江苏省南通市海安市紫石中学2023-2024学年九年级下学期3月试题（含解析）

这是一份江苏省南通市海安市紫石中学2023-2024学年九年级下学期3月试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
5．如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）
A．-3B．-2C．-1D．4
7．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E．若的周长为24，，则的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
8．如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
9．关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝ 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC的中点．当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是（ ）
A．2B．2 C．πD．π
二、填空题：（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为 cm2．
14．如图，的面积为24，点D、E分别是边、的中点，则四边形的面积为 ．
15．将一次函数的图象向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为 ．
16．我国古代孙子算经记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有5人无车可乘，问车辆有多少？若设车辆数为，则可列方程为 ．
17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．则的值是 ．
18．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、两点，点A在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，则的面积为 ．

三、解答题：（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；
（2）化简：．
20．今年的4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校为了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次类别，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查一共抽取了______名学生，请将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，“较强”层次类别所占圆心角的为______°；
(3)若该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，请根据以上调查结果估算，全校需要强化安全教育的学生共有多少名？
21．如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
22．在一个随机试验中，有2个小球依次沿轨道滑落，分别随机掉入下方的甲、乙、丙这三个盒子中的某一个．
(1)第1个小球掉入甲盒的概率是 ；
(2)求在这个随机试验中，甲盒至少接到1个小球的概率．
23．如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
24．A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
25．在中，，点M，N分别为边的中点，连接．
初步尝试：
（1）如图1，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
特例研讨：
（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：
（3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
26．如图，二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线交于点F，连接交直线于点G．
(1)填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由；
(3)若点P为二次函数（a为常数，且）位于第一象限图象上一点，连接，交直线于点Q，试求的最大值，并求出此时点P的横坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|-1|=1，再根据有理数的减法法则进行计算．
【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．
故选：C．
【点拨】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，熟悉有理数的减法法则是关键．
2．A
【分析】本题考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则，解决本题的关键是熟练掌握整式的有关运算法则．直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．，故此选项符合题意；
B．，原式计算错误，故此选项不符合题意；
C．，原式计算错误，故此选项不符合题意；
D．，不是同类项不能合并，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．C
【分析】
根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：如图：设交于点，

∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】0.000073用科学记数法表示为，
故选D．
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
5．A
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=AB=3，
根据勾股定理，得：OA==5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．
6．B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系与方程的解的含义可得：再整体代入求值即可.
【解答】解： m，n是方程的两根，



故选B
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键是“利用一元二次方程的解的含义得到再整体代入把要求值的代数式降次”.
7．B
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可．
【解答】
解：∵是的垂直平分线，
∴，，
又∵的周长为24，
∴，
∴，
∴的周长为：，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．C
【分析】
证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案．
【解答】解：∵正方形的边长为4，为边的中点，
∴，，，
当P与A，B重合时，最长，
此时，
运动路程为0或4，
结合函数图象可得，
故选C
【点拨】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．
9．A
【分析】
不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【解答】解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
10．C
【分析】取AC的中点D，BC的中点E，连接DE，则点M的运动轨迹是以DE为直径的半圆.证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理得出半圆半径，最后利用弧长公式即可求解.
【解答】如图所示，取AC的中点D，BC的中点E，连接DE，则点M的运动轨迹是以DE为直径的半圆.在等腰中，AC=BC，，因为D，E分别是AC，BC的中点，所以CD=CE，且，故是等腰直角三角形.在中，由勾股定理得，，故小半圆的半径r=1.根据圆的弧长公式得，点M运动的路径长为.
故本题正确答案为C.
【点拨】本题主要考查圆中的计算问题和弧长计算，灵活运用是关键.
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
12．
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点拨】因式分解时，要牢记“一提二看三检查”步骤．
13．15π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15πcm2.
故答案为：15π.
【点拨】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
14．
【分析】
根据三角形的中位线定理，得到，相似比为：，进而得到面积比为：，从而得到四边形的面积．
【解答】解：∵D、E分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴四边形的面积为：；
故答案为：．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理．熟练掌握，三角形的中位线定理，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
15．4
【分析】
直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案．
【解答】
解：根据直线的平移规律：平移后的直线为，
再将点代入，
得，
解得，
故答案为：4．
【点拨】
此题主要考查了一次函数图象平移，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键．
16．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用车的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有人，根据题意得，
故答案为：．
17．
【分析】
本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【解答】
解：延长至格点，连接，如图，
由题意得：
，，，
，
，
∴．
故答案为：．
18．12
【分析】本题考查反比例函数k的意义，借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键．连接，过点A作轴，过点D作轴，过点D作，；先证明，设点，由已知条件，可得，则点，证明，得到，所以，即可求解．
【解答】解：连接，过点A作轴，过点D作轴，过点D作，

∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是的中点，
∵，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
设点，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴的面积为12，
故答案为：12．
19．（1）1（2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质，负整数指数幂运算及分式的混合运算；掌握相关运算规则是解题关键．
（1）由特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂运算规则，立方根的定义，计算求值即可；
（2）根据分式的混合运算规则，结合乘法公式化简即可；
【解答】解：（1）原式=
；
（2）原式=
．
20．(1)200，补全条形统计图见解析
(2)
(3)全校需要强化安全教育的学生人数为450名
【分析】
（1）用一般层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用总人数减其它层次人数，计算出较强层次的人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以“较强”层次所占的百分比，即可得到扇形统计图中“较强”层次所占圆心角；
（3）用2000乘以样本中“淡薄”和“一般”层次所占的百分比即可．
【解答】（1）
解：，
∴这次调查一共抽取了200名学生，
∵较强层次的人数为（人），
∴补全条形统计图如下，
；
（2）解：扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角为；
（3）解：，
∴估计全校需要强化安全教育的学生人数为450名．
【点拨】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，掌握题意由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
21．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【解答】如图，连接，交于点，

∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了画树状图求概率及概率公式，熟练掌握和运用画树状图求概率是解决本题的关键．
（1）直接根据概率公式即可求得；
（2）画出树状图，再根据概率公式即可求得．
【解答】（1）解：第1个小球掉入甲盒的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由上图可知共有9种等可能的结果，其中符合题意的结果共有5种．
∴甲盒至少接到1个小球的概率为．
23．（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
【点拨】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
24．（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【分析】（1）由图象分析可得甲车行驶用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t即可求解．
【解答】（1）由图象可知甲车在时行驶到C市，此时行驶的路程为，故速度为，
∴乙车的行驶速度为：，
∴乙车由C市到A市需行驶，
∴图中括号内的数为，
故答案为：60，10；
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .
把点M（4，0），N（10，480）代入y = kt + b，得：，
解得：，
∴线段MN所在直线的函数解析式为y = 80t－320．
（3）若在乙车出发之前，即时，则，解得；
若乙车出发了且甲车未到C市时，即时，则，解得（舍）；
若乙车出发了且甲车已到C市时，即时，则，解得；
综上，甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
25．（1），；（2）①②（3）或
【分析】（1），点M，N分别为边，的中点，则是的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：①连接，证明是等边三角形，是等边三角形，得出，即可求出结论；
②在中，求得，由①知在中，利用三角函数求出即可；
（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，设，则，得出，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当F在上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解．
【解答】解：（1）∵，点M，N分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，；
故答案为：，；
（2）特例研讨：①如图所示，连接，

∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，
∴；，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴，
在中，M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即旋转角，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②如图所示，

∵ ，，
∴，
在中，，
，
由①知在中，，
∴，
∴；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，

∵，
∴，设，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴，
∴，
∴A，B，E，C在同一个圆上，

∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当F在上时，

∵，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设，则，
将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴.
设，则，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键．
26．(1)
(2)是定值，这个定值为
(3)的最大值为 ，此时点的横坐标为
【分析】（1）令，解方程可得 两点坐标；
（2）令可得点的坐标，求出顶点的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，则，过点A作轴交直线于点，则，证明，即可得，即可求解；
（3）过点A作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，则， 设，则，证明，即可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解.
【解答】（1）解：令得 ，
解得 或 ，
∵点A在点左侧，
∴点A的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：是定值，
把代入，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，代入，
，
解得 ，
∴直线的解析式为，
过点A作轴交直线于点，
，
，
，
∵点A的坐标为，
，
∴顶点为，
，
，
是定值，这个定值为；
（3）解：过点A作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，
，
设则，
，
∵轴，轴，
，
，
∴当时, 的最大值为 ，此时点的横坐标为．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题．