最新高考数学考试易错题 易错点12 直线及直线与圆位置关系
展开1、多加总结。这是非常重要的一点,当三年所有的数学知识点加在一起,可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说:“一个知识点对应的题目有无数个”,哪怕同一题只改变数字,也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区,多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说,三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”,家长们同样是这样,不要老是去责怪孩子考试成绩不佳,相反,更多的来说,如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因,找到问题的症结所在,更加重要。
专题12 解析几何
易错分析
一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错
1. 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离.
【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0,
则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离.
【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等,不能直接用公式。在使用两条平行直线间的距离公式时,一定要注意:两条直线方程均为一般式,且x、y的系数对应相等,而不是对应成比例,因此当直线方程不满足此条件时,应先将方程变形.
【正解】 经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0,
故它们之间的距离为 .
二、有关截距相等问题忽略截距为零致错
2、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,
则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】。
【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.
【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为;
若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,
故直线l的方程为,即.
综上,直线l的方程为或.
3.过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________.
【错解】设直线方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,-a)=1,即x-y=a,代入点(-3,5),得a=-8,
即直线方程为x-y+8=0. 答案:x-y+8=0
【错因】未考虑直线过原点的情况。
【正解】①当直线过原点时,直线方程为y=-eq \f(5,3)x,即5x+3y=0;
②当直线不过原点时,设直线方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,-a)=1,即x-y=a,
代入点(-3,5),得a=-8, 即直线方程为x-y+8=0.
综上,直线方程为5x+3y=0或x-y+8=0.
三、已知两直线平行求参数的值未验证致错
4.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,则a的值为________.
【错解】令3×1=a(a-2),解得a=-1或a=3. 答案:-1或3
【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。
【正解】令3×1=a(a-2),解得a=-1或a=3.
当a=-1时,两条直线的方程都为x-3y-1=0,即两条直线重合,故舍去;
当a=3时,两条直线的方程分别为3x+3y+1=0,x+y+3=0,两条直线平行.
∴a的值为3.
四、未讨论参数的取值致错
5.已知直线:,:,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【错解】C,因为,则,即,解得,
所以“”是“或”的充要条件.
【错因】未考虑的情况,
【正解】A,(1)当时, 因为,则,即,解得,
(2)当时, 直线的方程分别为,显然,
由上可知,若,则或,
所以“”是“或”的充分不必要条件.
五、误用点线距离公式致错
6.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
A.B.C.D.
【错解】由点到直线的距离公式知
【错因】在运用点到直线的距离公式时,没有理解直线Ax+By+C=0中,B的取值,B应取-1,而不是取1.
【正解】由点到直线的距离公式知
7. “ a=b” 是“直线与圆 ( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【错解】当时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径相等,
故是直线和圆相切的充分条件,同理直线与圆相切时,
圆心到的距离为,
故是直线与圆相切的充分必要条件. 选A。
【错因】在运用点到直线的距离公式时,应先变为 再计算. 这里y的系数应为- 1而不是未变形前的1.
【正解】C, 当时,圆心到直线=0的距离为不一定刚好等于,
故不是充分条件, 当直线与圆相切时,到直线的距离应等于半径,
即, 解得或,故也不是必要条件,
综上可得,是直线与圆相切的既不充分也不必要条件.
六、忽视切线斜率不存在致错
8.过点P(2,4)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为( )
A.3x+4y-4=0
B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0
D.y=4或3x+4y-4=0
【错解】选B,设切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,则eq \f(|k-1+4-2k|,\r(k2+1))=1,
解得k=eq \f(4,3),得切线方程为4x-3y+4=0.
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】(1)当斜率不存在时,直线x=2与圆相切;
当斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,
则eq \f(|k-1+4-2k|,\r(k2+1))=1,解得k=eq \f(4,3),得切线方程为4x-3y+4=0.
综上,得切线方程为x=2或4x-3y+4=0.
9.已知直线l过点(5,10),且到原点的距离为5,则直线l的方程为____________.
【错解】设其斜率为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0,
由点到直线的距离公式得eq \f(|10-5k|,\r(k2+1))=5,解得k=eq \f(3,4).故所求直线方程为3x-4y+25=0.
答案:3x-4y+25=0
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】 (1)当斜率不存在时,所求直线的方程为x-5=0,满足题意;
(2)当斜率存在时,设其斜率为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+10-5k=0,由点到直线的距离公式得eq \f(|10-5k|,\r(k2+1))=5,解得k=eq \f(3,4).
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上,得切线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
10.若直线过点P(4,1)且被圆x2+y2=25截得的弦长是6,则该直线的方程为______________.
【错解】设直线的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,圆心到直线的距离d=eq \f(|-4k+1|,\r(k2+1)),则2eq \r(52-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|-4k+1|,\r(k2+1))))2)=6,解得k=-eq \f(15,8),所以直线方程为15x+8y-68=0.
