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专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）
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这是一份专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类16大核心考点讲义原卷版docx、专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类16大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156908865" PAGEREF _Tc156908865 \h 2
\l "_Tc156908866" PAGEREF _Tc156908866 \h 3
\l "_Tc156908867" PAGEREF _Tc156908867 \h 4
\l "_Tc156908868" PAGEREF _Tc156908868 \h 5
\l "_Tc156908869" PAGEREF _Tc156908869 \h 6
\l "_Tc156908870" 考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 PAGEREF _Tc156908870 \h 6
\l "_Tc156908871" 考点二：蒙日圆 PAGEREF _Tc156908871 \h 7
\l "_Tc156908872" 考点三：阿基米德三角形 PAGEREF _Tc156908872 \h 8
\l "_Tc156908873" 考点四：仿射变换问题 PAGEREF _Tc156908873 \h 9
\l "_Tc156908874" 考点五：圆锥曲线第二定义 PAGEREF _Tc156908874 \h 9
\l "_Tc156908875" 考点六：焦半径问题 PAGEREF _Tc156908875 \h 10
\l "_Tc156908876" 考点七：圆锥曲线第三定义 PAGEREF _Tc156908876 \h 10
\l "_Tc156908877" 考点八：定比点差法与点差法 PAGEREF _Tc156908877 \h 11
\l "_Tc156908878" 考点九：切线问题 PAGEREF _Tc156908878 \h 11
\l "_Tc156908879" 考点十：焦点三角形问题 PAGEREF _Tc156908879 \h 12
\l "_Tc156908880" 考点十一：焦点弦问题 PAGEREF _Tc156908880 \h 12
\l "_Tc156908881" 考点十二：圆锥曲线与张角问题 PAGEREF _Tc156908881 \h 13
\l "_Tc156908882" 考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 PAGEREF _Tc156908882 \h 13
\l "_Tc156908883" 考点十四：圆锥曲线与通径问题 PAGEREF _Tc156908883 \h 14
\l "_Tc156908884" 考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 PAGEREF _Tc156908884 \h 14
\l "_Tc156908885" 考点十六：圆锥曲线与四心问题 PAGEREF _Tc156908885 \h 15
圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
5、椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则
6、双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点，
①焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
8、双曲线焦半径
设为双曲线上的一点，
①焦点在轴：在左支，在右支；
②焦点在轴：在下支，在上支．
9、设、是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，，则．
10、设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，，则．
11、等轴双曲线满足：；
12、若椭圆（双曲线）与直线交于两点，其中，，，为中点，（椭圆）；（双曲线）
1．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则
A．7B．6C．5D．4
2．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
3．（2023•甲卷）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A．B．C．D．
4．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
5．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
6．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
7．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1B．2C．4D．5
8．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
A．13B．12C．9D．6
9．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
10．（2022•全国）已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ．
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-3】（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点二：蒙日圆
【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为D．长方形的面积的最大值为18
考点三：阿基米德三角形
【例3】（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．底边的直线方程为；
C．是直角三角形；
D．面积的最小值为.
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB是直角三角形
B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
C．MF是△AMB的高线
D．△AMB面积的最小值为
【变式3-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
考点四：仿射变换问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为 .
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当 ，面积最大，并且最大值为 .记，当面积最大时， ﹐ .Р是椭圆上一点，，当面积最大时， .
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为 .
考点五：圆锥曲线第二定义
【例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024·广东广州·统考）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且，则
A．6B．8C．10D．12
【变式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
考点六：焦半径问题
【例6】（2024·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式6-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
考点七：圆锥曲线第三定义
【例7】（江苏省南京市中华中学2023-2024学年高二下学期初数学试题）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（ ）
A．B．3C．D．
【变式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为
A．8B．4C．2D．1
考点八：定比点差法与点差法
【例8】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【变式8-1】（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为 ．
【变式8-2】（2024·浙江·校联考）过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
考点九：切线问题
【例9】（2024·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
【变式9-1】（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
【变式9-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为，则下列关系：①；②；③.其中正确的是 (填序号)．
考点十：焦点三角形问题
【例10】（2024·全国·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则
A．2B．3C．6D．9
【变式10-1】（2024·云南·高二云南省下关第一中学校考期末）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9B．3C．4D．8
【变式10-2】（2024·江西赣州·高二校联考期末）已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
考点十一：焦点弦问题
【例11】（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2024·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-2】（2024·四川遂宁·统考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14B．16C．18D．20
考点十二：圆锥曲线与张角问题
【例12】（2024·湖南·高三校联考期末）设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式12-2】（2024·湖南常德·统考）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【例13】（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，过点向的平分线引垂线交于点，若，则双曲线的离心率 .
【变式13-1】（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时， ．
【变式13-2】（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
考点十四：圆锥曲线与通径问题
【例14】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为 .
【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为 .
【变式14-2】已知，是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【例15】（2024·河南郑州·高三河南省新郑市第一中学校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为 .
【变式15-1】（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
【变式15-2】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，考点要求
考题统计
考情分析
圆锥曲线的定义
2023年北京卷第6题，4分
2022年I卷第11题，5分
2021年I卷第5题，5分
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
（2）热点是圆锥曲线的三定义与性质.
