专题10 数列不等式的放缩问题+（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题10数列不等式的放缩问题
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154171355" 01 先求和后放缩 PAGEREF _Tc154171355 \h 1
\l "_Tc154171356" 02 裂项放缩 PAGEREF _Tc154171356 \h 3
\l "_Tc154171357" 03 等比放缩 PAGEREF _Tc154171357 \h 4
\l "_Tc154171358" 04 型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171358 \h 5
\l "_Tc154171359" 05 型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171359 \h 7
\l "_Tc154171360" 06 型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171360 \h 9
\l "_Tc154171361" 07 型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171361 \h 11
01 先求和后放缩
1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且______请在是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求的通项公式
(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和，证明：
2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：.
3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列的前n项和，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设数列的前项和为，且 ，求
(3)设数列满足：．证明：．
4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.
02 裂项放缩
5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：.
7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
8．（2023·河北唐山·模拟预测）已知和是公差相等的等差数列，且公差的首项，记为数列的前项和，．
(1)求和；
(2)若的前项和为，求证：．
03 等比放缩
9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．
(3)设，且数列的前项和为，求证：．
10．（2023·全国·高三专题练习）求证：（）.
11．（2023·重庆·高三统考阶段练习）记数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求证：.
04 型不等式的证明
12．（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数（）.
(1)证明：；
(2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）.
13．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知函数.
(1)证明：当时，恒成立；
(2)首项为的数列满足：当时，有，证明：.
14．（2023·重庆·高三校联考期中）设数列的前项之积为，满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前项之和为，证明：.
15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)数列的前项和为，且；
（ⅰ）求；
（ⅱ）求证：．
17．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：.
18．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上只有一个零点，求的取值范围；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
05 型不等式的证明
19．（2023·黑龙江大庆·高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：.
20．（2023·浙江温州·高二校联考期末）已知数列，满足，，且，.
（1）求及；
（2）猜想，的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的，.
21．（2023·山东青岛·高二统考期末）在各项为正数的数列中，，点在曲线上；对于数列，点在过点，且以为方向向量的直线上．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，问是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)对任意正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．
06 型不等式的证明
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
24．（2023·四川成都·高一成都七中校考期末）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
25．（2023·河南·校联考模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)已知当时，，证明：.
26．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若数列满足，，记．是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
27．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，，.
(1)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)记数列的前项和为，当时，求证：.
28．（2023·江西宜春·高二奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数.
（1）若在处有极值，问是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.；
（2）若，设.
①求证：当时，；
②设，求证：
07 型不等式的证明
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．令，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
30．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
31．（2023·山东日照·高二统考期末）已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．