【导数大题】题型刷题突破 第43讲 绝对值函数

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第43讲 绝对值函数
1．已知函数在上是增函数，函数，当，时，函数的最大值与最小值的差为，求的值
【解答】解：因为函数在上是增函数，
所以在上恒成立，即，即；
因为，
若，即时，在，单调递减，
则（舍，
当，即时，函数在，上递减，在，上递增，
且，所以，
即，
解得．
故选：．
2．已知，，若函数在，上的最大值和最小值分别记为，，求的值
【解答】解：，，，
，
，
，
当，时，恒成立，
故函数在，上为减函数，
故（1），
故选：．
3．已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当，时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间，上的最大值为（a）．当（a）最小时，求的值．
【解答】解：（Ⅰ），
由得，
得．
又，，
和，
即和；
（Ⅱ）证明：欲证，
只需证，
令，，，
则，
可知在，为正，在为负，在为正，
在，递增，在，递减，在递增，
又，，，（4），
，
；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
在，上，，
令，，则问题转化为当，时，的最大值（a）的问题了，
①当时，（a），
此时，当时，（a）取得最小值3；
②当时，（a），
，（a），
也是时，（a）最小为3．
综上，当（a）取最小值时的值为．
4．已知，函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）当，时，求的最大值．
【解答】解：（1）因为，所以，
故（1），又（1），所以所求的切线方程为；
（2）由于，．
故当时，有，此时在，上单调递减，故
，（2）．
当时，有，此时在，上单调递增，故
，（2）．
当时，由，得，．
所以，当时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减；
当，时，，函数单调递增．所以函数的极大值，极小值．
故，．
从而．
所以，（2），．
当时，（2）．
又
故．
当时，（2）（2），且（2）．
又．
所以当时，（2）．
故．
当时，（2）．
故（2）．
综上所述．
5．设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明：．
【解答】解：．
当时，，因此．
当时，，
令，
则是在，上的最大值，，（1），
且当时，取得极小值，极小值为，（二次函数在对称轴处取得极值）
令，得（舍或．
①当时，在内无极值点，，（1），（1），
，
②当时，由（1），得（1），
又，
，
综上，．
证明：由可得：，
当时，，
当时，，
，
当时，，
综上：．
6．设为实数，函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；（3）当 时，讨论 在区间内的零点个数．
【解答】解：（1）若，即：．可得，
当时，，可得，．
当时，，恒成立．
综上．
的取值范围：；
（2）函数，
当时，函数的对称轴为：，
在时是减函数，
当时，函数的对称轴为：，
在时是增函数，
（3），
，
当时，，
所以，函数在上是减函数．
当时，因为，所以，，
所以，函数在上是增函数．
（a）．当时，（2），此时有一个零点，当时，（a），
（a）．
所以在上是减函数，所以（a），即（a），
当且时，；当时，，所以函数有两个零点．
综上所述，当时，有一个零点，时有两个零点．
7．设为实数，函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，讨论在上的零点个数．
【解答】解：（1）
当时，不等式为恒成立，满足条件，
当时，不等式为，
，
综上所述的取值范围为，；
（2）当时，函数，
其对称轴为，此时在时是减函数，
当时，，
其对称轴为：，在时是增函数，
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，
（3）设，
当时，其对称轴为，
当时，其对称轴为，
当时，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
，（a），又，
（a）在上单调递减，
（a）（2），
在和上各有一个零点，
综上所述时，在上有2个零点．
8．已知函数．
（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分别记为（a），（a），求（a）（a）；
（Ⅱ）设，若对，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
，
①时，，，在上是增函数，
（a）（1），（a），
（a）（a）；
②时，，，在上是增函数；，，在上是减函数，
（a）（1），，（a）（a），
（1），
时，（a）（a）；
时，（a）（a）；
③时，有，在上是减函数，
（a），（a）（1），
（a）（a）；
（Ⅱ）令，则，，对，恒成立，
对，恒成立，
由（Ⅰ）知，
①时，在上是增函数，最大值（1），最小值，则且矛盾；
②时，最小值（a），最大值（1），且，
令（a），则（a），（a）在，上是增函数，（a），
；
③时，最小值（a），最大值，则且，；
④时，最大值，最小值（1），则且，．
综上，的取值范围是．
9．设函数．
（Ⅰ）讨论函数在，内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记，求函数在，上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足条件时的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设，在，递增，
