2023-2024学年江苏省南京市学校九年级（下）中考数学模拟试卷01（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市学校九年级（下）中考数学模拟试卷01（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数23的相反数是
( )
A. −23B. 32C. −32D. ±23
2.下列无理数，与3最接近的是( )
A. 6B. 7C. 10D. 11
3.下列运算正确的是( )
A. 2a−a=1B. a3⋅a2=a5C. ab2=ab2D. a24=a6
4.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是
( )
A. a+b<0B. b−a<0C. 2a>2bD. a+25.如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD.若AB=4，BC=8，则∠ABE的正切值为
( )
A. 43B. 45C. 34D. 35
6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= 3x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为2,0,CAAB=12，则k的值是
．( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是 ．
8.使分式1x−5有意义的x的取值范围是 ．
9.计算 8− 92的结果是 ．
10.若a+2b−1=0，则3a+6b的值是 ．
11.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12.如图，在▱ABCD中，CA⊥AB，若∠B=50∘，则∠CAD的度数是 ．
13.二次函数y=x2+3x+n的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 (填一个值即可)
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE=70∘，则∠AOC= 度．
15.如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为 ．
16.已知，▵OA1A2,▵A3A4A5,▵A6A7A8,⋯⋯都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点A2,A3,A5,⋯⋯都在x轴正半轴上，且A2A3=A5A6=A8A9=⋯⋯=1，则点A2023的坐标是 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：1x−1+1÷x2−1x2−2x+1，其中x=3．
18.(本小题8分)
(1)计算： 5−3+12−1− 20+ 3cs30∘
(2)解不等式组：−3x−2≥4−x1+2x3>x−1
19.(本小题8分)
2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？
20.(本小题8分)
随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省级公路B两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人(不考虑其他因素)．
(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________．
(2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．
21.(本小题8分)
香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
某超市销售不同包装(塑料瓶装和玻璃瓶装)的以上三种风味的香醋，小明将该超市1−5月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．

已知1−5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占40%．
(1)求出a，b的值．
(2)售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______mg/100mL，中位数为______mg/100mL．
(3)根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？(写出一条即可)
22.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD//OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD,AD于点F，G，连接DE．

(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD=4时，求EG的长．
23.(本小题8分)
如图，点A的坐标是−3,0，点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，将▵ABC绕着点B逆时针旋转90∘得到△A′BC′．

(1)反比例函数y=kx的图像经过点C′，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图像经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
24.(本小题8分)
如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30∘方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60∘方向上，测得港口C位于B的北偏东45∘方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．

(1)填空：∠AMB= 度，∠BCM= 度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．
25.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB=10cm，BD=4 5cm.动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s.以AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E.设运动时间为ts0
(1)当点M在BD上时，求t的值；
(2)连接BE.设▵PEB的面积为Scm2，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26.(本小题8分)
已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB⌢所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135∘．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且∠APB<120∘，PA=PB，∠APB=2∠C.求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在(2)的条件下，若∠APB=90∘，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD= 2CB−CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
27.(本小题8分)
【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30∘的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作▵ADB和△A′D′C,∠ADB=∠A′D′C=90∘,∠B=∠C=30∘，设AB=2．
【操作探究】
如图1，先将▵ADB和▵A′D′C的边AD、A′D′重合，再将▵A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0∘≤α≤360∘，旋转过程中▵ADB保持不动，连接BC．

(1)当α=60∘时，BC=________；当BC=2 2时，α=________ ∘；
(2)当α=90∘时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取BC的中点F，将▵A′D′C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据互为相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：有理数23的相反数是−23，
故选A
2.【答案】C
【解析】【分析】先比较各个数平方后的结果，进而即可得到答案．
【详解】解：∵32=9，( 6)2=6，( 7)2=7，( 10)2=10，( 11)2=11，
∴与3最接近的是 10，
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、2a−a=a，则此项错误，不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，则此项正确，符合题意；
C、ab2=a2b2，则此项错误，不符合题意；
D、a24=a8，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a<0∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】设BE，AD交于点F，根据矩形的性质以及以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧得到▵BDE≌▵BDC(SSS)，FB=FD，设EF=x，故BF=DF=BE−EF=8−x，在Rt▵EFD中求出x的值，从而得到▵ABF≌▵EDF(SSS)，从而得到∠ABE=∠ADE，即可求得答案．
【详解】解：设BE，AD交于点F，
由题意得BE=BC=8,DE=DC=AB=4，
∴▵BDE≌▵BDC(SSS)，
∴∠EBD=∠CBD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠EBD，
∴FB=FD，
设EF=x，
故BF=DF=BE−EF=8−x，
在Rt▵EFD中，ED2+EF2=FD2，
即16+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴EF=3,DF=BF=5，
∵AF=AD−DF=8−5=3，
∴▵ABF≌▵EDF，
∴∠ABE=∠ADE，
∴tan∠ABE=tan∠ADE=EFED=34．