答案:15x+8y-68=0
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】(1)当直线的斜率不存在时,该直线的方程为x=4,代入圆的方程解得y=±3,
故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意.
(2)当直线的斜率存在时,不妨设直线的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,圆心到直线的距离d=eq \f(|-4k+1|,\r(k2+1)),则2eq \r(52-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|-4k+1|,\r(k2+1))))2)=6,解得k=-eq \f(15,8),
所以直线方程为15x+8y-68=0.
综上所述,所求直线方程为x=4或15x+8y-68=0.
答案:x=4或15x+8y-68=0
七、混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错
11.若曲线C:x2+(y+1)222=1与直线:x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为__________.
【错解】因为曲线C与直线有公共点,故联立方程得,
消去x,化简得.2y2222+2(a+1)y+a222=0,则
则实数a的取值范围为。
【错因】忽略了直线与圆相切时的情况。
【正解】因为曲线C与直线有公共点,故联立方程得,
消去x,化简得.2y2222+2(a+1)y+a222=0,则,
则实数a的取值范围为。
八、忽略方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件致错
12、已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.
【错解】将圆C的方程配方有(x+eq \f(a,2))2+(y+1)2=eq \f(4-3a2,4).
∴圆心C的坐标为(-eq \f(a,2),-1),半径r=eq \f(\r(4-3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,
∴|AC|>r, 即>eq \f(\r(4-3a2),2),
化简得a2+a+9>0,Δ=1-4×9=-35<0,∴a∈R.
【错解】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的条件.
注意,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是D2+E2-4F>0.
【正解】将圆C的方程配方有(x+eq \f(a,2))2+(y+1)2=eq \f(4-3a2,4), ∴eq \f(4-3a2,4)>0,①
∴圆心C的坐标为(-eq \f(a,2),-1),半径r=eq \f(\r(4-3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,
∴|AC|>r,即 >eq \f(\r(4-3a2),2),化简得a2+a+9>0.②,
由①②得-eq \f(2\r(3),3)九、忽视隐含条件致错
13.若点(1,2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(5,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2),+∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(5,2)))
【错解】选A,∵点(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,a<eq \f(5,2),
∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(5,2)))
【错因】忽略了隐含条件a≠0,
【正解】选B ∵点(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,a<eq \f(5,2),又2a2>0,∴a≠0,∴实数a的取值范围为(-∞,0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(5,2))).
14.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2+4y的最大值为________.
【错解】因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5.
所以当y=2时,x2+4y取得最大值为5. 答案:5
【错因】忽略了隐含条件y∈[-1,1],
【正解】因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5.
因为y∈[-1,1],所以当y=1时,x2+4y取得最大值为4. 答案:4
十、由直线的一般式方程求斜率时忽略符号致错
15.已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
【错解】A,两直线平行故斜率相等可得:∴m=0.故选A.
【错因】直线2x+y-1=0的斜率是,而不是2,注意移项时要变号。
【正解】B,利用两直线平行斜率相等可得:
16.设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+csa=0,则a、b满足 ( )
A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0
【错解】C.
【错因】直线ax+by+c=0的斜率是,而不是,注意移项时要变号。
【正解】D,
十一、计算不严谨致错
17.已知直线L过点(-2,0),当直线L与圆有两个交点时,其斜率k取值范围是
【错解】设此直线为圆心到直线的距离刚好好等于半径(即相切)时,
故选D .
【错因】计算出并没有开方算出
【正解】可设直线方程为代入圆的方程中,用选C .
圆心为( 1 ,2 ) 且与直线7=0相切的圆的方程为__________.
【错解】圆心到直线的距离等于半径,即
圆的方程为
【错因】在算出r后,往中代入时、忘记后面是r2.
【正解】由圆心到直线的距离等于半径得r = 2.,
易错题通关
1.若直线x=2的倾斜角为α,则α的值为( )
A.0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D.不存在
【答案】C
【解析】因为直线x=2垂直于x轴,所以倾斜角α为eq \f(π,2).
2.(多选)若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
【答案】ABC
【解析】当直线l经过原点时,直线l的斜率k=eq \f(2-0,1-0)=2,直线l的方程为y=2x,即2x-y=0;当直线l不过原点时,设直线l的方程为x-y=k或x+y=k,把点A(1,2)的坐标代入可得1-2=k或1+2=k,得k=-1或k=3,故直线l的方程为x-y+1=0或x+y-3=0.故选A、B、C.
3.(多选)直线l1:(a2-1)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,l1∥l2,则a的值可能是( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
【答案】BCD
【解析】由题意知,a(a-1)=(a2-1)(a2+a),整理得a2(a-1)(a+2)=0,
解得a=0或a=1或a=-2.
