2023-2024学年重庆一中八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年重庆一中八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3的倒数是( )
A. −3B. 13C. −13D. 3
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知xA. x+52yC. x3>y3D. −2x<−2y
4.估计2 3×(2− 13)的值应在( )
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
5.我国数学名著《算法统宗》中有一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，若大和尚每人分3个，小和尚3人1个，正好分完．问大、小和尚各多少人？设大和尚x人，小和尚y人，依题意列方程组( )
A. x+y=1003x+y=100B. x+y=1003x+13y=100
C. x+y=10013x+y=100D. x+y=10013x+3y=100
6.下列说法正确的是( )
A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线重合
B. 三角形的任意两边之差小于第三边
C. 若|a|=|b|，则a=b
D. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应线段平行且相等
7.A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路线从A地匀速驶向B地.甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示.根据图中的信息，下列说法不正确的是( )
A. 乙先出发1h后，甲才出发
B. 甲的速度是40km/h
C. 乙出发1.5h后与甲相遇
D. 当甲、乙相距10km时，t=98或158
8.一次函数l1：y=kx−b与l2:y=bkx+k在同一平面直角坐标系内的图象可能为( )
A. B.
C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，动点P从A1(1,0)出发，沿着A1(1,0)→A2(2,0)→A3(2,1)→A4(1,1)→A5(1,2)→A6(3,2)→A7(3,4)→A8(1,4)→A9(1,6)→A10(4,6)→⋯的路线运动，按此规律，则点P运动到A47时坐标为( )
A. (13,156)
B. (1,156)
C. (1,144)
D. (13,144)
10.有依次排列的2个整式：a−1，a+1，对任意相邻的2个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这2个整式之间，由此产生第1个整式串：a−1，2，a+1；将第1个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第2个整式串：a−1，3−a，2，a−1，a+1.以此类推，通过实际操作，得到以下结论：
(1)第4个整式串共有17个整式；
(2)第10个整式串中，所有整式的和为2a+22.
(3)第2025个整式串中，从左往右第二个整式为2026−2024a.
(4)第n个整式串比第(n−1)个整式串多2n−1个整式.
以上结论中正确的有个.( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：(13)−2+(π−3)0=______.
12.函数y= x+2x−1中自变量x的取值范围是______.
13.如图，已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组y=ax+by=kx的解是______.
14.若将多项式2x3−x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为______.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，E是线段AD上一点，连接CE，在平面内将线段CE绕点E逆时针旋转80∘得到线段EF，连接BF、CF，则∠CBF的度数为______.
16.若关于x的不等式组2x>x+24x−117.如图，长方形ABCD中，BC=10，E是线段AB上一点，连接CE，将△BCE沿直线CE翻折至△BCE所在平面内得到△HCE，过点H作HM⊥AD，垂足为M.若DM=4AM，则HE=______.
18.若一个四位正整数满足个位数字与千位数字相同，十位数字与百位数字相同，我们称这个四位正整数为“双同数”.将“双同数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双同数m′，记F(m)=2m′−2m891，则计算F(4884)=______；若两个双同数p=abba−(1≤a三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
把下列各式因式分解：
(1)−3ab3+6a2b2−3a3b；
(2)x2−y2−ax+ay.
20.(本小题10分)
解不等式(组)：
(1)x−13≥x−32+1；
(2)5x−1>3(x−1)3x−2≤2x+1.
21.(本小题10分)
如图，已知AB//CE，AD平分∠BAC，交CE于点D.
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图，过点C作AD的垂线，交AD于点F，交AB于点G；(保留作图痕迹，不写作法和结论)
(2)在(1)所作图形中，求证：CD=AG.(补全证明过程)
证明：∵AD平分∠BAC，
∴______.
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=∠GFA=90∘，
在△AFC和△AFG中，
∠BAD=∠CAD ∠CFA=∠GFA，( )
∴△AFC≌△AFG(ASA)，
∴AC=AG.
∵AB//CE，
∴______.
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴______，
∴CD=AG.
22.(本小题10分)
春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动.为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩(百分制，单位：分)进行整理、描述和分析(学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格80≤x<85，良好85≤x<95，优秀95≤x≤100)，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98.