故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，则CD/​/OA，可得▵BOA∽▵BDC，进而根据已知条件的CD=3，求得直线AB的解析式，将x=3代入，得出点C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥y轴于点D，则CD/​/OA

∴▵BOA∽▵BDC
∴CDAO=BCBA
∵CAAB=12，A2,0
∴BCBA=32
∴CD2=32
解得：CD=3
∵点A2,0在y= 3x+b上，
∴2 3+b=0
解得：b=−2 3
∴直线AB的解析式为y= 3x−2 3
当x=3时，y= 3
即C3, 3
又反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点C
∴k=3 3，
故选：C．
7.【答案】5.5×104
【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数，按要求表示即可．
【详解】解：55000共有5位数，从而用科学记数法表示为5.5×104，
故答案为：5.5×104．
8.【答案】x≠5
【解析】【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即x−5≠0，解得x≠5，
故答案为：x≠5．
9.【答案】 22
【解析】【分析】分别化简 8和 92，再利用法则计算即可．
【详解】解：原式=2 2−32 2= 22；
故答案为： 22．
10.【答案】3
【解析】【分析】根据已知得到a+2b=1，再代值求解即可．
【详解】解：∵a+2b−1=0，
∴a+2b=1，
∴3a+6b=3a+2b=3，
故答案为：3．
11.【答案】m<1
【解析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4m>0，
解得：m<1．
12.【答案】40∘
【解析】【分析】根据平行四边形对边平行可得AD/​/BC，利用平行线的性质可得∠CAD=∠ACB，因此利用直角三角形两个锐角互余求出∠ACB即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90∘，
∵∠B=50∘，
∴∠ACB=90∘−∠B=40∘，
∴∠CAD=∠ACB=40∘，
故答案为：40∘．
13.【答案】−3
【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，
即二元一次方程x2+3x+n=0的根为x1、x2，
由根与系数的关系得：x1+x2=−3，x1⋅x2=n，
∵一次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n<0，
故答案为：−3(答案不唯一)．
14.【答案】140
【解析】【分析】首先根据圆内接四边形的性质得∠B=∠ADE=70∘，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出∠AOC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE=70∘，
∴∠B+∠ADC=180∘，
又∵∠ADE+∠ADC=180∘，
∴∠B=∠ADE=70∘，
∴∠AOC=2∠B=140°.
故答案为：140．
15.【答案】6013
【解析】【分析】根据题意证明▵ABE≌▵BCFSAS，▵EBG∽▵FBC，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90∘，AB=BC，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCFSAS，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90∘，
∴∠BAE+∠ABG=90∘，
∴∠BGE=90∘，
∴∠BGE=∠C，
又∵∠EBG=∠FBC，
∴▵EBG∽▵FBC，
∴BGBC=BEBF，
∵BC=AB=12，CF=BE=5，
∴BF= BC2+CF2= 122+52=13，
∴BG12=513，
∴BG=6013．
故答案为：6013．
16.【答案】2023, 3
【解析】【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：A22,0,A33,0,A55,0,A66,0,A88,0,A99,0,
如图：过A1作A1B⊥x轴，

∵▵OA1A2,
∴OB=cs60∘×OA1=1,A1B=sin60∘×OA1= 3,
∴A11, 3，
同理：A44,− 3,A77, 3,A1010,− 3,
∴点A1的横坐标为1，点A2的横坐标为2，点A3的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴A2023的横坐标为2023，
∵2023÷3=674⋯⋯1，674为偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴A20232023, 3．
故答案为2023, 3．
17.【答案】解：1x−1+1÷x2−1x2−2x+1
=1+x−1x−1⋅(x−1)2x+1x−1
=xx−1⋅x−1x+1
=xx+1．