当a=0时,l1:x+1=0,l2:x-2=0,l1∥l2成立;
当a=1时,l1:y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2成立;
当a=-2时,l1:3x-2y-1=0,l2:3x-2y-2=0,l1∥l2成立.
综上所述,a=0或a=1或a=-2.
4.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,则该圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+y2=25 B.(x-3)2+y2=25
C.(x±3)2+y2=25 D.(x+9)2+y2=25
【答案】C
【解析】如图,由题设知|AC|=r=5,|AB|=8,∴|OA|=4.在Rt△AOC中,
|OC|=eq \r(|AC|2-|OA|2)=eq \r(52-42)=3.设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,
∴a=±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2+y2=25.
5.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】设圆心为C(x,y),则eq \r(x-32+y-42)=1,
化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,
1为半径的圆,如图.所以|OC|+1≥|OM|=eq \r(32+42)=5,
所以|OC|≥5-1=4,当且仅当C在线段OM上时取得等号,故选A.
6.直线mx-y+2=0与圆x2+y2=9的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【答案】A
【解析】圆x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,直线mx-y+2=0恒过点A(0,2),
而02+22=4<9,所以点A在圆的内部,所以直线mx-y+2=0与圆x2+y2=9相交.
7.已知直线与直线垂直,则实数a的值为( )
A.B.C.或D.不存在
【答案】C
【解析】当时,直线,直线,两直线垂直,符合题意;当时,由两直线垂直可得,解得或1(舍去),综上所述,或.
8. 直线和直线垂直,则实数的值为( )
A.或B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为直线和直线垂直,所以,或.故选A.
9.过点,且横、纵截距的绝对值相等的直线共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
【答案】C
【解析】当直线经过原点时,横、纵截距都为0,符合题意,当直线不经过原点时,设直线方程为.由题意得解得或综上,符合题意的直线共有3条.
10. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A.B.
C.或D.或
【答案】D
【解析】当直线过原点时,满足题意,方程为,即2x-y=0;当直线不过原点时,设方程为,∵直线过(1,2),∴,∴,∴方程为,故选D
11.若点在圆的外部,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意得,解得,故选C.
12. 经过点可做圆的两条切线,则的范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】圆,即为,或;由题意知点A在圆外,,解得. 所以或.
13.已知直线与直线互相垂直,垂足为,则的值为( )
A.20B.-4C.0D.24
【答案】B
【解析】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知,,将垂足坐标代入直线方程,得到,代入直线方程,得到,所以
,
14.若直线平行,则与间的距离为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题:直线与平行,
则,即,解得或,
当时,直线与重合;
当时,直线与平行,
两直线之间的距离为.
15.若直线与直线平行,则两平行线间的距离为( )
A.1B.C.2D.
【答案】B
【解析】直线与直线平行,则,解得,
当时,直线与直线重合,故舍去.当时,直线与直线平行,故两平行线间的距离.
16.已知点在圆的外部(不含边界),则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】圆,即,圆心,半径,
因为点在圆的外部,所以点到圆心的距离大于半径,即,解得,故选B.
17.过点作直线l,满足在两坐标轴上截距相等的直线l有( )条.
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】若截距都为零,则直线过,则直线方程为;若截距都不为零,则设直线方程为,则,解得,所以直线方程为:,故满足在两坐标轴上截距相等的直线l有条;故选B
18.若方程表示圆,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由方程表示圆,则,
解得.所以实数m的取值范围为.故选D
19.已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点,动点P在以点A为圆心,2为半径的圆上,当 最大时,△APB的面积为( )
A.B.1C.2D.
【答案】C
【详解】由已知,圆A的方程为,当最大时,
此时直线PB是圆的切线,即直线PB的方程为:或,
当直线PA的方程为时,△APB的面积为,
当直线PA的方程为时,△APB的面积为,
20.当圆截直线所得的弦长最短时,m的值为( )
A.B.C.-1D.1
【答案】C
【详解】直线过定点,圆的圆心为,半径,
当时,圆截直线所得的弦长最短,
由于,所以,即.
21.已知直线,圆,M是l上一点,MA,MB分别是圆O的切线,则( )
A.直线l与圆O相切B.圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C.存在点M,使D.存在点M,使为等边三角形
【答案】BD
【详解】对于A选项,圆心到直线的距离d=|−4|12+12=22>2=r,所以直线和圆相离,故A错误;
对于B选项,圆O上的点到直线l的距离的最小值为,故B正确;
对于C选项,当OM⊥l时,有最大值60°,故C错误;
对于D选项,当OM⊥l时,为等边三角形,故D正确.
