新高考数学二轮复习 专题1 第1讲 三角函数的图象与性质 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第1讲 三角函数的图象与性质
（讲·学生版）
高考定位
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
核心整合
常用的三种函数的图象与性质 (下表中k∈Z)
三角函数的常用结论
（1）y＝Asin(ωx＋φ)， 当φ＝————时为奇函数；当φ＝————时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)求得.
y＝Acs(ωx＋φ)， 当φ＝————时为奇函数；当φ＝————时为偶函数；对称轴方程可由————求得.
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝————时为奇函数.
三角函数的两种常见变换
(1)先相位变换再周期变换： y＝sin xy＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
(2) 先周期变换再相位变换：y＝sin xy＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
真题体验
（2021·全国（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
和 B．和2
C．和 D．和2
(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ等于
－2 B. －1
C.1 D. 2
3．（2021·全国（理））把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
4. (2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是( )
A.f(x)＝|cs 2x| B.f(x)＝|sin 2x|
C.f(x)＝cs|x| D.f(x)＝sin|x|
5．（2021·全国（文））已知函数的部分图象如图所示，则_______________.
(2020·北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cs x的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________.
能力突破
考点一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式
【例1】
1．(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
2．(一题多解)(2020·湖北八校第一次联考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2θ))＝( )
A．－eq \f(24,25) B．eq \f(24,25)
C．－eq \f(7,25) D．eq \f(7,25)
【规律方法】
三角函数的定义
若角α的终边过点P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，
tan α＝eq \f(y,x)(其中r＝eq \r(x2＋y2))．
利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
基本关系
sin2x＋cs2x＝1，tan x＝eq \f(sin x,cs x).
[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．
【对点训练1】
1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，则cs 2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \f(3,2)
2．(多选题)已知θ∈(0，π)，sinθ＋csθ＝eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
考点二 三角函数的图象
命题角度1 图象识别
【例2-1】
(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(10π,9) B．eq \f(7π,6)
C.eq \f(4π,3) D．eq \f(3π,2)
2. (多选题)(2020·新高考卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
【规律方法】
由“图”定“式”找“对应”的方法
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq \f(M＋m,2)，A＝eq \f(M－m,2).
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
命题角度2 图象变换
【例2-2】
(一题多解)将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象，则f(x)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,6))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,3))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,3)))
2. 若ω>0，函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．
【规律方法】
关于三角函数的图象变换的方法

命题角度3 三角函数图象的应用
【例2-3】
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|sin x|，sin x≥cs x，,|cs x|，sin x①f(x)的值域是[0，1]；
②f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上单调递增；
④f(x)在[0，2π]上有2个零点．
【规律方法】
巧用图象解决三角方程或不等式问题
解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．
【对点训练2】
1．(2020·福州市适应性考试)在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝sin 2x＋cs 2x，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))，h(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,7)))的部分图象如图所示，则( )
A．a为f(x)的图象，b为g(x)的图象，c为h(x)的图象
B．a为h(x)的图象，b为f(x)的图象，c为g(x)的图象
C．a为g(x)的图象，b为f(x)的图象，c为h(x)的图象
D．a为h(x)的图象，b为g(x)的图象，c为f(x)的图象
2．(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的可能取值为( )
A.－eq \f(59π,12) B.－eq \f(35π,6) C.eq \f(25π,6) D.eq \f(49π,12)
3．若关于x的方程(sin x＋cs x)2＋cs 2x＝m在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥eq \f(π,4)，则实数m的取值范围是( )
A．[0，2) B．[0，2]
C．[1，eq \r(2)＋1] D．[1，eq \r(2)＋1)
考点三 三角函数的性质
命题角度1 三角函数的单调性
【例3—1】
1.已知函数f(x)＝cs(x＋θ)(0<θ<π)在x＝eq \f(π,3)时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
2.已知函数f(x)＝eq \r(3)cs 2x＋sin 2x，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，则函数f(x)的最大值为________，最小值为________．
【规律方法】
(1)求三角函数单调区间的方法
①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acs(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数， A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acs z)，然后由复合函数的单调性求得．
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(2)解三角函数最值与值域问题的策略
通过三角恒等变换将问题转化为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acs(ωx＋φ)＋B)的最值或值域问题，再利用换元(令t＝ωx＋φ)，并借助基本的三角函数y＝sin t(或y＝cs t)的最值或值域问题求解．

命题角度2 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例3—2】 (1)(多选)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，则下列四个命题正确的是( )
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)＝eq \f(1,2)是x＝eq \f(π,2)的充分不必要条件
C．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))上单调递增
D．函数y＝|f(x)|的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度后所得图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,4)(k∈Z)
(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
【规律方法】
(1)判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
(2)函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
【对点训练3】
1．(多选题)(2020·济南质检)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，得到图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A.φ＝eq \f(5π,6)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))是f(x)的图象的一个对称中心
C.f(φ)＝－2
D.x＝－eq \f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴
2．(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cs x|－|sin|x||，下列说法正确的是
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期为π的函数
C.f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上单调递减
D.f(x)的最大值为eq \r(2)
3．(一题多解)若函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,10)))－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调，则实数a的最大值是________．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
递增
区间
————
————
————
递减
区间
————
————
奇偶性
————
————
————
对称
中心
————
————
————
对称轴
————
————
周期性
————
————
————
沿x轴
沿y轴
平移变换
由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移
由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移
伸缩变换
由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,|ω|)倍
由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