江苏省徐州市科技中学九年级2023-2024学年上学期数学期中考试模拟试题

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1. 已知是一元二次方程的一个根，则是（ ）
A. B. 3C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入一元二次方程得出关于m的方程，然后求出m的值即可．
【详解】解：把代入一元二次方程得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答的关键是熟知一元二次方程解的定义列出关于m的方程．
2. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即且，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：与都对，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4. 如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（ ）

A. 20°B. C. 30°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，利用垂径定理得到，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵的度数为，
∴，
∵半径，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
5. 若三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式可得二次函数的开口向下，对称轴为直线，再由，，离对称轴的远近即可得到答案．
【详解】解：二次函数，
，二次函数的开口向下，对称轴为直线，
由，，离对称轴的远近可得，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
6. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A. y=（x﹣4）2+7B. y=（x+4）2+7C. y=（x﹣4）2﹣25D. y=（x+4）2﹣25
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【详解】y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=（x-4）2-25．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
7. 如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆， E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（ ）

A. 2B. 3C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作关于直线的对称点F，连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，过点D作关于直线的对称点F，

连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，
因为四边形是矩形，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为4，
故选∶C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．
8. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故④错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，Δ与0的大小关系，本题属于中等题型．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共8题）
9. 若关于的方程是一元二次方程，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10. 用一块长、宽的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为x，则可列出方程_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设小正方形边长为，则这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法列出方程即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．
11. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】由正五边形的性质可知是等腰三角形，根据五边形的内角和求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：在正五边形中，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形内角的度数．
12. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则该圆锥的母线长，底面圆的半径，扇形的圆心角________°．

【答案】150
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于θ的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为150．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长
13. 已知抛物线，则这条抛物线的对称轴是直线_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴为直线即可求解．
【详解】解：由题意可知：的对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的对称轴，熟练掌握其对称轴为直线即可求解．
14. 把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
15. 如图，将一段抛物线记为，它与轴交于点和点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点．若直线与共有3个不同的交点，则的取值范围是__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质求得的坐标，再利用旋转的性质得到的坐标，画出图形，将直线的解析式代入二次函数解析式中，利用找出临界值，结合图形即可解答．
【详解】解：当时，，解得，
，
将绕点旋转得，将绕点旋转得，
，
；
，
当直线与共有3个不同的交点，直线的范围如图所示：

将代入，可得，
，
解得；
将代入，可得，
，
解得，
结合图形，可得当时，直线与共有3个不同的交点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与几何变换以及根的判别式，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
16. 如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】取点，连接交于点，连接，取的中点，连接．因为、，所以，所以当最小时，、最小，运动到时，最小，由此即可解决问题．
【详解】解：取点，连接交于点，连接，取的中点，连接，此时最小．
设点的坐标为，则，
，，点是的中点，
，，
．
当运动到时，最小，
此时的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、完全平方公式、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是根据完全平方公式找出最小时点的坐标并确定当最小时点的位置．
三、解答题（共8题，共92分）
17. 用适当的方法解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】17. ，
18. ，
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）方程整理后利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：方程整理得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
18. 已知二次函数，它的图象顶点为，并且与轴交于点．

（1）直接写出的坐标．
（2）画出这个二次函数的图象．
（3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．
（4）若直线也经过两点，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）作图见详解 （3）当时，函数值的取值范围
（4）当或时，
【解析】
【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式可求出顶点坐标，令可求出与纵轴的交点，由此即可求解；
（2）根据题意分别求出二次函数与横轴的交点，顶点坐标，连线即可求解；
（3）根据自变量的取值范围求对应的函数值，由此即可求解；
（4）运用待定系数法求出直线的解析式，图形结合分析即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数化为顶点式得，，
∴二次函数的顶点坐标为，
∴，
∵二次函数与轴交于点，
∴令，则，
∴．
【小问2详解】
解：设二次函数与横轴交于点（点在点的左边），
令，则，解得，，，
∴，，且，，
∴作图如下，
【小问3详解】
解：二次函数，
当时，；当时，；
∵二次函数的对称轴为，且，
∴当时，；
∴当时，函数值的取值范围．
小问4详解】
解：已知，，直线也经过两点，
∴，解得，，
∴过两点的直线的解析式为，如图所示，

∴当时，；当时，；
∴当或时，．
【点睛】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的综合，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求一次函数解析式，图形结合分析是解题的关键．
19. (列方程解应用题)某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠长为的墙，另三边用木栏围城，木栏长为．如果要围成一个面积为鸡场，鸡场的长与宽各为多少?

【答案】方案：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为
【解析】
【分析】设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据长方形的面积公式列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
依题意，得，
整理得，，
解得，
当时，（不合题意，舍去）；
当时，．
所以，鸡场的面积能围到．
设计方案：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，在中，，是圆内的两条弦且，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理计算的度数．
【详解】解：∵，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交AB的延长线于F，连．

（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可；
（2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
是的切线，
，
为的中点，
，
，
，，
，
，
与相切；
【小问2详解】
解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【点睛】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．
22. 如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点
在该抛物线上，求
的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）将坐标代入解析式求出的值，即可确定出解析式；
（2）将坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出坐标，过作垂直于轴，，求出即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
将代入抛物线解析式得：，则抛物线解析式为
【小问2详解】
过作轴，
将代入抛物线解析式得：，即，
则．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23. 某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
（1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？
【答案】（1）平均每年的增长率为；
（2）当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．
【解析】
【分析】（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，
由题意，得：，
解得：，（舍去）．
答：平均每年的增长率为；
【小问2详解】
设每千克的平均销售价为元，由题意得：
，
，
当时，取得最大值为2450．
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点

（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
（2）若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．设点的横坐标为．
①求线段的最大值；
②时，求值；
【答案】（1），顶点坐标为
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入中得一个三元一次方程组，解这个方程组求出a、b、c的值即可得二次函数的表达式，再将一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标．
（2）①设直线的表达式为，将B、C两点的坐标代入中求得m、n的值，即可知的表达式．由P点的横坐标为t，可得P点的坐标为，M点的坐标为，用含有t的代数式表示出的长，再求出最大值即可．
②用含有t的代数式表示出和的长，由和等高，且，可得，即可求出t的值．
【小问1详解】
（1）将，，代入，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
，
∴二次函数图像的顶点坐标为.
【小问2详解】
①设直线表达式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为．
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
∴线段的最大值为．
②∵点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
．
和等高，，
，即，
解得：（不合题意，舍去），
∴当时，的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数及几何图形的综合运用，综合性较强，难度较大．熟练掌握用待定系数法求函数表达式及数形结合法是解题的关键．