专题30 新定义与阅读理解创新型问题（共12道）-中考数学真题分项汇编（全国通用）

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一、单选题
1．（2023·湖南娄底·统考中考真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
A选项，，
B选项，，
C选项，，
D选项，，
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
2．（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
二、填空题
3．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

【答案】
【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：，
∴，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
4．（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ．
【答案】39
【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．
【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：
∴，
故答案为：39
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．
5．（2023·湖南·统考中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 万里．
【答案】4
【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案．
【详解】解：设地球的半径为万里，
则，
解得，
∴火星的半径为万里，
∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为万里．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．
三、多选题
6．（2023·山东潍坊·统考中考真题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．当与相切时，D．当时，
【答案】AC
【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：

，，，，
∴，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当与相切时，
∴，

∴，
∴，故C符合题意；
当时，如图，

∴，
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选AC
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
四、解答题
7．（2023·江苏南通·统考中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)见解析
(3)n的取值范围为且
【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可；
（2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明．
（3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．
【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
（2）证明：点为点的“级变换点”，
点的坐标为．
直线，的解析式分别为和．
当时，．
，
．
，
．
．
（3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的
“1级变换点”都在函数的图象上．
由，整理得．
，
函数的图象与直线必有公共点．
由得该公共点为．
①当时，由得．
又得，
且．
②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为且．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
8．（2023·陕西·统考中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；
（2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．

【答案】（1）
（2）
【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案．
【详解】解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，

则．
半径为4，
，
．，
，
，
，
线段的最小值为；
（2）如图②，分别在，上作，

连接，、、、．
，，，
四边形是平行四边形．
．
，
，
当点在上时，取得最小值．
作，使圆心在上，半径，
作，垂足为，并与交于点．
∴，
△△，
，
在矩形区域内（含边界），
当与相切时，最短，即．
此时，也最短．
，
也最短．
，
，
此时环道的圆心到的距离的长为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023·山东济南·统考中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2
（2）不能围出，理由见解析
（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
10．（2023·浙江·统考中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．
11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
(1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
(2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
(3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)；、
(3)
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：

与图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
（2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、；
（3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：

联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，

，
由得到，即．
【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．
12．（2023·湖南·统考中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2
(2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析
(3)能构成正方形，此时
【分析】（1）根据题意得到即可解答；
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
（3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
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如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．