2023-2024学年内蒙古包头市昆都仑区包钢实验中学九年级（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古包头市昆都仑区包钢实验中学九年级（下）开学数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数是无理数的是( )
A. −2B. 13C. 4D. 5
2.下列运算正确的是( )
A. (x−y)2=x2−y2B. x2⋅x4=x6
C. (−3)2=−3D. (2x2)3=6x6
3.在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩(单位：分)如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=3x2+2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为( )
A. y=3x2−1B. y=3x2+1C. y=3x2−5D. y=3x2+5
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为( )
A. 7
B. 2 7
C. 5
D. 10
6.若不等式组x+13A. m≤2B. m<2C. m≥2D. m>2
7.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，OEEA=34，则FGBC的值为( )
A. 34B. 43C. 37D. 47
8.某市2020年底森林覆盖率为70%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，计划到2022年底森林覆盖率达到78%，如果这两年的森林覆盖率年平均增长率为x，那么符合题意的方程是( )
A. 0.7(1+x)=0.78B. 0.7(1+2x)=0.78
C. 0.7(1−x)2=0.78D. 0.7(1+x)2=0.78
9.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，OC=2，则BC的长为( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
10.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边的中点.连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG=2，则线段AE的长度为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：2mn2−4m2n= ______．
12.若关于x的分式方程k−1x+1=2的解为非正数，则k的取值范围为______．
13.从红，黄，蓝三顶不同颜色的帽子和黑，白两条不同颜色的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和黑围巾的概率是______．
14.如图，面积为6 3的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO=30°，反比例函数y=kx的图象恰好经过点A，则k的值为______．
15.某商品现在的售价为每件60元时当，每星期可卖出300件，为占有市场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，则售价为每件57元时，获得的利润是______元.
16.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4 6，则FD的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：2cs60°−|1− 2|+(−12)−1；
(2)解方程：xx−1−1=2x2−1．
18.(本小题9分)
如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A、B、C、D表示)．
19.(本小题9分)
为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．
20.(本小题10分)
鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.已知每个房间定价x(元)和游客居住房间数y(间)符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
21.(本小题12分)
如图，一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(2,m)，B两点，
(1)求m和k的值．
(2)求B点的坐标．
22.(本小题12分)
如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
(1)求证：△CBF≌△CDF；
(2)如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB=FG；
②若tan∠BDE=12，ON=1，求CG的长．
23.(本小题12分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接AC、BC.点P为抛物线上的一个动点(与点A、B、C不重合)，设点P的横坐标为m，△PCB的面积为S．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式；
(3)若点P在x轴上方，△PCB的面积能否等于△BOC的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解；A、是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、 5是无理数，故D正确．
故选：D．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
2.【答案】B
【解析】解：∵(x−y)2=x2−2xy+y2，故选项A错误；
∵x2⋅x4=x6，故选项B正确；
∵ (−3)2=3，故选项C错误；
∵(2x2)3=8x6，故选项D错误；
故选：B．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的．
本题考查完全平方差公式、同底数幂的乘法、算术平方根、积的乘方，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
3.【答案】B
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，
最中间两个数的平均数是(8+8)÷2=8，
则中位数是8．
故选：B．
根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．