八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：
86，86，86，90，94.
抽取的七、八年级学生测试成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，m=______；
(2)根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可).
(3)如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数.
23.(本小题10分)
如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC=4.点D为AB的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→C方向运动至点C处停止，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q.设点P运动的路程为x，点P、Q的距离为y.
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，若直线y=14x+t与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围.
24.(本小题10分)
重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡“的美誉.已知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元.
(1)请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价.
(2)某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的32，在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元，每件麻辣萝卜干的售价为42元.为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝(此样品不再销售给顾客).若剩下的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y= 3x+9分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点C(9 32,0).
(1)求直线BC的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出点M坐标及CE+EF的最小值.
(3)如图3，在(2)的条件下，将点M沿着射线OB方向平移2个单位得到点M′，将△BOC沿着射线MA方向平移2个单位得到△B′O′C′，若点Q是直线AB上的一个动点，当△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标.
26.(本小题10分)
如图，△ABC中，在平面内将线段AC绕点A逆时针旋转90∘得到线段AD，过点D作DE⊥BC，分别交BC、AC于点E、F，连接AE.
(1)如图1，若∠EAD=120∘，AD=6 3，AE=2 3.求ED的长度.
(2)如图2，若∠ABC+∠EAC=45∘，求证：BC=2CE+ 2AE.
(3)如图3，在(2)问的条件下，若∠BAC=150∘，点P在射线BC上运动，当AP+ 32BP取得最小值为4+2 3时，在平面内将△APE绕点B逆时针旋转α(0<α<180)度得到△A′P′E′，当点P′恰好在线段AB上时，请直接写出△A′PE的面积的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为3×13=1，
所以3的倒数是13.
故选：B.
根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵x∴x+5B、∵x∴2x<2y，故本选项不符合题意；
C、∵x∴x3D、∵x∴−2x>−2y，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据不等式的性质分析判断．
本题主要考查不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】B
【解析】解：2 3×(2− 13)
=2 3×2−2 3× 13
=4 3−2，
∵36<48<49，
∴6< 48<7，
∴6<4 3<7，
∴4<4 3−2<5，
∴估计2 3×(2− 13)的值应在4和5之间，
故选：B.
先计算二次根式的乘法，再算减法，然后估算出 48的值的范围，从而估算出 48−2的值的范围，即可解答．
本题考查了无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
x+y=1003x+13y=100，
故选：B.
根据有100个和尚，可得到x+y=100；根据大和尚每人分3个，小和尚3人1个，正好分完100个馒头可以得到3x+13y=100，然后即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
6.【答案】B
【解析】解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高线重合，故A错误，不符合题意；
三角形的任意两边之差小于第三边，故B正确，符合题意；
若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误，不符合题意；
一个图形和它经过平移所得图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上，故D错误，不符合题意；
故选：B.
根据等腰三角形的性质、三角形三边关系、绝对值性质、平移的性质判断求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系、绝对值性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系、绝对值性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由图象可知，乙先出发1h后，甲才出发，
故A正确，不符合题意；
甲的速度为803−1=40(km/h)，
故B正确，不符合题意；
设甲离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系为s=kt+b，
把(1,0)，(3,80)代入解析式得：k+b=03k+b=80，
解得k=40b=−40，
∴甲离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系为s=40t−40；
设乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系为s=mt，
把(3,40)代入解析式得：3t=40，
解得t=403，
∴乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系为s=403t，
令40t−40=403t，
解得t=1.5，
∴乙出发1.5h后与甲相遇，
故C正确，不符合题意；
设乙出发t小时，两车相距10km，
根据题意得：|40t−40−403t|=10或403t=10，
解得t=98或158或34，
∴当t=98或158或34时，甲、乙相距10km，
故D错误，符合题意．
故选：D.
由函数图象可以判断A，B；用待定系数法求出甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系，然后求出交点坐标即可判断C；令|s甲−s乙|=10或403t=10，解方程即可判断D.