即有，，
①当时，，递减，即递减；
当时，，递增，即递增．
即有或时，不存在极值．
②当时，，，递减；
，，递增．有极小值；
（Ⅱ）时，
当时，取，等号成立；
当时，取，等号成立．
由此可知，在，上的最大值为．
（Ⅲ）即为，此时，，从而
取，，则，并且．
由此可知，满足条件的最大值为1．
10．已知函数．
（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分别记为（a），（a），求（a）（a）；
（Ⅱ）设，若对，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
①当时，在，单调递减，则（a），
（a）（1），此时（a）（a）；
②当时，在，单调递增，
则（a）（1），（a），此时（a）（a）；
③当时，，
此时在，单调递减，在，单调递增，
则（a）（a），（a），（1），，此时（a）（a）；
因此（a）（a），
（Ⅱ）原问题等价于，由（Ⅰ）知
①当时，则，
即，此时；
②当时，则，
即，此时，此时；
③当时，则（a）（a），，即，
此时；
由得和，此时，
因此．
11．函数．
（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）已知函数在上不单调．
①记在，上的最大值、最小值分别为（a），（a），求（a）（a）；②设，若对任意实数，都成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
当时，，，递增；
当时，，，
由题意可得时，在恒成立，
故的取值范围是，；
（2）①由在在上不单调，可得．
当时，，
，，在，递减，
可得取得最大值，（1）取得最小值．
即有（a），（a），则（a）（a）；
当时，在，递减，，递增，
则的最小值为，最大值为1；
当时，在，递减，，递增，
，（1）
即有（1），
则的最小值为（a），最大值为；
当时，在，递减，，递增，
即有（1），
则的最小值为（a），最大值为．
综上可得，（a）（a）；②设，若对任意实数，都成立，
即有，对任意实数，都成立．
当时，，且，
即有，即，的范围是，；
当时，可得，且，
即有，可得的范围是，；
当时，可得，且，
即有，可得的范围是，．
综上可得的范围是，．
12．函数，在，上的最大值为（a），最小值为（a）．
（1）求（a）（a）（a）；
（2）设，若对，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）；
①当时，在，上，
，
（a），
（a）（1）；
（a）（a）（a）；
②当时，
在，上单调递增，在，上单调减，
且（1），，
（2）；
故（a），
（a）（1）；则（a）（a）（a）；
③当时，
在，上单调递增，在，上单调减，
且（a），，
（2）；
故（a），
（a）（a）；
则（a）（a）（a）；
④当时，
在，上单调递增，在，上单调减，
且（a），，
（2）；
故（a）（2），
（a）（a）；
则（a）（a）（a）；
⑤当时，
在，上单调递增，在，上单调减，
且，，
（2）；
故（a）（2），
（a）；
则（a）（a）（a）；
⑥当时，在，上，
，
（a）（2），
（a）；
（a）（a）（a）；综上所述，（a）．
（2）可化为，
故对，恒成立可化为对，恒成立，
①时，（a），（a）（1）；
故，且，
从而解得，，
②当时，（a），（a）（a）；
故，且，
则；
③当时，（a）（2），（a）（a）；
故，且，
故，
④当时，（a）（2），（a）；
故，且，
则，
综上所述，．
13．已知函数
（1）当时，求的单调递增区间
（2）设在，上的最大值为（a），最小值为（a），若（a）（a），求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，
当时，函数在，为递增；
的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，当时，函数为减函数，
综上所述：时，求的单调递增区间为，；
（2）函数，
当时，
当时，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；
当时，的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；
故在，上的最大值为（a），最小值为（a）（1），
此时（a）（a）恒成立，
当时，
当时，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，函数在，上为减函数，在，为增函数；
当时，的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；
由，（1），
若，（1），
故在，上的最大值为（a），最小值为（a）（1），
此时（a）（a）恒成立，
若，（1），
故在，上的最大值为（a），最小值为（a），
此时（a）（a）无解，
综上所述，
14．已知函数
（1）若关于的方程在区间，上有两个不同的解，
①求的取值范围；②若，求的取值范围；
（2）设函数在区间，上的最大值和最小值分别为（a），（a），求（a）（a）（a）的表达式．
【解答】解：（1）由，，，
得．
①作出函数图象，
由函数的最小值为1，最大值为．
在区间，上有两个不同的解，可得，
故的取值范围是．
②，，，
则有，即，
又，，，
故的取值范围是，．
（2），
当时，有，，在，上为减函数，
则（a）（2）．
当时，有，，在，上为减函数，在，上为增函数，
此时（a），（a），（2），
则（a）
当时，有，，在，上为减函数，在，上为增函数，此时（a）（1），（a），（2），
则（a）．
当时，有，，在，上为增函数，在，上为减函数，
在，上为增函数，
此时（a），（1），
（a），（2），
则（a）．
当时，有，，在，上为增函数，
则（a）（2）．
则（a）．