山东省聊城市东阿县姜楼中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（ ）
A. 距离学校米处B. 北偏东方向上的米处
C. 南偏西方向上的米处D. 南偏西方向上的米处
【答案】B
【解析】
【分析】根据图表的信息，分析小明家的位置和学校的位置，即可得到答案．
【详解】根据图表的信息，学校在小明家北偏东65°（180°-115°=65°）方向上，距离为1200米；
A.距离学校米处只说明了距离，没有说明方向，故不是答案；
B.学校在小明家北偏东方向上的米处，故正确；
C.学校在小明家北偏东方向上的米处，故不是答案；
D.学校在小明家北偏东方向上的米处，故不是答案；
故选B．
【点睛】本题考查了方向角，掌握方向角的描述是解题的关键．
2. 已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为（ ）
A. 20°
B. 80°
C. 10°或40°
D. 20°或80°
【答案】C
【解析】
【详解】因为∠AOB=50°,∠BOC=30°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°或∠AOC=∠AOB－∠BOC=20°,又因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=,所以∠AOD=40°或∠AOD=10°,故选C.
3. 若角的补角等于120°，则角的余角为（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】根据补角和余角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵角的补角等于120°，
∴角为；
∴角的余角为；
故选C．
【点睛】本题考查与余角，补角有关的计算．解题的关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．
4. 已知且，则，依据是（ ）
A. 等角的补角相等B. 同角的补角相等C. 等量代换D. 补角的定义
【答案】C
【解析】
【分析】根据等量代换即可求解．
【详解】解：∵，
∴（等量代换）
故选C
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”．
5. 如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
6. 在同一平面内，若，，且点在直线上，则下列结论成立的是（ ）
A. B. 点，在直线同侧
C. 点，在直线两侧D. 点，，在同一条直线上
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．，，则过点A与直线l相垂直的直线有，，而过已知点与已知直线垂直的直线有一条并且只有一条，由此即可得答案．
【详解】解：∵，，则过点A与直线l相垂直的直线有，，
又∵“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，
∴与重合，
A．与，不可能平行，错误；
B．点B，C在直线l同侧，不能确定，错误；
C．点B，C在直线l两侧，不能确定，错误；
D．因为与重合，故点，，在同一条直线上，正确．
故选：D．
7. 如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要想成为同位角，两个角必须有一对边在同一条直线上，依据这一条件分析判断即可．
【详解】A、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角；
C、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角；
D、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角；
D、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上，不是同位角；
故选：D
【点睛】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟悉三线八角的位置关系．
8. 在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【详解】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交，故③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的三种位置关系，平行、相交或重合，熟练掌握这三种位置关系是解题的关键．
9. 如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 35°C. 45°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和得，求出∠B得度数，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
∵
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
10. 如图，直线，点分别在直线上，P为两平行线间一点，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作PE∥a．则可得出PE∥a∥b，结合“两直线平行，内错角相等”可得出∠2=∠AMP+∠BNP，再结合邻补角的即可得出结论．
【详解】解：过点P作PE∥a，如图所示．
∵PE∥a，a∥b，
∴PE∥a∥b，
∴∠AMP=∠MPE，∠BNP=∠NPE，
∴∠2=∠MPE+∠NPE=∠AMP+∠BNP．
∵∠1+∠AMP=180°，∠3+∠BNP=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是找出∠2=∠AMP+∠BNP．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
11. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．
【详解】解：当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意；
当时，由内错角相等，两直线平行得，故B符合题意；
当时，由同位角相等，两直线平行得，故C不符合题意；
当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
12. 如图，的一边为平面镜，另一边上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，已知，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，，即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13. 张师傅晚上出门散步，出门时6点多一点，他看到手表上的分针与时针的夹角恰好为120°，回来时接近7点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成120°，则张师傅此次散步的时间是_____分钟．
【答案】
【解析】
【分析】设张师傅此次散步的时间是x分钟，根据分针比时针多走了2个120°，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解】解：分钟每分钟走6°，时针每分钟走．
设张师傅此次散步的时间是x分钟，
依题意得：6x-0.5x=120×2，
解得：x=，
∴张师傅此次散步的时间是分钟．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14. 如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___．
【答案】36°
【解析】
【分析】根据OA⊥OB，∠FOD＝4∠COB求得∠BOC，∠AOD,再根据OD平分∠AOF，平角的定义求得∠AOE
【详解】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠FOD＝4∠COB，
∴设∠BOC＝x°，则∠FOD＝4x°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOD＝∠FOD＝4x°，
∴x+4x+90°＝180°，
解得：x＝18，
∴∠BOC＝18°，
∴∠FOD＝∠AOD＝18°×4＝72°，
∴∠AOE＝180°-∠FOD -∠AOD =180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义，通过设未知数求得∠BOC是解题的关键．
15. 如图，直线，的顶点和分别落在直线和上，若，，则的度数是__________．
【答案】20°
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等可得到，从而计算出的度数．
【详解】解：∵直线，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
16. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则_________°．

【答案】
【解析】
【分析】此题要求的度数，可先求得其邻补角的度数，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及折叠的性质就可求解的度数．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，（两直线平行，内错角相等）
由折叠得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
17. 如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【解析】
【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 如图，，，三点共线，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先根据平角的定义结合已知条件求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
19. 如图，∠AOB是平角，∠DOE=90°，OC平分∠DOB，OD平分∠AOC．求∠AOE的度数．
【答案】30°.
