中考数学一轮复习：专题21.7 反比例函数的图象与性质（二）【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题21.7 反比例函数的图象与性质（二）【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版），共67页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11333" 【题型1 反比例函数图象的对称性】 PAGEREF _Tc11333 \h 1
\l "_Tc28605" 【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】 PAGEREF _Tc28605 \h 6
\l "_Tc1991" 【题型3 两种函数图象的共存问题】 PAGEREF _Tc1991 \h 8
\l "_Tc11269" 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 PAGEREF _Tc11269 \h 11
\l "_Tc32549" 【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】 PAGEREF _Tc32549 \h 18
\l "_Tc30566" 【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】 PAGEREF _Tc30566 \h 24
\l "_Tc26162" 【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】 PAGEREF _Tc26162 \h 32
\l "_Tc19921" 【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 PAGEREF _Tc19921 \h 42
\l "_Tc2780" 【题型9 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc2780 \h 50
\l "_Tc2103" 【题型10 反比例函数中的规律问题】 PAGEREF _Tc2103 \h 62
【知识点 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【题型1 反比例函数图象的对称性】
【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．

【答案】1
【分析】设反比例函数解析式y=kx，由题意可得：P点坐标为：(1,1)，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式y=kx，
由题意可得：P点坐标为：(1,1)，
故图中阴影部分的面积为：1×1=1．
故答案为：1．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．
【答案】y=−43x
【分析】首先根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，即可求得圆的半径，再根据两点间距离公式，可得a2=4，据此即可求解．
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，
解得：r=4．
∵点A3a,−a是反比例函y=kx的图象与⊙O的一个交点．
∴−3a2=k且−3a2+−a2=r，
∴a2=4．
∴k=−3×4=−43，
则反比例函数的解析式是：y=−43x．
故答案为：y=−43x．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，熟练掌握和运用反比例函数图象的性质是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk≠0经过点A1,2，B2,m．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析
【分析】将点A代入y=kxk≠0中求出k，再将点B代入y=2x中，求出点B坐标，求出OA，OB的长，根据对称性得到OA=OB=OC=OD，即可证明结论．
【详解】解：将A1,2代入y=kxk≠0中，得：
k=2，
∴y=2x，将B2,m代入y=2x中，
∴m=22=1，即B2,1，
∴OA=12+22=5，OB=12+22=5，
∴OA=OB，
由反比例函数对称性可得：OA=OC，OB=OD，
即OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出OA和OB的长，熟练运用矩形的判定定理．
【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．
【答案】 6 92
【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32，
由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S阴影=6．设点C（m，0）m＞0．则P（m，am），A（m，bm），B（bma,am），即可求得AP＝3m,BP=3ma，利用三角形面积公式得到12AP·BP=12×3m×3ma=3，，解得a＝1．5，进一步求得b=92．
【详解】
连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，
设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，am），B（m，bm）
∴OC=m，PC=am，BC=bm
∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b
∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32
∵P、Q关于原点成中心对称，
∴OP=OQ
∴S△BPO＝S△BQO
∴S△BPQ＝2S△BOP＝3
同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3
所以S阴影＝S△POP+S△POA=3+3=6
设点C（m，0）m＞0．
则P（m，am），A（m，bm），B（bma，am），
∴AP＝bm−am=3m，BP=bma−m=b−ama=3ma，
∵S△APB＝3，
∴12AP·BP=12×3m×3ma=3，
∴a＝32，
∵b−a＝3，∴b＝92，
故答案为：6，92．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】