本题考查一次函数的应用，关键是由函数图象读取信息，列出函数解析式．
8.【答案】B
【解析】解：A、由直线l1可知k>0，b<0，由直线l2可知k>0，b>0，故本选项错误；
B、由直线l1可知k<0，b<0，由直线l2可知k<0，b<0，故本选项正确；
C、由直线l1可知k<0，b<0，由直线l2可知k>0，b<0，故本选项错误；
D、由直线l1可知k>0，b<0，由直线l2可知k<0，b>0，故本选项错误；
故选：B.
先看直线l1，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
此题考查了一次函数图象与系数的关系，关键是掌握当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9.【答案】D
【解析】解：由题知，
∵A4(1,1)，A8(1,4)，A12(1,9)，…，
∴A4n(1,n2)(n为正整数).
当n=12时，
A48(1,144).
再结合点A47和点A48的位置可知，
点A47在点A48的右边12个单位长度，
∴1+12=13，
故点A47的坐标为(13,144).
故选：D.
观察动点P运动后对应点的坐标变化，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，抓住点P运动过程中的特殊位置点的坐标变化规律是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：第1个整式串：a−1，2，a+1，
第2个整式串：a−1，3−a，2，a−1，a+1，
第3个整式串：a−1，4−2a，3−a，a+1，2，a−3，a−1，2，a+1，
第4个整式串：a−1，5−3a，4−2a，a−1，3−a，2a−2，a+1，1−a，2，a−5，a−3，2，a−1，1−a，2，a−1，a+1，
故结论①正确；
②第1次操作后所有的整式的和为2a+2，第2次操作后所有的整式的和为2a+4，第3次操作后所有的整式的和为2a+6，第4次操作后所有的整式的和为2a+8，……，依照规律可得第n次操作后，所有的整式的和为2a+2n，所以第10次操作后，所有的整式的和为2a+20，
故结论②错误；
第1个整式串，从左往右第二个整式为：2，第2个整式串，从左往右第二个整式为：3−a，第3个整式串，从左往右第二个整式为：4−2a，第4个整式串，从左往右第二个整式为：5−3a，，依照规律可得第n次操作后，从左往右第二个整式为n+1−(n−1)a，所以第2025次操作后，从左往右第二个整式为2026−2024a，
故结论③正确；
④观察可得：第2个整式串比第1个整式串多2个整式，第3个整式串比第2个整式串多4个整式，第4个整式串比第3个整式串多8个整式，……，依照规律可得第n个整式串比第(n−1)个整式串多2n−1个整式．
故结论④正确；
故选：C.
根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算即可解答．
本题考查了整式的加减等知识点，解题的关键是对题目中整式串的规律进行归纳总结，即可选出正确结论．
11.【答案】10
【解析】解：原式=9+1=10，
故答案为：10.
根据负整数指数幂法则，有理数的加减混合运算法则和零指数幂法则进行解题即可．
本题考查负整数指数幂，有理数的加减混合运算和零指数幂，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
12.【答案】x≥−2且x≠1
【解析】解：由题意得，x+2≥0且x−1≠0，
解得x≥−2且x≠1.
故答案为：x≥−2且x≠1.
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】x=−4y=−2
【解析】解：根据题意可知，二元一次方程组y=ax+by=kx的解就是一次函数y=ax+b和正比例y=kx的图象的交点P的坐标，由一次函数y=ax+b和正比例y=kx的图象，得
二元一次方程组y=ax+by=kx的解是x=−4y=−2.
故答案为：x=−4y=−2.
根据一次函数y=ax+b和正比例y=kx的图象可知，点P就是一次函数y=ax+b和正比例y=kx的交点，即二元一次方程组y=ax+by=kx的解．
此题很简单，解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数y=ax+b和正比例y=kx的图象交点P之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．
14.【答案】3
【解析】解：∵多项式2x3−x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，
∴当x=−1时，2x3−x2+m=0，
即2×(−1)3−(−1)2+m=0，
解得m=3.
故答案为：3.
