2023-2024学年江苏省南京市南京师范大学附属中学江宁分校八年级(下)阶段练习数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市南京师范大学附属中学江宁分校八年级(下)阶段练习数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这6000名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500.其中说法正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
3.下列说法正确的是( )
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近
4.用反证法证明：“若a≥b>0，则a2≥b2”，应先假设
( )
A. a5.如图，将▵ABC绕点C顺时针方向旋转43∘得▵A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于( )
A. 43∘B. 45∘C. 47∘D. 50∘
6.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是
( )
A. ∠ABD=∠CBDB. ∠ABC=90∘
C. AC⊥BDD. AB=BC
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE/​/BD，DE/​/AC，若AC=12，则四边形CODE的周长为
( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
8.如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=25∘，则∠AEF=( )
A. 35∘B. 40∘C. 45∘D. 50∘
9.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD 的 中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF中一定成立的是( )
A. 只有①②B. 只有①③C. 只有②③D. ①②③都成立
10.如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是
( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是 ．
12.综合实践小组的同学们做如下实验，将一枚图钉随意向上抛起，记录图钉落地后钉尖触地的频数、频率表所下：
根据上表估计将一枚图钉随意向上抛起一次时“钉尖触地”的概率约为 (精确到0.01)
13.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1=∠2=44°，则∠D= 度．
14.如图，在菱形ABCD中，AB//y轴，且B(−3,1)，C(1,4)，则点A的坐标为 ．
15.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6,BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B6,2，点C4,0，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 秒该直线可将▱OABC分成面积相等的两部分．
17.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E,F是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)秒，若G,H分别是AB,DC的中点，且t≠2.5，当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，t的值为 ．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ,DQ，若∠ADQ+∠BAQ=180∘，则BQ的最大值为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
为了解今年全县2000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分同学的成绩，整理并制作如图所示的图表(部分未完成).请你根据提供的信息，解答下列问题：

(1)此次调查的样本容量为________．
(2)在表中：m=________；n=________；h=________．
(3)补全频数分布直方图；
(4)根据频数分布表、频数分布直方图，你获得哪些信息？
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt▵ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．

(1)将▵ABC以点C为旋转中心旋转180∘，画出旋转后对应的▵A1B1C；平移▵ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0,−4)，画出平移后对应的▵A2B2C2；
(2)若将▵A1B1C绕某一点旋转可以得到▵A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
(3)在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF=AE，连接DF．
(1)探索线段DF与BE的关系，并说明理由；
(2)若∠ABC=70∘，求∠CDF的度数．
22.(本小题8分)
已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留画图痕迹，不写画法)
(1)在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q；
(2)在图②中，画BH⊥AP，垂足为H．
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F 为 对角线BD上两点，BE=DF，连接AE、EC、CF、FA．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若AB=AD，求证：四边形AECF为菱形；
(3)在(2)的条件下，连接AC交BD于点O，若AB:BE:AO=5:1:3.求证：四边形AECF为正方形．
24.(本小题8分)
实践操作：在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．