【解析】【分析】先计算括号内的加法，再计算除法运算得到最简结果，代入数值计算即可．
18.【答案】解：(1) 5−3+12−1− 20+ 3cs30∘
=3− 5+2−2 5+ 3× 32
=5−3 5+32
=132−3 5；
(2)−3x−2≥4−x①1+2x3>x−1②,
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x<4
∴原不等式组的解集为x≤1．

【解析】【分析】(1)先去绝对值，计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
(2)分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
19.【答案】解：设甲型号客车租x辆，乙型号客车租y辆，
由题意得：x+y=15600x+500y=8000,
解得：x=5y=10,
答：甲型号客车租5辆，乙型号客车租10辆．

【解析】【分析】设甲型号客车租x辆，乙型号客车租y辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案．
20.【答案】(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为12，
故答案为：12．
(2)列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有BC，共1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率16．

【解析】【分析】
(1)根据概率公式计算即可；
(2)列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可．
21.【答案】(1)∵1−5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%，
∴售出“偏酸”的香醋的数量为150×40%=60(瓶)．
∴a+42=60，解得a=18．
∵15+b+17+38+a+42=150，即130+b=150，
解得b=20．
综上，a=18,b=20．
(2)售出的玻璃瓶装香醋的数量为20+38+42=100(瓶)．
其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，
∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，
∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为110.9mg/100mL，中位数为89.8mg/100mL，
故答案为：110.9，89.8．
(3)根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋(答案不唯一，合理即可)．

【解析】【分析】(1)根据1−5月份共售出香醋的总量和“偏酸”的香醋占比，可求出a的值，进而求出b的值；
(2)分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答案；
(3)根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一．
22.【答案】(1)证明：四边形OCDE是菱形，理由如下，
∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OC=OD=12AC=12BD，
∵直线CE是线段OD的垂直平分线，
∴CO=CD，EO=ED，
∴CO=CD=OD，即△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠DCO=∠DOC=60∘，∠OCF=∠DCF=12∠OCD=30∘，
∵CD//OE，
∴∠EOD=∠EDO=∠CDO=60∘，
∴▵EOD是等边三角形，
∴CO=CD=EO=ED，
∴四边形OCDE是菱形；
(2)解：∵直线CE是线段OD的垂直平分线，且∠DCF=30∘，
∴DF=12CD=2，CF= 3DF=2 3，
由(1)得四边形OCDE是菱形，
∴EF=CF=2 3，
在Rt▵DGF中，∠GDF=90∘−∠ODC=30∘，
∴GF=DFtan30∘=2× 33=2 33，
∴EG=EF−GF=4 33．

【解析】【分析】(1)证明△COD和▵EOD是等边三角形，即可推出四边形OCDE是菱形；
(2)利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF和CF的长，利用菱形的性质得到EF=CF=2 3，在Rt▵CGF中，解直角三角形求得GF的长，据此求解即可．
23.【答案】(1)解：∵点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，
∴C0,2，OC=BC=2，
由旋转可得：BC′=BC=2，∠CBC′=90∘，
∴C′2,4，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的表达式为y=8x；
(2)如图，过A′作A′H⊥BC于H，
则∠AOB=∠A′HB=90∘，而∠ABA′=90∘，AB=A′B，

∴∠ABO+∠BAO=90∘=∠ABO+∠A′BO，
∴∠BAO=∠A′BH，
∴▵ABO≌▵BA′H，
∴AO=BH=3，OB=A′H=4，
∴OH=4−3=1，
∴A′4,1，
设直线AA′为y=mx+n，
∴−3m+n=04m+n=1，解得：m=17n=37,
∴直线AA′为y=17x+37．