【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1）xm2−5的图象在第一、三象限，求m的值．
【答案】2
【分析】根据反比例函数的定义可知m2﹣5＝﹣1，又根据图象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范围．
【详解】解：∵y=2m+1xm2−5是反比例函数
∴m2﹣5＝﹣1，
解得：m＝2 或m＝﹣2，
∵反比例函数y=2m+1xm2−5的图象在第一、三象限，
又 2m+1＞0，解得：m＞−12，
∴m＝2．
【点睛】本题考查反比例函数的定义与图象性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函数的定义以及图象的性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A−3,8．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x取何值时，y=23．
【答案】(1)y=−24x
(2)x=−36
【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：y=kxk≠0，将点A代入表达式即可求解；
（2）将y=23代入（1）所求表达式即可求解；
【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：y=kxk≠0；
将A−3,8代入y=kx得，
8=k−3，解得k=−24：
∴y=−24x．
（2）将y=23代入y=−24x中，
23=−24x，解得：x=−36．
【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图象在第二、四象限，则m的值是 ．
【答案】−1
【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可．
【详解】∵是反比例函数，
∴m2-2=-1，
解得m=1或-1，
∵图象在第二、四象限，
∴2m-1＜0，
解得m＜0.5，
∴m=-1，
故答案为-1．
【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝kx（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0．
【变式2-3】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1=(m+1)x3−m2的图象如图所示．
（1）求m的值；
（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是 ；
（3）当直线y2＝﹣x与双曲线y1=(m+1)x3−m2交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？
【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1
【分析】（1）根据反比例函数的定义以及性质，即可得到m的值；
（2）直接根据反比例函数的图象进行解答即可．
（3）解析式联立求得A、B的坐标，然后根据A、B的坐标，然后观察函数图象求解．
【详解】解：（1）反比函数y1=(m+1)x3−m2在二四象限，
∴m+1<0且3−m2=−1，
解得m=−2；
（2）由（1）可知反比例函数为y=−1x，
∵由反比例函数的图象可知，当−1∴当−11，
∵当x>0时，函数图象在第四象限，
∴y<0，
∴当x>−1时，y的取值范围是y>1或y<0．
故答案为y>1或y<0；
（3）联立解析式得方程组y=−xy=−1x解得x=1y=−1或x=−1y=1，
∴A(−1,1)，B(1,−1)，
由图象可知：当x<−1或0y1．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合思想解本题的关键．
【题型3 两种函数图象的共存问题】
【例3】（2023春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象逐项分析，判断出a、b的符号，与ab<0进行对比，问题得解．
【详解】解：A. 由图象可知：a>0,b>0，所以ab>0，与ab<0不一致，故A选项错误，不合题意；
B. 由图象可知：a<0,b>0，所以ab<0，与ab<0一致，故B选项正确，符合题意；
C. 由图象可知：直线不经过原点，与已知正比例函数y=ax不一致，故C选项错误，不合题意；
D. 由图象可知：a<0,b<0，所以ab>0，与ab<0不一致，故D选项错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，正确根据正比例函数、反比例函数图象确定比例系数的取值范围是解题关键．
【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．
【详解】解：由反比例函数y=4x与一次函数y=x+1可知，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过一、二、三象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，关于x的函数y=−kx(k≠0)和y＝kx－k，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】解：当k＞0时，函数y=kx-k的图象在第一、三、四象限，反比例函数y=−kx的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误；
当k＜0时，函数y=kx-k的图象在第一、二、四象限，反比例函数y=−kx的图象在第二、四象限，故选项A错误；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．
【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．
【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，
∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故A选项不符合题意；
B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，
∴kb＞0，
∴反比例函数经过一、三象限，
故B选项不符合题意；
C选项中，一次函数b=0，
∵kb≠0，
故C选项不符合题意；
D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，
∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系是解题的关键．
