湖北省鄂东学校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.
【详解】，令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
2. 函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
3. 若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选：D.
4. 已知函数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得，
当，，为减函数，
当，，增函数，
又，则.
故选：C
5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案.
【详解】由函数的图象可知为单调递增函数，
故函数在每一处的导数值，即得，
设，则连线的斜率为，
由于曲线是上升的，故，
作出曲线在处的切线，设为，连线为，
结合图象可得的斜率满足，
即，
故选：B
6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由在上恒成立，再转化为求函数的最值得参数范围．
【详解】由题意，得，因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
令，则，
令，得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以的最小值为，所以，即的取值范围为.
故选：D.
7. 若数列的前n项和满足，则（ ）
A. 数列为等差数列
B. 数列为递增数列
C. ，，不为等差数列
D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值即可判断C，利用对勾函数的性质即可判断D.
【详解】当时，，
当时，，∴，
对于A：不满足，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，,故C不正确；
对于D：当时，，
当时，，
根据对勾函数的性质知在时单调递增，
则当时，有最小值，故的最小值为．故D正确.
故选：D．
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解.
【详解】由题意得，，即，
令，因为，，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则.
令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为.
故选：B
二、多选题
9. 下列函数的导数计算正确的是（ ）
A. 若函数，则
B. 若函数（且），则
C. 若函数，则（e是自然对数的底数）
D. 若函数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.
【详解】对于A，，所以，A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，C正确，
对于D，，D正确，
故选：BCD
10. 数列中，，，若，都有恒成立，则（ ）
A. 为等差数列B. 为等比数列
C. D. 实数的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数列的递推公式以及可证明是公差为2的等差数列，即可得，可判断A正确，B错误，C正确；由不等式恒成立可得的最大值，再由数列的单调性即可判断D错误.
【详解】对于AB，根据题意可得，
即可得，所以是公差为2的等差数列，即A正确，B错误；
对于C，易知，所以，
此时可得，即，所以C正确；
对于D，由不等式可得，即；
不妨设数列，则，
，
所以当时，，可得；
当时，，可得；
即可得，，即第8项最大为，
所以的最大值即可，即，即实数的最小值为，D错误；
故选：AC
11. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.
故选：BD.
三、填空题
12. 函数在区间上的平均变化率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
13. 设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可.
【详解】
设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，
，，；由已知有：，点在椭圆上，
根据椭圆定义有：，所以，，
在中，，，
，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，
设，则，，在中由余弦定理有：
,
解得，即.
故答案为：
14. 设，定义为的导数，即，，若的内角A满足，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．
【详解】因为，，
所以，，
，，
，，
所以具有周期性，且周期为，
由，，
得，
因为，
所以
，
所以，因为，所以，可得.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知点和圆．
（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程；
（2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.
【小问1详解】
解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径，
因为直线过点，且被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离为，
①当直线的斜率存在时，设其方程为，
即，则，解得，
故直线的方程为，即；
②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意.
综上所述，直线的方程为或．
【小问2详解】
解：设点，因为，则点为线段的中点，
设点，由中点坐标公式可得，可得，即点，
因为点在圆上运动，则，可得，
故点的轨迹方程为．
16. 如图，直三棱柱中，，且．
（1）证明：平面；
（2），分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】16. 证明见解析
17.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明可得平面.
（2）设，求出平面与平面的法向量，根据条件求值.
【小问1详解】
设，
如图，以为轴正半轴建立空间直角坐标系，
则，
所以
所以
又平面，所以平面.
【小问2详解】
设，
∴，
，
设平面的一个法向量为，
，即，
令，得，
又平面的一个法向量为，
解得或（舍），即.
17. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
（1）若为等差数列，求；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解.
（2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解.
【小问1详解】
由题意，
当时，，
两式相减得，
因为为等差数列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，则，但这与矛盾，舍去，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
而当时，，所以此时，
所以此时，
而也满足上式，
综上所述，的前项和.
18. 欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.
（1）求的方程;
（2）设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由题意，结合椭圆的性质，求得点的坐标，代入椭圆方程，即可求解；
（2）首先设直线的方程为,与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求解直线的定点，并根据几何关系，求点到直线距离的最大值.
【小问1详解】
不妨设是的右焦点,
则轴,
又,
,
不妨设点,则,
又,
的方程为.
【小问2详解】
设,直线的方程为,
由，整理得,
则
故,
点在以MN为直径的圆上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,
当时,直线,过定点,
易知点椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线恒过定点
点到距离最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求得直线所过的定点.
19. 函数.
（1）若函数在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；
（2）由（1）可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；
（3）由（1）知，在时，，．结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．
【小问1详解】
由得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，，
，解得，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，
，由得
，
即，恒成立.
令，则上述问题等价于函数在上单调递减，
又在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值为，故得.
【小问3详解】
由（1）知，在时，.
结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数符合题意，其中.
故只要证明在内有一解，即在内有一解，
令，则
由得，，
当时，，当时，，
在上，
又
存在，使得，满足
，即在内有一解.
综上所述，存在实数，满足当时的值域为.
【点睛】（1）利用导数研究具体函数单调性的步骤：①明确定义域；②求导；③令导数等于零；④结合导数的零点，分割定义域，分别研究不同区间上导数与零的大小；⑤根据导数与单调性的关系，可得结论.
（2）证明双变量不等式常用方法——构造函数，利用导数研究新函数的单调性，可得证.