【解析】(1)由点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，可得C0,2，OC=BC=2，由旋转可得：BC′=BC=2，∠CBC′=90∘，可得C′2,4，可得k=2×4=8，从而可得答案；
(2)如图，过A′作A′H⊥BC于H，则∠AOB=∠A′HB=90∘，而∠ABA′=90∘，AB=A′B，证明▵ABO≌▵BA′H，可得AO=BH=3，OB=A′H=4，A′4,1，设直线AA′为y=mx+n，再建立方程组求解即可．
24.【答案】(1)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，
，
∵∠DBM=∠A+∠AMB=30∘+∠AMB=60∘，
∴∠AMB=30∘，
∵AB、CM都是正北方向，
∴AB//CM，
∵∠DBC=45∘，
∴∠BCM=45∘，
故答案为：30，45；
(2)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，
，
由(1)可得：∠A=∠BMA=30∘，
∴BM=AB=20海里，
在Rt▵BEM中，∠EBM=60∘，BM=20海里，
∴EM=BM⋅sin∠EBM=20×sin60∘=20× 32=10 3海里；
∴灯塔M到轮船航线AB的距离为10 3海里；
(3)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，
，
∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，
∴四边形CDEM是矩形，
∴CD=EM=10 3海里，DE=CM，
在Rt▵BEM中，∠EBM=60∘，BM=20海里，
∴BE=BM⋅cs∠EBM=20×cs60∘=20×12=10海里，
∵在Rt△CDB中，∠DBC=45∘，
∴▵CDB是等腰直角三角形，
∴CD=BD=10 3海里，
∴CM=DE=BD−BE=10 3−10=10 3−1海里，
∴港口C与灯塔M的距离为10 3−1海里．

【解析】【分析】(1)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由三角形外角的定义与性质可得∠AMB=30∘，再由平行线的性质可得∠BCM=45∘，即可得解；
(2)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由(1)可得：∠A=∠BMA=30∘，从而得到BM=AB=20海里，再由EM=BM⋅sin∠EBM进行计算即可；
(3)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，证明四边形CDEM是矩形，得到CD=EM=10 3海里，DE=CM，由BE=BM⋅cs∠EBM计算出BE的长度，证明▵CDB是等腰直角三角形，得到CD=BD=10 3海里，即可得到答案．
25.【答案】(1)∵平行四边形APMQ，
∴AQ//PM，AQ=PM，QM//AP，QM=AP
由题意得∶DQ=10−2t,PM=2t,PB=10−t，QM=AP=t，
如下图，点M在BD上时，

∵AQ//PM，QM//AP，，
∴∠DQM=∠DAB=∠MPQ,∠DMQ=∠MBP，
∴▵DQM∽▵MPB，
则DQPM=QMPB,即10−2t2t=t10−t,,
解得：t=103;
(2)如上图，
∵AQ//PM，
∴∠AEP=∠EAQ，
∵四边形ABCD是菱形，
则∠QAE=∠EAP，
∴∠AEP=∠EAP，
∴▵APE为等腰三角形，则PE=AP=t
过点D作DH⊥AB于点H，
则S▵ABD=12×AB⋅DH=12×AO⋅DB
即10DH= 102−2 52×4 5,解得∶DH=8，
则sin∠DAH=DHAD=810=45，
设▵PEB中PB边上的高为h，则
S=12PB⋅h=1210−t⋅sin∠DHA⋅AE=1210−t⋅4t5=−25t2+4t
即：S=−25t−52+10(0∵−25<0，故S有最大值，
当t=5时，S的最大值为10；
(3)存在，理由∶
如下图，过点B作BR⊥PE于点R，

当点B在∠PEC的平分线上时，则
BR=OB=2 5，
在Rt▵PBR中，
sin∠EPB=sin∠DAB=45=BRPB=2 510−t，
解得：t=20−5 52.

【解析】【分析】(1)证明▵DQM∽▵MPB，则10−2t2t=t10−t，即可求解；
(2)由S=12PB⋅h即可求解；
(3)当点B在∠PEC的平分线上时，则BR=OB=2 5 ，在Rt▵PBR中，sin∠EPB=sin∠DAB=45=BRPB =2 510−t，即可求解．
26.【答案】(1)解：①∵∠AOB+∠C=135∘，∠AOB=2∠C，
∴3∠C=135∘，
∴∠C=45∘．
②连接AB，过A作AM⊥BC，垂足为M，

∵∠C=45∘，AC=8，
∴▵ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4 2，
∵∠AOB=2∠C=90∘，OA=OB，
∴▵AOB是等腰直角三角形，
∴AB= 2OA=5 2，
在直角三角形ABM中，BM= AB2−AM2=3 2，
∴BC=CM+BM=4 2+3 2=7 2．
(2)证明：延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，