22.下列命题正确的是( )
A.已知点,,若直线与线段有交点,则或
B.是直线:与直线:垂直的充分不必要条件
C.经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为
D.已知直线,:,,和两点,,如果与交于点,则的最大值是.
【答案】ABD
【解析】对于A,∵直线过定点,又点,,
∴,
如图可知若直线与线段有交点,则或,故A正确;
对于B,由直线:与直线:垂直得,
,解得或,故是直线:与直线:垂直的充分不必要条件,故B正确;
对于C,当直线过原点时,直线为,
当直线不过原点时,可设直线为,代入点,得,所以直线方程为,
故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或,故C错误;
对于D,∵直线,:,又,所以两直线垂直,∴,∴,当且仅当时取等号,故D正确.
23.下列说法错误的是( )
A.若直线与直线互相垂直,则
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.四点不在同一个圆上
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【解析】当时,直线与直线也互相垂直,所以选项A不正确;
直线的倾斜角,可得,,所以的取值范围是;所以B正确;由题得,
,所以,所以四点在同一个圆上,所以选项C不正确;
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为,或,所以D不正确;
24.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
【答案】0或1
【解析】由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.
25.若半径为r,圆心为(0,1)的圆和定圆(x-1)2+(y-2)2=1相切,则r的值等于________.
【答案】eq \r(2)-1或eq \r(2)+1
【解析】依题意,eq \r(0-12+1-22)=r+1或eq \r(0-12+1-22)=|r-1|,
解得r= eq \r(2)-1或r= eq \r(2)+1.
26.经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________________.
【答案】x-4y=0或x+y-5=0
【解析】设直线l在x轴、y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),
所以l的方程为y=eq \f(1,4)x,即x-4y=0.若a≠0,设l的方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,a)=1,因为l过点(4,1),
所以eq \f(4,a)+eq \f(1,a)=1,所以a=5,所以l的方程为x+y-5=0.
综上可知,所求直线的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
27.线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是________.
【答案】eq \f(3\r(2),4)
【解析】先将2x+2y+1=0化为x+y+eq \f(1,2)=0,则两平行线间的距离d=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2-\f(1,2))),\r(2))=eq \f(3\r(2),4).
28.过点作圆的切线有两条,则的取值范围是________
【答案】
【解析】表示一个圆,,又由过点作圆的切线有两条,得:P在圆外,所以,解得:或.综上所述:.所以的取值范围是.
29.在△ABC中,A(3,3),B(2,―2),C(―7,1),求∠A的平分线AD所在直线的方程.
【答案】
【解析】 由角平分线的性质得,
∴x―5y+12=5x―y―12或x―5y+12=y―5x+12,即y=―x+6或y=x.
但结合图形(如图),可知kAC<kAD<kAB,即,
∴y=-x+6不合题意,故舍去.
故所求∠A的平分线AD所在直线的方程为y=x.
30、 a为何值时,(1)直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:(3a-1)x-ay-1=0平行?
(2)直线l3:2x+ay=2与直线l4:ax+2y=1垂直?
【答案】(1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2.
②当a≠0时,l1:y=-eq \f(1,2a)x+eq \f(1,2a),l2:y=eq \f(3a-1,a)x-eq \f(1,a),直线l1的斜率为k1=-eq \f(1,2a),直线l2的斜率为k2=eq \f(3a-1,a),要使两直线平行,必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a)=\f(3a-1,a),,\f(1,2a)≠-\f(1,a),))解得a=eq \f(1,6).
综合①②可得当a=0或a=eq \f(1,6)时,两直线平行.
(2)方法一 ①当a=0时,直线l3的斜率不存在,直线l3:x-1=0,直线l4:y-eq \f(1,2)=0,此时,l3⊥l4.
②当a≠0时,直线l3:y=-eq \f(2,a)x+eq \f(2,a)与直线l4:y=-eq \f(a,2)x+eq \f(1,2),直线l3的斜率为k3=-eq \f(2,a),直线l4的斜率为k4=-eq \f(a,2),要使两直线垂直,必须k3·k4=-1,即-eq \f(2,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(a,2)))=-1,不存在实数a使得方程成立.
综合①②可得当a=0时,两直线垂直.
方法二 要使直线l3:2x+ay=2和直线l4:ax+2y=1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2+B1B2=0,即2a+2a=0,解得a=0,所以,当a=0时,两直线垂直.
31.已知直线经过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分,求直线的方程.
【解析】(1)①直线的斜率不存在时,显然成立,直线方程为.
②当直线斜率存在时,设直线方程为,
由原点到直线的距离为2得,解得,
故直线的方程为,即,
综上,所求直线方程为或.
(2)设直线夹在直线,之间的线段为(在上,在上),
、的坐标分别设为、,因为被点平分,所以,,
于是,由于在上,在上,即,
解得,,即的坐标是,
故直线的方程是,即.
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