由多项式2x3−x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，可得当x=−1时，多项式=0，从而得出一个关于m的方程式，解得即可．
本题主要考查了因式分解和多项式的乘法，解决本题主要的关键是列出关于m的方程．
15.【答案】40∘
【解析】解：连接BE，如图，
∵线段CE绕点E逆时针旋转80∘得到线段EF，
∴EF=EC，∠CEF=80∘，
∴∠EFC+ECF=180∘−80∘=100∘，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵EF=EC=EB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠EFB+∠ECB=∠EBF+∠EBC=∠CBF，
∵∠CBF+∠BFC+∠BCF=180∘，
∴∠CBF+∠CBF+100∘=180∘，
解得∠CBF=40∘.
故答案为：40∘.
连接BE，如图，先根据旋转的性质得到EF=EC，∠CEF=80∘，则利用三角形内角和定理得到∠EFC+ECF=100∘，再根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，则EB=EC，所以∠EBC=∠ECB，同理可得∠EFB=∠EBF，则∠EFB+∠ECB=∠CBF，然后利用三角形内角和定理可求出∠CBF的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
16.【答案】51
【解析】解：{2x>x+2①4x−1由①得，x>2；
由②得，x<1+a4，
∵不等式组2x>x+24x−1∴这两个整数解为3，4，
∴4<1+a4≤5，
∴15∵关于m的一次函数y=m+a−18的图象不经过第二象限，
∴a−18≤0，
∴a≤18，
∴15∴整数a的值为16，17，18，
∴整数a的值之和=16+17+18=51.
故答案为：51.
求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有两个整数解，结合y=m+a−18的图象不经过第二象限，求出a的取值范围，进而得出结论．
本题考查的是一次函数的性质及一元一次不等式组的整数解，根据题意得出a的取值范围是解题的关键．
17.【答案】103
【解析】解：过点H作BC的平行线，交AB于点F，交CD于点G，
由题意可得，BF=CG，FG=BC=AD=10，FH=AM，HG=DM，
∵DM=4AM，
∴FH=AM=2，HG=DM=8.
由翻折可得，CH=BC=10，BE=EH，
在Rt△CHG中，由勾股定理得，CG= CH2−HG2=6，
∴BF=6，
设BE=EH=x，则EF=BF−BE=6−x，
在Rt△EFH中，由勾股定理得，EH2=EF2+FH2，
即x2=(6−x)2+22，
解得x=103，
∴HE=103.
故答案为：103.
过点H作BC的平行线，交AB于点F，交CD于点G，可得BF=CG，FG=BC=AD=10，FH=AM=2，HG=DM=8，由翻折可得，CH=BC=10，BE=EH，在Rt△CHG中，由勾股定理可得CG= CH2−HG2=6，则BF=6，设BE=EH=x，则EF=6−x，在Rt△EFH中，由勾股定理得可得x2=(6−x)2+22，求出x的值即可．
本题考查翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
18.【答案】8 4664
【解析】解：∵m=4884，
∴m′=8448.
∴F(4884)=2×8448−2×4884891=8；
由题意得：p=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，q=1000c+100d+10d+c=1001c+110d，
∴p′=1000b+100a+10a+b=1001b+110a，q′=1000d+100c+10c+d=1001d+110c.
∴F(p)=2×(1001b+110a)−2×(1001a+110b)891=2b−2a，F(q)=2d−2c.
∴2b−2a16=b−a8.
∵F(p)能被16整除，
∴b−a=8.
∵1≤a∴a=1，b=9.
∵2F(p)+3F(q)−(a+2b−9c+4d)=37，
∴2(2b−2a)+3(2d−2c)−a−2b+9c−4d=37.
∴4b−4a+6d−6c−a−2b+9c−4d=37.
∴−5a+2b+3c+2d=37.
∴−5+18+3c+2d=37.
∴3c+2d=24.
∵1≤c∴c最大取4，
∴d=6.
∴q的最大值为4664.
m=4884，则m′=8448，根据F(m)=2m′−2m891，可得F(4884)的值；分别求得F(p)和F(q)，根据F(p)能被16整除，可得a和b的关系，根据2F(p)+3F(q)−(a+2b−9c+4d)=37，结合a和b的值可得q的最大值．
本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据题意判断出各个数位上的数字是解决本题的难点．
19.【答案】解：(1)原式=−3ab(b2−2ab+a2 )
=−3ab(b−a)2；
(2)原式=(x2−y2)+(−ax+ay)
=(x+y)(x−y)−a(x−y)
=(x−y)(x+y−a).