圆问题
2023年I卷第6题，5分
2023年乙卷第12题，5分
2023年乙卷第11题，5分
焦点三角形
2023年甲卷第12题，5分
2023年甲卷第7题，5分
2021年I卷第5题，5分
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156908865" PAGEREF _Tc156908865 \h 2
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\l "_Tc156908868" PAGEREF _Tc156908868 \h 5
\l "_Tc156908869" PAGEREF _Tc156908869 \h 6
\l "_Tc156908870" 考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 PAGEREF _Tc156908870 \h 6
\l "_Tc156908871" 考点二：蒙日圆 PAGEREF _Tc156908871 \h 7
\l "_Tc156908872" 考点三：阿基米德三角形 PAGEREF _Tc156908872 \h 8
\l "_Tc156908873" 考点四：仿射变换问题 PAGEREF _Tc156908873 \h 9
\l "_Tc156908874" 考点五：圆锥曲线第二定义 PAGEREF _Tc156908874 \h 9
\l "_Tc156908875" 考点六：焦半径问题 PAGEREF _Tc156908875 \h 10
\l "_Tc156908876" 考点七：圆锥曲线第三定义 PAGEREF _Tc156908876 \h 10
\l "_Tc156908877" 考点八：定比点差法与点差法 PAGEREF _Tc156908877 \h 11
\l "_Tc156908878" 考点九：切线问题 PAGEREF _Tc156908878 \h 11
\l "_Tc156908879" 考点十：焦点三角形问题 PAGEREF _Tc156908879 \h 12
\l "_Tc156908880" 考点十一：焦点弦问题 PAGEREF _Tc156908880 \h 12
\l "_Tc156908881" 考点十二：圆锥曲线与张角问题 PAGEREF _Tc156908881 \h 13
\l "_Tc156908882" 考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 PAGEREF _Tc156908882 \h 13
\l "_Tc156908883" 考点十四：圆锥曲线与通径问题 PAGEREF _Tc156908883 \h 14
\l "_Tc156908884" 考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 PAGEREF _Tc156908884 \h 14
\l "_Tc156908885" 考点十六：圆锥曲线与四心问题 PAGEREF _Tc156908885 \h 15
圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
5、椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则
6、双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点，
①焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
8、双曲线焦半径
设为双曲线上的一点，
①焦点在轴：在左支，在右支；
②焦点在轴：在下支，在上支．
9、设、是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，，则．
10、设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，，则．
11、等轴双曲线满足：；
12、若椭圆（双曲线）与直线交于两点，其中，，，为中点，（椭圆）；（双曲线）
1．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则
A．7B．6C．5D．4
2．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
3．（2023•甲卷）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A．B．C．D．
4．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
5．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
6．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
7．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1B．2C．4D．5
8．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
A．13B．12C．9D．6
9．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
10．（2022•全国）已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ．
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-3】（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点二：蒙日圆
【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为D．长方形的面积的最大值为18
考点三：阿基米德三角形
【例3】（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．底边的直线方程为；
C．是直角三角形；
D．面积的最小值为.
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB是直角三角形
B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
C．MF是△AMB的高线
D．△AMB面积的最小值为
【变式3-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
考点四：仿射变换问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为 .
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当 ，面积最大，并且最大值为 .记，当面积最大时， ﹐ .Р是椭圆上一点，，当面积最大时， .
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为 .
考点五：圆锥曲线第二定义
【例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024·广东广州·统考）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且，则
A．6B．8C．10D．12
【变式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
考点六：焦半径问题
【例6】（2024·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式6-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
考点七：圆锥曲线第三定义
【例7】（江苏省南京市中华中学2023-2024学年高二下学期初数学试题）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（ ）
A．B．3C．D．
【变式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为
A．8B．4C．2D．1
考点八：定比点差法与点差法
【例8】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【变式8-1】（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为 ．
【变式8-2】（2024·浙江·校联考）过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
考点九：切线问题
【例9】（2024·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
【变式9-1】（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
【变式9-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为，则下列关系：①；②；③.其中正确的是 (填序号)．
考点十：焦点三角形问题
【例10】（2024·全国·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则
A．2B．3C．6D．9
【变式10-1】（2024·云南·高二云南省下关第一中学校考期末）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9B．3C．4D．8
【变式10-2】（2024·江西赣州·高二校联考期末）已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
考点十一：焦点弦问题
【例11】（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2024·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-2】（2024·四川遂宁·统考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14B．16C．18D．20
考点十二：圆锥曲线与张角问题
【例12】（2024·湖南·高三校联考期末）设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式12-2】（2024·湖南常德·统考）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【例13】（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，过点向的平分线引垂线交于点，若，则双曲线的离心率 .
【变式13-1】（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时， ．
【变式13-2】（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
考点十四：圆锥曲线与通径问题
【例14】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为 .
【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为 .
【变式14-2】已知，是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【例15】（2024·河南郑州·高三河南省新郑市第一中学校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为 .
【变式15-1】（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
【变式15-2】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，考点要求
考题统计
考情分析
圆锥曲线的定义
2023年北京卷第6题，4分
2022年I卷第11题，5分
2021年I卷第5题，5分
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
（2）热点是圆锥曲线的三定义与性质.
圆问题
2023年I卷第6题，5分
2023年乙卷第12题，5分
2023年乙卷第11题，5分
焦点三角形
2023年甲卷第12题，5分
2023年甲卷第7题，5分
2021年I卷第5题，5分
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