(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图①)．
①当点P与点A重合时，∠DEF=___ ，当点E与点A重合时，∠DEF=_____；
②当点E在AB上，点F在DC上时(如图②)，求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=3.5时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图③).是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边(不重复)相等的四边形叫做“准菱形”.如图①，在四边形ABCD中，若∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′.(要求：D、D′在格点上)；
(2)下列说法正确的有_______；(填写所有正确结论的序号)
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
(3)如图⑤，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC=EC，AF=EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE=∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD= 2，∠ACB=15°，∠ACD=30°，请直接写出四边形ACEF的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：这6000名学生的初中毕业考试数学成绩的全体是总体，故①说法错误；
每个考生的初中毕业考试数学成绩是个体，故②说法错误；
500名考生的初中毕业考试数学成绩是总体的一个样本，故③说法错误；
样本容量是500，故④说法正确．
∴说法正确的有④共1个．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】解：A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每次抛正面朝上的概率都是12，故B不符合题意；
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近，故D符合题意；
故选D
4.【答案】C
【解析】【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明：“若a≥b>0，则a2≥b2”，应先假设a2故答案为：C．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到∠ACA′=43∘,∠A=∠A′，则根据AC⊥A′B′，利用直角三角形两锐角互余可计算出∠A′=47∘，从而得到∠BAC的度数．
【详解】解：∵▵ABC绕点C顺时针方向旋转43∘得到▵A′CB′，
∴∠ACA′=43∘,∠A=∠A′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′=90∘−43∘=47∘，
∴∠BAC=47∘．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：A.∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形，故 A不符合题意；
B.由∠ABC=90∘可以判定平行四边形ABCD为矩形，故 B符合题意；
C.由AC⊥BD可以判定平行四边形ABCD为菱形，故 C不符合题意；
D.由AB=BC可以判定平行四边形ABCD为菱形，故 D不符合题意．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】由CE/​/BD，DE/​/AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=6，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】解：∵CE//BD，DE/​/AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=12AC=6
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×6=24，故 C正确．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据正方形的性质证明▵ABE≌▵CBE，得到∠FAE，在利用三角形内角和得到∠BFC，在根据三角形外角和的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45∘．
在▵ABE和▵CBE中，
BE=BE∠ABE=∠CBEBC=AB,
∴▵ABE≌▵CBESAS．
∴∠BAE=∠BCF=25∘．
∵∠ABC=90∘，∠BCF=25∘，
∴∠BFC=180∘−∠ABC−∠BCF=180∘−90∘−25∘=65∘，
∵∠BFC=∠BAE+∠AEF，
∴∠AEF=∠BFC−∠BAE=65∘−25∘=40∘，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识，先证明AF=FD=CD，进而证明∠DCF=∠BCF，由此即可证明∠BCD=2∠DCF，即可判断①；延长EF，交CD延长线于M，证明▵AEF≌▵DFMASA，得到FE=MF,∠AEF=∠M，再证明∠AEC=∠ECD=90∘，即可证明FC=FE，即可判断②；设∠FEC=x，则∠FCE=x，求出∠DCF=∠DFC=90∘−x，得到∠EFC=180∘−2x，则∠EFD=270∘−3x，由此即可判断③．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在▵AEF和▵DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM,
∴▵AEF≌▵DFMASA，
∴FE=MF,∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘，
∴∠AEC=∠ECD=90∘，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
∴∠ECF=∠CEF，
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90∘−x，
∴∠EFC=180∘−2x，
∴∠EFD=90∘−x+180∘−2x=270∘−3x，
∵∠AEF=90∘−x，
∴∠DFE=3∠AEF，故③正确．
故选：D．
10.【答案】A
【解析】【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：将菱形ABCD向右平移至点B与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；故①符合题意；
将菱形ABCD向右平移至点C与点F重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱形AEFG；故②符合题意；
将菱形ABCD以点A为 旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；
设直线BD、GE相交于点O，将菱形ABCD以点O为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；
但旋转中心只有点A和点O两个个，故③不符合题意；
故选：A．
11.【答案】0.4
【解析】【分析】先求出第四组的频数，再利用频率=频数÷总次数进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，第4组的频数为50−2−8−15−5=20，
∴第4小组的频率为20÷50=0.4，
故答案为：0.4．
12.【答案】0.46
【解析】【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.46附近，
所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.46，
故答案为：0.46．
13.【答案】114
【解析】【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°，
∴∠B=180°−∠2−∠BAC=180°−44°−22°=114°，
∴∠D=∠B=114°．
故答案为：114．
14.【答案】(−3,6)
【解析】【分析】作BM⊥CD于M，由C和B的坐标得出BN=3，BM=4，CM=3，由勾股定理求出BC，由菱形的性质得出AB=BC=5，即可得出点A的坐标．
【详解】解：作BM⊥CD于M，与y轴交于点N，如图所示，
∵B(−3,1)，C(1,4)，
∴BN=3，BM=3+1=4，CM=4−1=3，ON=1，
∴BC= 32+42=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=5，
∵AB//y轴，
∴点A的坐标为(−3,6)；
故答案为：(−3,6)．
15.【答案】245
【解析】【分析】矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6,BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则可求得OE+EF的值．
【详解】解：∵AB=6,BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC= AB2+BC2=10，
∴AO=DO=12AC=5，
∵对角线AC、BD交于点O，
∴▵AOD的面积为12，
∵EO⊥AO,EF⊥DO，
∴S▵AOD=S▵AOE+S▵DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，
∴12=12×5×EO+12×5×EF，
∴5(EO+EF)=24，
∴EO+EF=245，
故答案为 ：245．
16.【答案】6
【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质，以及一次函数的知识，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．先连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=2x+1的直线解析式，从而可得直线y=2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
【详解】解：连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B6,2，，
∴D3,1，
设DE的解析式为y=kx+b，
∵平行于y=2x+1，
∴k=2，
∵过D3,1，
∴1=2×3+b，
∴b=−5，
∴DE的解析式为y=2x−5，
∴直线y=2x−5于y轴交于点0,−5，
∴直线y=2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．
17.【答案】0.5或4.5
【解析】【分析】如图所示，连接GH，当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，则四边形EGFH的对角线相等，结合分类讨论即可求解．
【详解】解：如图所示，连接GH，
∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，G,H分别是AB,DC的中点，
∴GH=BC=8cm，
∵E,F是AC上的动点，速度均为2cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)秒，
∴AE=CF=2t，
当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，则EF=GH=8cm，
∴①EF=10−4t=8，解得，t=0.5；
②EF=2t+2t−10=8，解得，t=4.5；
综上所述，当t为0.5或4.5时，E,G,F,H为顶点的四边形为矩形，
故答案为：0.5或4.5．
18.【答案】 13+2
【解析】【分析】本题考查动点最值−点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值−点圆模型的解法转化为求线段BQ′长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题−点圆模型的解法是解决问题的关键．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，∠BAD=90∘，∠ADQ+∠BAQ=180∘，
∴∠ADQ+∠DAQ=90∘，即∠AQD=90∘，
∵AD=BC=4，
∴点Q在以AD中点O为圆心、12AD长为半径的圆上运动，如图所示：
∴由动点最值点圆模型(圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题)可知，BQ的最大值为连接BO并延长交⊙O于Q′的线段BQ′长，
∴在Rt▵ABO中，AB=3,AO=12AD=2，则BO= AB2+AO2= 22+32= 13，
∴BQ′=BO+OQ′= 13+2，
故答案为： 13+2．
19.【答案】【小问1详解】
解：此次调查的样本容量为40÷0.1=400，
故答案为：400．
【小问2详解】
解：m=400−40−120−80=160，
n=120÷400=0.3，
h=1−0.1−n−0.2=1−0.1−0.3−0.2=0.4，
故答案为：160；0.3；0.4．
【小问3详解】
解：根据m=160补全频数分布直方图如下：
．
【小问4详解】
解：由频数分布表、频数分布直方图可知，80≤x<90的人数最多，其所占的频率为0.4．

