
（1）填空：7的小数部分是 ；
（2）已知a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b-3的立方根．
【解题思路】（1）根据求2＜7＜3无理数的取值范围，进而得实数小数部分；
（2）由9＜90＜10得a的值，1＜3＜2得b的值，再进行相应的计算．
【解答过程】解：（1）∵2＜7＜3，
∴7的整数部分是2，
∴小数部分是7-2．
故答案为：7-2．
（2）∵9＜90＜10，
∴a＝9．
∵1＜3＜2，
∴b=3-1，
∴a+b-3=8，
∴a+b-3的立方根＝2．
【变式4-2】（2021春•福州期末）阅读下列内容：因为1＜2＜4，所以1＜2＜2，所以2的整数部分是1，小数部分是2-1．
试解决下列问题：
（1）求13的整数部分和小数部分；
（2）若已知9+13和9-13的小数部分分别是a和b，求ab﹣3a+4b+8的值．
【解题思路】（1）仿照阅读材料，即可求出13的整数部分和小数部分；
（2）先求出9+13和9-13的小数部分，得到a，b的值，再代入求值即可．
【解答过程】解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴13的整数部分是3，小数部分是13-3；
（2）∵9+13小数部分是13-3，9-13的整数部分是5，
∴9-13的小数部分是9-13-5＝4-13，
∴a=13-3，b＝4-13，
∴原式＝（13-3）（4-13）﹣3（13-3）+4（4-13）+8
＝413-13﹣12+313-313+9+16﹣413+8
＝8．
【变式4-3】（2021春•恩施市月考）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜5＜3，是因为4＜5＜9：根据上述信息，回答下列问题：
（1）13的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）10+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+3＜b则a+b＝ ．
（3）若30-3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数．
【解题思路】（1）先估算13在哪两个整数之间，即可确定13的整数部分和小数部分；
（2）先估算出3的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；
（3）先求出30的整数部分，得到30-3的整数部分即为x的值，从而表示出y的结果，再求x﹣y的相反数即可．
【解答过程】解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴13的整数部分为3，小数部分为13-3．
故答案为：3，13-3；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴10+1＜10+3＜10+2，
即11＜10+3＜12，
∴a＝11，b＝12，
∴a+b＝23．
故答案为：23；
（3）∵25＜30＜36，
∴5＜30＜6，
∴5﹣3＜30-3＜6﹣3，
即2＜30-3＜3，
∴30-3的整数部分为2，小数部分为30-3﹣2=30-5，
∴x＝2，y=30-5，
∴x﹣y＝2﹣（30-5）＝7-30，
∴x﹣y的相反数为30-7．