本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．
4.【答案】A
【解析】解：将二次函数y=3x2+2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为y=3x2+2−3=3x2−1，
故选：A．
根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移规律是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=34=AOOB，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= AO2+OB2= 32+42=5，
故选：C．
根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【解答】
解：解不等式x+138，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=34，
∴OEOA=37，
则FGBC=OEOA=37．
故选：C．
直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：依题意得：70%(1+x)2=78%，
即0.7(1+x)2=0.78．
故选：D．
利用2022年底森林覆盖率=2020年底森林覆盖率×(1+这两年的森林覆盖率年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，且OB=OC，
∴BC= 2OC=2 2，
故选：B．
根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠BAF=∠DGF，∠ABF=∠GDF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AFGF=ABDG，
∵G为CD边的中点，
∴CG=DG=12CD=12AB，
∴AFGF=ABDG=2，
∵FG=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=AF+FG=6，
∵CG=12AB，CG/​/AB，
∴CG为△ABE的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选：D．
根据正方形的性质得到AB=CD，AB/​/CD，再证明△ABF∽△GDF，则AFGF=ABDG=2，进而求得AF=4，AG=6，再证明CG为△ABE的中位线即可求解．
本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题关键．
11.【答案】2mn(n−2m)
【解析】解：2mn2−4m2n=2mn(n−2m)，
故答案为：2mn(n−2m)．
利用提公因式法分解即可．
此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法，并根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．
12.【答案】k≤3且k≠1
【解析】解：去分母得：k−1=2x+2，
解得：x=k−32，
由分式方程的解为非正数，得到k−32≤0，且x+1≠0，即k−32≠−1，
解得：k≤3且k≠1，
故答案为：k≤3且k≠1．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好取到红帽子和黑围巾的结果有1种，
∴恰好取到红帽子和黑围巾的概率是16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好取到红帽子和黑围巾的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】−3 3
【解析】解：如图，作AD⊥x轴，垂直为D，设点B的坐标为(m,0)，
在Rt△ABO中，
∵∠ABO=30°，
∴OA=12BO=12m，AB= 3OA= 3m2，
∵Rt△OAB的面积为6 3，
∴12m⋅ 3m2×12=6 3，
解得m=−4 3或4 3(舍去)，
∵12×4 3×AD=6 3，
∴AD=3，
在Rt△OAD中，∠OAD=∠ABO=30°，
∴OD=AD 3= 3，
∴A(− 3,3)．
∵反比例函数y=kx图象恰好经过点A，
∴k=−3 3．
故答案为：−3 3．
作AD⊥x轴，根据含30°的直角三角形性质可得点A的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，灵活解直角三角形是解答本题的关键．
15.【答案】6120
【解析】解：根据题意得：(57−40)×[300+20×(60−57)]
=17×(300+20×3)
=17×(300+60)
=17×360
=6120(元)，
∴当售价为每件57元时，每星期获得的利润是6120元．
故答案为：6120．
利用每星期获得的利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可求出结论．
本题考查了有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，列式计算是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
ED=EGEF=EF，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6−x，
在Rt△BCF中，(4 6)2+(6−x)2=(6+x)2，
解得x=4．
故答案为：4．
根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2×12−( 2−1)−2
=1− 2+1−2
=− 2；
(2)原方程去分母得：x(x+1)−(x2−1)=2，
整理得：x+1=2，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
则x=1是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】(1)利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂计算即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是34；
(2)列表得：
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P(两张都是轴对称图形)=12，因此这个游戏公平．
【解析】(1)首先根据题意结合概率公式可得答案；
(2)首先根据已知列表，求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