【解析】
【分析】）根据角平分线可得，∠AOD＝∠COD＝∠BOC，求出∠AOD＝60°．再根据∠DOE=90°，求解即可．
【详解】解： ∵OC平分∠DOB，
∴∠BOC＝∠COD．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD．
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC．
∵∠AOB是平角，
∴∠AOD＋∠COD＋∠BOC＝∠AOB＝180°.
∴∠AOD＝60°．
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠DOE－∠AOD＝30°.
【点睛】本题考查角的计算，解题的关键是熟练利用角平分线的性质和平角定义求出角的度数．
20. 解答下列各题
（1）如图，在中，以为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是，则角的总个数为多少？
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2051325
【解析】
【分析】本题主要考查的是角的概念，规律探究，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成个角．
（1）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（2）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入求解即可．
【小问1详解】
解：填表如下：
【小问2详解】解：当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当有n条射线时，角总个数为：
；
【小问3详解】
解：当内有射线条数是2024时，
角总个数为：（个）．
21. 有公共顶点的两个角，，且为的角平分线．
（1）如图1，请探索和的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，和是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；
（3）若，，求出的度数．
【答案】（1）∠AOE＝∠DOE，理由见解析
（2）∠AOE＝∠DOE，理由见解析
（3）的度数为13°或77°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE＝∠COE，进而推出∠AOE＝∠DOE；
（2）与（1）同理；
（3）分两种情况，∠AOC在∠AOB的内部或∠AOC在∠AOB的外部，根据角的和差关系，由∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，得∠BOC=∠AOB−∠AOC＝26°或∠BOC=∠AOB+∠AOC＝154°，然后根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE＝∠BOC＝13°或∠BOE＝∠BOC＝77°．
【小问1详解】
解：∠AOE＝∠DOE，理由如下：
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOE＝∠COD＋∠COE，
∴∠AOE＝∠DOE．
【小问2详解】
∠AOE＝∠DOE，理由如下：
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB−∠BOE＝∠COD−∠COE，
∴∠AOE＝∠DOE．
【小问3详解】
解：当∠AOC在∠AOB的内部时，如图所示：
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC＝26°，
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠BOC＝13°；
当∠AOC在∠AOB的外部时，如图所示：
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC＝154°，
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠BOC＝77°；
综上分析可知，的度数为13°或77°．
【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义，是解决本题的关键．
22. 直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部．
（1）如图1，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，求∠AOF与∠EOD的度数和；
（2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角；
（3）如图2，若射线OM平分∠AOD（OM在∠EOD内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由．

【答案】（1）120°；（2）∠BOD、∠AOC、∠EOF；（3）∠AOF＝∠EOF，见解析
【解析】
【分析】（1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可；
（2）根据补角的定义解答即可；
（3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可．
【详解】解：（1）∵∠DOE+∠EOF+∠AOF＝∠AOD＝150°且∠EOF＝30°，
∴∠DOE+∠AOF＝∠150°﹣30°＝120°；
（2）根据补角的定义可知图中与∠BOC互补的角有∠BOD、∠AOC、∠EOF；
（3）∠AOF＝∠EOF，理由如下：
∵OM平分∠AOD，
∴∠DOM＝∠AOM，
∴∠AOF＝∠AOM﹣∠FOM
＝∠DOM﹣∠FOM
＝∠EOD﹣∠MOE﹣∠FOM
＝2∠FOM﹣∠MOE﹣∠FOM
＝∠FOM﹣∠MOE
＝∠EOF，
∴∠AOF＝∠EOF．
【点睛】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键．
23. 如图，，，，DC是的平分线
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明；
（3）求的度数．
【答案】（1），见解析
（2）见解析 （3）30°
【解析】
【分析】（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC＝∠1＝60°，进而证明∠ABC＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；
（3）先求得∠ADB的度数，根据平行求出∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．
【小问1详解】
解： ，理由如下：
∵，
∴∠ABC=∠1=60°.
又∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠2，
∴AB∥DE.
【小问2详解】
解：∵MN∥BC，
∴∠NDE+∠2=180°，
∴∠NDE=180°-∠2=180°-60°=120°.
∵DC是∠NDE的平分线，
∴.
∵MN∥BC，
∴∠C=∠NDC=60°，
∴∠ABC=∠C.
【小问3详解】
解：∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°.
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵∠ABC=∠C=60°，
∴∠ABD=30°
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明和计算．
24. 如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EFBC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠B＝50°
【解析】
【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得ABFP，进而可证明结论；
（3）根据同旁内角互补可判定ABFP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EFBC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EFBC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴ABFP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴ABFP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵ABFP，EFBC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【点睛】此题主要考查平行线判定与性质综合，对顶角相等，解题的关键是熟知平行线的判定定理与性质定理．
25. 若两个角的两边分别平行，通常分两总情况进行探讨，请结合下图探索这两个角的数量关系，并解决相应问题．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＋∠2＝180°；
（3）由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是 或 ；
（4）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）相等，互补 （4）60°，60°或80°，100°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质推出即可；
（2）根据平行线的性质推出即可；
（3）根据（1）（2）的结论得出答案即可；
（4）根据（3）中结论得出两个方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：如图1
∵
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图2
∵，
∴∠1＝∠4 ，
又∵，
∴，
∴ ；
【小问3详解】
由（1）（2）得出的结论是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等；互补；
【小问4详解】
设其中一个角为x°，则另一角为（2x－60）°
当x＝2x－60时，
解得x＝60，
此时两个角为60°，60°；
当x＋2x－60＝180时，
解得x＝80，
则2x－60＝100
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别60°，60°或80°，100°
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．内射线的条数
角的总个数
______
______
______
_____
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
3
6
10
15