思想03 运用函数与方程的思想方法解题（4大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）

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\l "_Tc159350681" PAGEREF _Tc159350681 \h 3
\l "_Tc159350682" 考点一：运用函数的思想研究问题 PAGEREF _Tc159350682 \h 3
\l "_Tc159350683" 考点二： 运用方程的思想研究问题 PAGEREF _Tc159350683 \h 5
\l "_Tc159350684" 考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题 PAGEREF _Tc159350684 \h 5
\l "_Tc159350685" 考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题 PAGEREF _Tc159350685 \h 6
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题．例如，方程解的个数可以转化为函数的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标，得到切线斜率，切线方程为 ， 从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等式问题．例如，不等式或恒成立，可以转化为或．也可以考虑参变分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决．
1．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
3．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
8．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
考点一：运用函数的思想研究问题
【例1】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数.
（1）若函数有极大值点，求出极大值的取值范围；
（2）若，求证：在区间内有且仅有一个实数，使得.
【变式1-1】（2024·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）已知函数，且
（1）求的最小值；
（2）当取得最小值时，若方程无实根，求实数的取值范围．
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
【变式1-3】（2024·山东·高三山东省实验中学校考期中）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围.
考点二： 运用方程的思想研究问题
【例2】（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图像相切
【变式2-1】（多选题）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的为
A．和关于直线对称B．若，则
C．当时，和必存在两条公切线D．当时，
【变式2-3】已知函数，，其中
求函数的单调区间；
若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线．
考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【例3】（2024·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）设函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2024·广东深圳·高三统考阶段练习）已知函数.
（1）当时，求的导函数在上的零点个数；
（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【例4】（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是 ．
【变式4-1】（2024·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）现有一组数据：共200项，（是这一组数据的第项），有以下结论：
①这组数据的极差为19；
②这组数据的中位数为14；
③这组数据的平均数为13.5；
④.
其中正确结论的个数为 .
【变式4-2】（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，是边上的点，且满足，．
(1)求；
(2)若，求的外接圆的直径．
【变式4-3】（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
(3)当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由.
【变式4-4】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过左焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于D，E两点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，设直线AP，BQ的斜率分别为，，和的面积分别为，，若，求的最大值．