本题考查的是游戏公平性的判断，以及概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19.【答案】解：(1)由题意得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，
∴∠CAB=180°−∠NAC−∠BAS=75°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB=3 2km，∠ABC=45°，
∴AD=AB⋅sin45°=3 2× 22=3(km)，
BD=AB⋅cs45°=3 2× 22=3(km)，
在Rt△ADC中，∠ACB=60°，
CD=ADtan60∘=3 3= 3(km)，
∴BC=BD+CD=(3+ 3)km，
∴检查点B和C之间的距离(3+ 3)km．
【解析】(1)根据题意可得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
把(280,40)，(290,39)代入得：
280k+b=40290k+b=39，
解得：k=−110b=68，
∴y与x之间的函数解析式为y=−110x+68(200≤x≤320)；
(2)设宾馆的利润为w元，
则w=(x−20)y=(x−20)(−110x+68)=−110x2+70x−1360=−110(x−350)2+10890，
∵−110<0，
∴当x<350时，w随x的增大而增大，
∵200≤x≤320，
∴当x=320时，w取得最大值，最大值为10800元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．
【解析】(1)根据图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据宾馆利润数=单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据宾馆利润数=单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，用二次函数解决实际问题中的最值问题．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(2,m)，
∴m=12×2+2=3，k=2m=6；
(2)解y=12x+2y=6x得x=2y=3或x=−6y=−1，
∴B点的坐标为(−6,−1)．
【解析】(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
(2)联立方程，解方程组即可求得B的坐标．
本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCF=∠DCF=45°，
在△CBF和△CDF中，
CB=CD∠BCF=∠DCFCF=CF，
∴△CBF≌△CDF(SAS)；
(2)①∵FG⊥DE，
∴∠DEG=90°，
∴∠G+∠FEG=90°，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE=∠G，
由(1)知△CBF≌△CDF，
∴∠CBF=∠CDF，
∴∠CBF=∠G，
∴FB=FG；
②∵∠FDN+∠FND=90°，∠OFN+∠FND=90°，
∴∠FDN=∠OFN，
∴tan∠OFN=tan∠BDE=12，
∴OF=2ON=2，OC=OD=2OF=4，
∴CF=OC−OF=2，
作FH⊥BG于H，则CH= 2，

∵OC=4，
∴BC= 2OC=4 2，
∴BH=BC−CH=3 2，
由①知BF=FG，且FH⊥BC，
∴GH=BH=3 2，
∴CG=GH−CH=3 2− 2=2 2．
【解析】(1)根据正方形的性质可得CB=CD，∠BCF=∠DCF=45°，利用SAS即可证明△CBF≌△CDF；
(2)①根据等角的余角相等得∠CDE=∠G，由(1)知△CBF≌△CDF，得∠CBF=∠CDF，等量代换即可解决问题；
②根据tan∠OFN=tan∠BDE=12，得OF=2ON=2，OC=OD=2OF=4，则CF=OC−OF=2，作FH⊥BG于H，则CH= 2，而BC=4 2，再运用①的结论即可解题．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，
∴4a−2b+4=064a+8b+4=0，
解得：a=−14b=32．
∴二次函数的表达式为y=−14x2+32x+4．
(2)过点P作PN⊥y轴于点N，如图，

则S△PBC=S梯形PNOB−S△PCN−S△OBC．
令x=0，则y=4，
∴C(0,4)．
∴OC=4．
∵B(8,0)，
∴OB=8．
设点P的横坐标为m，则P(m,−14m2+32m+4)．
∵点P在第一象限内，
∴m>0，−14m2+32m+4>0．
∴PN=m，ON=−14m2+32m+4．
∴NC=ON−OC=−14m2+32m.
∴S=12(m+8)⋅(−14m2+32m+4)−12m⋅(−14m2+32m+4−4)−12×8×4
=−m2+8m．
∴S关于m的函数表达式为：S=−m2+8m．
(3)点P在x轴上方，△PCB的面积能等于△BOC的面积．
由题意：S△BOC=12×OB⋅OC=16．
若△PCB的面积等于△BOC的面积，
∴当P在第一象限时，即：−m2+8m=16．
∴m=4，
∴P点坐标为(4,6)．
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴8k+n=0n=4，
解得：k=−12n=4．
∴直线BC的解析式为y=−12x+4．
当P在第二象限时，过O作直线OP′/​/BC交抛物线于点P′，
∵平行线之间的距离相等，
∴△P′BC与△OBC为同底等高的三角形，此时S△P′BC=S△OBC．
因为直线BC的表达式为y=−12x+4，
所以直线OP′的解析式为y=−12x．
∴y=−12xy=−14x2+32x+4，
解得：x1=4+4 2y1=−2−2 2(舍去)，x2=4−4 2y2=−2+2 2．
∴点P坐标为：(4−4 2,2 2−2)．
综上，点P在x轴上方，△PCB的面积能等于△BOC的面积，点P的坐标为(4,6)或(4−4 2,2 2−2)．
【解析】(1)利用待定系数法将A，B坐标代入解析式即可；
(2)过点P作PN⊥y轴于点N，则S△PBC=S梯形PNOB−S△PCN−S△OBC；分别用m的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论；
(3)计算求得△OBC的面积，利用(2)的结论即可求得点P坐标；利用同底等高是三角形的面积相等，在第二象限，可求得点P坐标，当P在第二象限时，过O作直线OP′/​/BC交抛物线于点P′，利用直线BC的解析式可得直线OP′的解析式，将直线OP′的解析式于抛物线的解析式联立即可求得点P坐标．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，梯形，三角形的面积，平行线的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)