【解析】(1)先提取公因式−3ab，然后利用完全平方公式进行因式分解；
(2)首先分组，进而利用公式法分解因式得出即可．
本题考查了用提公因式法，公式法和分组法进行因式分解，注意先提公因式，再利用公式法分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20.【答案】解：(1)x−13≥x−32+1，
去分母得，2(x−1)≥3(x−3)+6，
去括号得，2x−2≥3x−9+6，
移项得，2x−3x≥−9+6+2，
合并同类项得，−x≥−1，
x的系数化为1得，x≤1；
(2){5x−1>3(x−1)①3x−2⩽2x+1②，
由①得，x>−1；
由②得，x≤3，
故不等式组的解集为−1【解析】(1)先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的规律是解题的关键．
21.【答案】∠CAD=∠BAD∠DAB=∠CDACD=AC
【解析】(1)解：如图，CG为所作；
(2)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=∠GFA=90∘，
在△AFC和△AFG中，
∠BAD=∠CADAF=AF∠CFA=∠GFA，
∴△AFC≌△AFG(ASA)，
∴AC=AG.
∵AB//CE，
∴∠DAB=∠CDA，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴CD=AC，
∴CD=AG.
故答案为：∠CAD=∠BAD，AF=AF，∠DAB=∠CDA，CD=AC.
(1)利用基本作图，过C点作AD的垂线即可；
(2)先证明△AFC≌△AFG得到AC=AG.再证明∠CDA=∠CAD得到CD=AC，然后利用等量代换CD=AG.
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．
22.【答案】89 88 20
【解析】解：(1)七年级10名学生成绩中出现次数最多的是89分，共出现3次，因此众数是a=89，
∵八年级10名学生的成绩中“良好”等级所占百分比为510×100%=50%，“优秀”等级所占百分为30%，
∴“合格”等级所占百分比100%−50%−30%=20%，
∴m=20，合格的人数为10×20%=2人，
∴中位数是b=86+902=88，
故答案为：89，88，20；
(2)七年级的学生测试成绩更好，
理由：七年级学生成绩的中位数，众数都比八年级高；
(3)3500×410+2800×50%=1400+1400=2800(人)，
答：估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数为2800人．
(1)根据中位数、众数和百分比的定义进行计算即可；
(2)从中位数、众数的比较得出结论；
(3)分别用七、八年级学生数乘成绩为良好的所占的百分比即可．
本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)∵∠BAC=120∘，AB=AC=4.
∴∠B=∠C=30∘，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=2，
当点P在DA上运动时，0≤x≤2，
由题意得PD=x，
∴BP=BD+PD=x+2，
∵∠B=30∘，PQ⊥BC
∴PQ=12BP=12(x+2)=12x+1，
∴y=12x+1(0≤x≤2)；
当点P在BC上运动时，2由题意得AD+AP=x，
∴PC=AD+AC−x=2+4=6−x，
∵∠C=30∘，PQ⊥BC
∴PQ=12CP=12(6−x)=−12x+3，
∴y=−12x+3(2综上，y=12x+1(0≤x≤2)−12x+3(2(2)图象如图所示：
该函数的性质：图象有最大值为2；
(3)如图4，
由函数图象，若直线y=14x+t与函数图象有2个交点，则直线y=14x+t在直线l1与l2之间，
直线l1过点(0,1)，则t=1，
直线l2过点(2,2)，则14×2+t=2，解得t=32，
∴t的取值范围为1【解析】(1)分两种情况讨论，根据含30∘角的直角三角形的性质即可求解；
(2)根据题意画出图象即可解答；
(3)结合函数图象即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了含30∘角的直角三角形的性质，一次函数的图象和性质等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)设每件鲜脆榨菜丝的进价为x元，每件麻辣萝卜干的进价为y元，
根据题意得：3x+4y=2405x+2y=260，
解得x=40y=30，
答：每件鲜脆榨菜丝的进价为40元，每件麻辣萝卜干的进价为30元；
(2)设该特产店购进鲜脆榨菜丝m件，则购进麻辣萝卜干(150−m)件，获得利润为w元，
根据题意得：40m+30(150−m)≤5600m≥32(150−m)，
解得90≤m≤110，
又w=(50−40)(m−1)+(42−30)(150−m−1)=10(m−1)+12(149−m)=10m−10+1788−12m=−2m+1778，
∵−2<0，
∴当m=90时，w最大，最大值为1598，
∴当购进鲜脆榨菜丝90件，购进麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为1598元．
【解析】(1)设每件鲜脆榨菜丝的进价为x元，每件麻辣萝卜干的进价为y元，根据“3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元”列出方程组，解方程组即可；
(2)设该特产店购进鲜脆榨菜丝m件，则购进麻辣萝卜干(150−m)件，获得利润为w元，先根据购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的费用不超过5600元，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的32，列出不等式组，求出自变量的取值范围，再根据特产店的利润=销售脆榨菜丝和麻辣萝卜干利润之和列出函数解析式，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数、一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组．
25.【答案】解：(1)∵直线y= 3x+9分别交x轴、y轴于点A、点B.