【解析】【分析】本题考查了频率与频数、频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握频数分布表和频数分布直方图是解题关键．
(1)利用60≤x<70分数段的频数除以频率即可得；
(2)根据频率、频数、此次调查的样本容量的关系求解即可得；
(3)根据m的值补全频数分布直方图即可得；
(4)根据频数与频率即可得．
20.【答案】【小问1详解】
解：▵A1B1C和▵A2B2C2如图所示；

【小问2详解】
解：如图，旋转中心为32,−1；

【小问3详解】
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点，

如图，点P的坐标为−2,0．

【解析】【分析】本题考查了旋转、平移作图．
(1)利用旋转和平移的性质即可完成；
(2)连接旋转前后的对应点即可找出旋转中心；
(3)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点，根据图象，即可确定P点坐标．
21.【答案】【小问1详解】
DF/​/BE且DF=BE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∵CF=AE，
∴DE=BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF//BE，DF=BE．
【小问2详解】
∵四边形ABCD是 平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=12∠ABC=35∘，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF=35∘，
∴∠CDF=∠ADC−∠EDF=35∘．

【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)证明四边形BEDF是平行四边形即可；
(2)根据∠CDF=∠ADC−∠EDF，只要求出∠ADC、∠EDF即可．
22.【答案】【小问1详解】
解：如图，PQ即为所求．
．
【小问2详解】
解：连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDE=90°，
∴△ADP≌△CDE，
∴DE=DP，
∴AE=DP，
∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴∠ABE=∠DAP，
∵∠BAH+∠DAP=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，即BH⊥AP
如图，BH即为所求．
．

【解析】【分析】(1)连接点P与正方形的对角线的交点，并延长交AB于一点，即为点Q；
(2)连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H．
23.【答案】【小问1详解】
证明：如图，连接AC交BD于点O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
【小问2详解】
证明：在▱ABCD中，∵AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形．
【小问3详解】
证明：在(2)的条件下∠AOB=90∘，
∵AB:BE:AO=5:1:3，
设AB=5k，则AO=3k，BE=k，
由勾股定理得BO=4k，
∴EO=BO−BE=3k，
∴AO=EO，
∴AO=EO=OF，
∴∠OAE=∠OEA=45∘，∠OAF=∠OFA=45∘，
∴∠EAF=∠OAE+∠OAF=90∘，
∵四边形AECF是菱形．
∴四边形AECF是正方形．