∵∠APB=2∠C，
∴∠APB=2∠N，
∵∠APB=∠N+∠PBN，
∴∠N=∠PBN，
∴PN=PB，
∵PA=PB，
∴PA=PB=PN，
∴P为该圆的圆心．
(3)证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，

∵∠APB=90∘，
∴∠C=45∘，
∴▵BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC，
∵BP⊥AF，PA=PF，
∴BA=BF，
∵AF是直径，
∴∠ABF=90∘，
∴∠EBC=∠ABF=90∘，
∴∠EBA=∠CBF，
∴▵EBA≌▵CBF(SAS)，
∴AE=CF，
∵CD= 2CB−CA=CE−CA=AE，
∴CD=CF，
∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．

【解析】【分析】(1)①根据∠AOB+∠C=135∘，结合圆周角定理求∠C的度数；②构造直角三角形；
(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；
(3)根据CD= 2CB−CA，构造一条线段等于 2CB−CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．
27.【答案】(1)解：∵▵ADB和▵A′D′C中∠ADB=∠A′D′C=90∘,∠B=∠C=30∘，
∴∠BAD=∠CA′D′=90∘−30∘=60∘，
∴当α=60∘时，A′C与AD重合，如图所示：连接BC，

∵AB=AC=2，∠BAC=60∘，
∴▵ABC为等边三角形，
∴BC=AB=2；
当BC=2 2时，
∵AB2+AC2=22+22=8=2 22=BC2，
∴当BC=2 2时，▵ABC为直角三角形，∠BAC=90∘，
∴AB⊥AC，
当AC在AB下方时，如图所示：

∵∠DAC=∠BAC−∠BAD=90∘−60∘=30∘，
∴此时α=∠DAD′=∠CAD′−∠DAC=60∘−30∘=30∘；
当AC在AB上方时，如图所示：

∵∠DAB=∠D′AC=60∘，
∴此时α=∠DAB+∠BAC+∠D′AC=210∘；
综上分析可知，当BC=2 2时，α=30∘或210∘；
故答案为：2；30或210．
(2)解：当α=90∘时，如图所示：

∵AB=AC=2，
∴AD=AD′=12AB=1，
∴BD=CD′= 22−12= 3，
∵∠DAD′=α=90∘，
又∵∠ADB=∠AD′C=90∘，
∴四边形ADED′是矩形，
∵AD=AD′，
∴四边形ADED′是正方形，
∴AD=DE=D′E=1，
∴BE=BD−DE= 3−1，
∴EF=BE×tan∠ABD= 3−1× 33=1− 33，
∵∠DAG=∠DAD′−∠CAD′=90∘−60∘=30∘，
∴DG=AD×tan∠DAG=1× 33= 33，
∴S四边形AGEF=S▵ABD−S▵BEF−S▵ADG
=12×1× 3−12×1− 33 3−1−12×1× 33
=1− 33，
即两块三角板重叠部分图形的面积为1− 33．
(3)解：∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB=90∘，
∴将▵A′D′C绕着点A旋转一周，点F在以AB为直径的圆上运动，
∵AB=2
∴点F运动的路径长为2π．
故答案为：2π．


【解析】【分析】(1)当α=60∘时，A′C与AD重合，证明▵ABC为等边三角形，得出BC=AB=2；当BC=2 2时，根据勾股定理逆定理得出∠BAC=90∘，两种情况讨论：当AC在AB下方时，当AC在AB上方时，分别画出图形，求出结果即可；
(2)证明四边形ADED′是正方形，得出AD=DE=D′E=1，求出BE=BD−DE= 3−1，得出EF=BE×tan∠ABD= 3−1× 33=1− 33，求出DG=AD×tan∠DAG=1× 33= 33，根据S四边形AGEF=S▵ABD−S▵BEF−S▵ADG求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
(3)根据等腰三角形的性质，得出AF⊥BC，即∠AFB=90∘，确定将▵A′D′C绕着点A旋转一周，点F在以AB为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
风味
偏甜
适中
偏酸
含量/mg/100mL
71.2
89.8
110.9
C
D
E
A
AC
AD
AE
B
BC
BD
BE