∴令x=0，得y=9.
∴点B的坐标为(0,9).
设直线BC的解析式为y=kx+b.
代入点B(0,9)和点C(9 32,0).
得0×k+b=99 32k+b=0.
解得k=−2 33b=9.
∴直线BC的解析式为y=−2 33x+9.
(2)过点M分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴和y轴于点G和点H.
∵点B(0,9)和点C(9 32,0).
∴OB=9，OC=9 32.
∵△ABM与△ACM的面积比为4：5.
∴BMMC=45.
根据平行线成比例线段可得：BHHO=BMMC=45.
即OB−OHOH=45.
解得OH=5.
同理可得OG=2 3.
∴点M的坐标为(2 3,5).
∵点A是直线y= 3x+9与x轴的交点，
∴令y=0，解得x=−3 3.
∴点A的坐标为(−3 3,0).
又∵点M(2 3,5)，点C(9 32,0).
∴直线AB的斜率KAB= 3，直线AM的斜率KAM=5−02 3−(−3 3)= 33，
AC=9 32−(−3 3)=15 32.
∴∠BAC=60∘，∠MAC=30∘.
∴∠BAE=∠MAC.
在射线AB上取点C′，使得AC′=AC，连接C′E，过点C′作x轴的垂线，交x轴于点I，
在△C′AE和△CAE中．
AC′=AC∠C′AE=∠AE=AECAE.
∴△C′AE≌△CAE(SAS).
∴C′E=CE，C′A=CA.
由三角函数可得，sin∠BAC=C′IC′A=C′I15 32=sin60∘= 32.
解得：C′I=454.
∴CE+EF=C′E+EF≥C′I=454.
故点M的坐标为(2 3,5)；CE+EF的最小值为454.
(3)设B′O′交x轴于点J，O′C交y轴于点K.
由平移的性质可得OO′//AM，B′O′//BO，O′C′//OC，M′M//OB.
∴∠OO′K=60∘，点M′的坐标为(2 3,7).
由三角函数可得，sin∠OO′K=OKOO′=OK2=sin60∘=12.
cs∠OO′K=O′KOO′=O′K2=cs60∘= 32.
解得：OK=1，O′K= 3.
∴点O′的坐标为：(− 3,−1).
∵点Q在直线AB上，设Q点的坐标为(t, 3t+9).
由两点间距离公式：
M′Q= (t−2 3)2+( 3t+9−7)2= 4t2+16.
QO′= [t−(− 3)]2+[ 3t+9−(−1)]2= 4t2+22 3t+103.
M′O′= [2 3−(− 3)]2+[7−(−1)]2= 91.
当M′Q=QO′时， 4t2+16= 4t2+22 3t+103.
解得t=−29 322.
当M′Q=M′O′时， 4t2+16= 91.
解得t1=5 32，t2=−5 32.
故点Q的横坐标为：5 32或−5 32或−29 322.
