2024芜湖师大附中高三下学期二模数学试题含解析

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考生须知：
1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知A，B是全集U的非空子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知复数且有实数根b，则=（ ）
A. B. 12C. D. 20
4. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A. 1B. C. D.
5. 已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（ ）
A. 26B. 63C. 57D. 25
7. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（ ）
A 4036B. 4040C. 4044D. 4048
8. 已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 是周期函数
11. 如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则下列关于该几何体叙述正确的是（ ）
A. 该几何体的体积为B. 该几何体为七面体
C. 二面角的余弦值为D. 该几何体为三棱柱
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．
13. 已知偶函数图像关于点中心对称，且在区间上单调，则______．
14. 若实数x，y满足，则的最大值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，
（1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）当时，求的极值点．
16. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
参考数据：，，，
（1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；
17. 在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于．
（1）当时，求点的轨迹长度；
（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点．
（1）求椭圆W的方程；
（2）已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值．
19. 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．

（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．飞行距离x（kkm）
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数y（个）
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0.25
0.1
005
0.025
0.01
0.001
1323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828