【解析】【分析】(1)连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
(2)根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥EF，从而得到AC⊥BD，所以▱ABCD需要满足是菱形，即邻边相等；
(3)在(2)的条件下∠AOB=90∘，由勾股定理得BO=4k，可得EO=BO−BE=3k，可得AO=EO=OF，得到∠OAE=∠OEA=45∘，∠OAF=∠OFA=45∘，进一步得到∠EAF=∠OAE+∠OAF=90∘，再根据正方形的判定可得四边形AECF是正方形．
24.【答案】【小问1详解】
①

如图，当点P与点A重合时，∠DEF=∠AEF=12×180∘=90∘，
当点E与点A重合时，∠DEF=∠BEF=12×90∘=45∘；
【小问2详解】
如图②，

由折叠可知，DF=PF，DE=PE，
∵DF//EP
∴∠DFE=∠FEP，
∵∠DFE=∠PFE，
∴∠PFE=∠PEF，
∴PF=PE，
∴DE=DF=PE=PF
∴四边形DEPF为菱形
AP=3.5时，设AE=x，则PE=DE=3.5−x
则32+x2=(3.5−x)2，
解得x=1328，
∴AP=3.5−1328=8528
所以菱形边长为8528．
(2)如图④中，连接EM．

∵DE=EP=AM，
∴▵EAM≌▵MPE(HL)，
∴AE=PM，设AE=x，则AM=DE=3−x，
则BM=x+1
∵MP=EA=x，CP=CD=4
∴MC=4−x
∴(x+1)2+32=(4−x)2，
∴x=35．
∴AE=35．

【解析】【分析】(１)①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知DF=PF，DE=PE，由平行线的性质可知∠DFE=∠FEP，于是∠PFE=∠PEF，进而推出DE=DF=PE=PF，得证四边形DEPF为菱形，设AE=x，PE=DE=3.5−x，勾股定理求得x=1328，得菱形边长为8528．
(2)如图④中，连接EM.可证▵EAM≌▵MPE(HL)，于是AE=PM，设AE=x，则AM=DE=3−x，Rt▵CMB中，运用勾股定理，(x+1)2+32=(4−x)2，解得x=35，AE=35．
25.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD和ABCD′即为所求．
；
(2)①因为∠A=∠C=90°，结合一组对边平行可以判断四边形为矩形，故①正确；
②因为∠A=∠C=90°，结合一组对边相等可以判断四边形为矩形，故②正确；
③因为AB=AD，BC=DC，结合一组对边相等可以判断四边形为菱形，故③正确；
④因为AB=AD，BC=DC，结合一组对边平行可以判断四边形为菱形，故④正确；
故答案为：①②③④；
(3)①证明：∵AC=EC，AF=EF，CF=CF，
∴△ACF≌△ECF(SSS)．
∴∠ACF=∠ECF，∠AFC=∠EFC，
∵∠ACE=∠AFE，
∴∠ACF=∠EFC，∠ECF=∠AFC，
∴AC//EF，AF//CE，
∴“准菱形”ACEF是平行四边形，
∵AC=EC，
∴“准菱形”ACEF是菱形；
②如图：取AC的中点M，连接BM、DM，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，
∵∠ACB=15°，
∴∠AMB=30°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AMD=60°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴BM=DM= 22BD= 22× 2=1，
∴AC=2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cs30°= 3，
∴菱形ACEF的面积=12×1× 3×4=2 3．

【解析】【分析】(1)根据准矩形和准菱形的特点画图即可；
(2)根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；
(3)①先根据已知得出△ACF≌△ECF，再结合∠ACE=∠AFE可推出AC//EF，AF//CE，则证明了“准菱形”ACEF是平行四边形，又因为AC=EC即可得出“准菱形”ACEF是菱形；
②取AC的中点M，连接BM、DM，根据四边形ACEF是菱形可得A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，根据圆周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根据∠ACD=30°即可求出AD，CD的长，则可求出菱形的面积．
抛图钉的次数
40
120
320
480
720
800
920
1000
钉尖触地的频数
20
50
146
219
328
366
421
463
钉尖触地的频率
0 . 500
0.417
0.456
0 . 456
0.456
0.458
0.458
0.463
分数段
频数
频率
60≤x<70
40
0.1
70≤x≤80
120
n
80≤x<90
m
h
90≤x<100
80
0.2