模块02 函数与导数（测试）-2024年高考数学二轮复习测试（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

模块二 函数与导数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得.当时，，
故该曲线在处的切线方程为.
故选：D
2．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：，，.
A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年
【答案】D
【解析】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：D．
3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从图象可知函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数．
因为，是偶函数，是奇函数，
所以都是偶函数，可排除A，D．
对于，对于C，，
结合题图可知选B．
故选：B
4．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
，
等价于，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
则不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，令，
则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：D.
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设函数，
因为上，上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，当且仅当时，等号成立．
令，则．
设函数，
因为上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，即，所以．
综上可得：．
故选：A.
6．定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且，
∴在上单调递减，且，
∴当或时，；当时，，
∵，∴或，
∴或，
∴或，即，
则不等式的解集是.
故选：A.
7．设定义在R上的函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在R上单调递减B．在R上单调递增
C．在R上有最大值D．在R上有最小值
【答案】C
【解析】因为，所以，
可得，
可得（为常数），
因为，所以，解得，
所以，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递增，当时，且，当时，，
所以在时有极大值即最大值，无最小值.
故选：C.
8．已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，
又，则，
此时，则.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数是上的单调函数，则a的值可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数是上的单调函数，
所以，解得，
故选:BC．
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．B．函数图像关于直线对称
C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A选项，，A正确；
B选项，，
由于，故函数图像不关于直线对称，B错误；
C选项，画出的图象，如下：
数形结合可知函数的值域为，C正确；
D选项，若函数有四个零点，则与有4个交点，
故实数的取值范围是，D正确.
故选：ACD
11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．已知函数和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，，分别为函数和的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，的值域为
C．当时，若恒成立，则a的取值范围为
D．当时，满足
【答案】ACD
【解析】对于A，因为和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，
即可得，
所以可得，，故A正确；
对于B，，
当且仅当时，等号成立，又因为，所以的值域为，故B错误．
对于C，分两种情况．①，令，
当时，则，单调递增，
所以，即；
②，方程的正根为，
若，则，单调递减，
，即，与题设矛盾．
综上，a的取值范围是，故C正确．
对于D，，
则，
，
…
，
累乘得
，
故，故D正确．
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，函数的定义域关于坐标原点对称，
且，即函数为偶函数，
当时，，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）
14．已知函数，则的值为 .
【答案】
【解析】因为函数，
则
.
故答案为：
15．已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，可得，
设切点，令，即，解得，即切点
所以点到直线的距离为时，，解得或，
当时，函数图象与直线不相交（如图所示），
从而函数的图象上只有一点到直线的距离为；
当时，函数图象与直线相交（如图所示），
从而函数的图象上有且仅有三个点到直线的距离为，
综上，要满足点到直线的距离为的点有且仅有两个时，满足，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
16．函数的定义域为，对任意，恒有，若， .
【答案】
【解析】设，可得，
因为，即，
若，令，则，所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以，
由此可得的值有周期性，最小正周期为，
且，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1），
由已知，
∴得
又
∴曲线在点处的切线方程为
化简得：
（2）定义域为R，
，令得或
①当即时，
令得或，令得，
故在单调递减，在，上单调递增；
②当即时，恒成立，
故在R上单调递增；
③当即时，
令得或，令得，
在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
18．（12分）
2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，数日内，涿州市成为洪水重灾区，截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146个，面积225.38平方千米，灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资.某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，.该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，已知生产的物资能全部售出.
(1)写出总利润（千元）关于生产量（吨）的函数解析式（注：总利润＝总收入-流动成本-固定成本）；
(2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：）
【解析】（1）由已知可得.又，
所以当时，，
当时，，
故
（2）当时，，．
当时，，所以，
所以当时，单调递增，
故．
因为，
所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元．
19．（12分）
设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
【解析】（1）证明：因为是定义在上的奇函数，且对任意实数，，
则，所以函数是周期为的周期函数.
（2）当时，，
此时，.
（3）因为当时，；当时，，
所以，，，，，
因为，
所以，
.
20．（12分）
已知函数为奇函数．
(1)解不等式；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知函数需满足，
当时，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，，
此时，满足，为奇函数，成立，
所以，
所以函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
所以，解得；
（2）由（1）得在的值域，
又，
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，
所以，
解得.
21．（12分）
已知函数 .
(1)若求曲线f (x)在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求a 的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
，
则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）不等式可整理为，
令，，
所以当，单调递增，当，单调递减，所以，
又，所以令，
则，
令，则，
令，则，
令，则，
所以单调递减，，所以，
单调递减，，所以，
所以，，
所以单调递减，，
所以.
22．（12分）
已知函数．
(1)求的最值；
(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得：，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的最小值为，无最大值．
（2）令，
则，
若方程有两个不同的解，则有两个不同的零点．
（ⅰ）若，则，由得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
①当时，，即，故没有零点，不满足题意；
②当时，，只有一个零点，不满足题意；
③当时，，即，
当时，，，
又因为，故，所以，
又，
故在上有一个零点．
设，
则，单调递增，所以，
故当时，，
又，所以，因此在上有一个零点，
所以当时，有两个不同的零点，满足题意；
（ⅱ）若，则由得，．
①当时，，
当时，；当时，；当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
又，
所以至多有一个零点，不满足题意；
②当时，，则，
所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意；
③当时，，
当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，所以至多有一个零点，不满足题意；
综上，实数a的取值范围为．