【解析】(1)通过直线AB的解析式可求出点B的坐标，已知点C的坐标，用待定系数法可求出直线BC的解析式．
(2)△ABM与△ACM的高相等，底边之比等于面积之比，BMMC=45，通过成比例线段可求出点M的坐标，经计算可得射线AM是∠BAC的角平分线，在射线AB上截取AC′=AC，点C′到x轴的距离，即为CE+EF的最小值．
(3)由平移的性质可知直线OO′和直线AM斜率相同，可求出点O′和点M′的坐标，点Q在直线AB上，设点Q的坐标为(t, 3t+9)，当QM′=QO′或QM′=M′O时，△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形，用两点间的距离公式，即可求解．
本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行线成比例线段，点到直线的距离垂线段最短，平移的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的判定条件，解题的关键是：(1)会用待定系数法求一次函数的解析式；(2)能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；(3)熟悉平移的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的判定条件，能够用两点间的距离公式列式求解．
26.【答案】(1)解：如图1，过点D作DG⊥AE交延长线于点G，
∵∠DAE=120∘，
∴∠DAG=60∘，
∵AD=6 3，
∴AG=12AD=3 3，
∴DG= AD2−AG2=9，
∵AE=2 3，
∴GE=5 3，
在Rt△DEG中，DE= GD2+GE2=2 39；
(2)证明：如图2，在DE上截取DM=EC，过点A作AN⊥AC交BC于点N，
由旋转可知，AD=AC，∠DAC=90∘，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90∘，
∴∠D=∠C，
∴△ADM≌△ACE(SAS)，
∴AM=AE，∠DAM=∠EAC，
∵∠DAM+∠MAC=90∘，
∴∠EAC+∠CAM=90∘，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴∠AEM=45∘，
∴∠AEC=45∘，
∵∠NAE=90∘，
∴∠ANE=45∘，
∴AN=AE，∠ANB=∠AEC，
∵∠ABC+∠EAC=45∘，∠ABN+∠BAN=45∘，
∴∠BAN=∠CAE，
∴△ABN≌△ACE(ASA)，
∴BN=EC，
∴BC=2CE+ 2AE；
(3)解：如图3，将BC绕点B旋转60∘，过点A作AQ⊥BQ交BC于点P，
∵∠PBQ=60∘，∠BQP=90∘，
∴PQ=BP⋅sinn60∘= 32BP，
∴AP+ 32BP=AQ，此时AP+ 32BP取得最小值，即AQ=4+2 3，
∵∠BAC=150∘，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=15∘，
∵点P′恰好在线段AB，
∴旋转角α=15∘，
∵∠APC=∠BPQ=30∘，
∴AP=BP，
∴AP+PQ=BP+PQ=BP+ 32BP=4+2 3，
∴BP=AP=4，
∵∠APE=30∘，
∴AN=2，
∴PN=2 3，
∵∠AEP=45∘，
∴NE=AN=2，
∴PE=2 3+2，
∵NB=4+2 3，AN=2，
∴AB= AN2+BN2=2 6+2 2，
∵AB=A′B，
∴A′B=2 6+2 2，
∵∠A′BM=30∘，
∴A′M= 6+ 2，
∴△A′PE的面积=12×(2+2 3)×( 6+ 2)=4 2+2 6.
【解析】(1)过点D作DG⊥AE交延长线于点G，则∠DAG=60∘，在Rt△DEG中，DE= GD2+GE2=2 39；
(2)在DE上截取DM=EC，过点A作AN⊥AC交BC于点N，证明△ADM≌△ACE(SAS)，可知△AEM是等腰直角三角形，再证明△ABN≌△ACE(ASA)，解得BN=EC，则BC=2CE+ 2AE；
(3)将BC绕点B旋转60∘，过点A作AQ⊥BQ交BC于点P，则AP+ 32BP=AQ，此时AP+ 32BP取得最小值，即AQ=4+2 3，根据题意可求旋转角α=15∘，再由AP+PQ=BP+PQ=BP+ 32BP=4+2 3，求出BP=AP=4，根据直角三角形的性质分别求出PE=2 3+2，A′M= 6+ 2，即可求△A′PE的面积=12×(2+2 3)×( 6+ 2)=4 2+2 6.
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
“优秀”等级所占百分比
七
89.4
89
a
30%
八
89.4
b
86
30%