【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】
【例4】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线y=x−1对称后的图象经过直线y=−x+5上的点C，则线段AC的长度为 ．

【答案】2或42
【分析】根据题意求得反比例函数解析式为y=4x，得到A1,4和B4,1，根据反比例函数的对称轴的平移规律得到反比例函数上的点的平移规律，即可根据勾股定理求得两点间距离，
【详解】解：∵一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，
故将x=1代入一次函数y=−x+5得y=4，故点A1,4，
将A1,4代入反比例函数y=kx，得k=4，故反比例函数的解析式为y=4x；
令−x+5=4x，整理得x2−5x+4=0，解得x1=1，x2=4，
将x=4代入一次函数y=−x+5得y=1，故点B4,1；
故点A与点B关于直线y=x对称，
∵反比例函数y=4x关于直线y=x对称，
则直线y=x关于直线y=x−1对称后的图像为直线y=x−2；
令反比例函数y=4x的图像关于直线y=x−1对称后的图象为y′，y′的图象关于直线y=x−2对称
故y′的图象可以看做是由反比例函数y=4x进行平移得到，
原点O关于直线y=x−2的对称点O′1,−1，如图：

故直线y=x−2可以看做直线y=x每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移2个单位），
则y′的图象可以看做是由反比例函数y=4x图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移2个单位），
则点A1,4平移之后的坐标为A′2,3，
点B4,1平移之后的坐标为B′5,0，
即反比例函数y=4x的图像关于直线y=x−1对称后的图象经过直线y=−x+5上的点C的坐标为2,3或5,0，
线段AC的长度为1−22+4−32=2，或1−52+4−02=42；
故答案为：2或42．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数的平移，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=kx的图象有一个交点P的横坐标是2．
(1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；
(2)直接写出y1>y2>0的解集为________________．
(3)根据图象，直接写出当−4【答案】(1)k=8，另一个交点坐标为(−2,−4)；
(2)x>2；
(3)−8【分析】（1）求出横坐标为2的交点的纵坐标，再代入反比例函数yy2=kx即可求k，由正比例函数与反比例函数对称性可得另一个交点坐标；
（2）画出图象观察即可得到答案．
（3）根据函数图象可知，在每一象限内，y2随x的增大而减小，分别求出x=−4和x=−1时y2的值，即可得出y2的取值范围．
【详解】（1）在y1=2x中令x=2得y=4，
∴正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=kx的图象交点的横坐标是2的交点为(2,4)，
∴4=k2，解得k=8，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，
∴它们的交点也关于原点对称，
∴另一个交点为(−2,−4)；
（2）由函数图象可知，y1>y2>0的解集是：x>2．
故答案为：x>2．
（3）∵y2=8x中，8>0，
∴在每一象限内，y2随x的增大而减小，
当x=−4时，y=−2；当x=−1时，y=−8．
∴当−4故答案为：−8【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数图象交点及大小比较，解题的关键是要掌握二者的对称性和数形结合比较大小的方法．
【变式4-2】（2023春·江苏·九年级期末）如图，反比例函数图象l1的表达式为y=k1x(x>0)，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k1k2的值为 ．
【答案】89
【详解】利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出k1k2的值．
解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x=1对称，
∴反比例函数l2为：y=k12−x，
∵直线y=k2x与l2交于A，B两点，
∴y=k2xy=k12−x，
整理得：x2−2x+k1k2=0，
∴xA+xB=2，xAxB=k1k2（根与系数的关系），
∵A为OB中点，
∴2xA=xB，
∴xA+2xA=2，
∴xA=23，xB=43，
∴k1k2= xAxB=23×43=89．
故答案为：89．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，求出函数l2的解析式是解题关键．
【变式4-3】（2023春·江苏·九年级期末）如图，已知线段AB，A2,1，B4,3.5，现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN．直线y=mx+b过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线y=kx的一条分支上，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)①直接写出不等式mx+b−kx≥0的解集．
②若点P是y轴上一点，且△PMN的面积为8.5，请直接写出点P的坐标．
(3)若点Cx1,a，Dx2,a−2在双曲线y=kx上，试比较x1和x2的大小．
【答案】(1)y=−10x，y=54x−152；
(2)①x≥4或0(3)当a>2或a<0时，x1>x2；当0【分析】（1）设线段AB沿y轴方向向下平移t个单位得到线段MN，则点M、N的坐标分别为2,1−t、4,3.5−t，将点M、N的坐标代入y=kx，得：k=21−t=43.5−t，解得t=6，再将点M、N的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求解；
（2）①观察函数图象，结合点M、N的坐标，即可求解；
②设直线MN与y轴的交点为C，先求出C0,−152，再根据S△PMN=S△PCN−S△PCM，求出PC的长，即可得到点P的坐标；
（3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得：ax1=−10，a−2x2=−10，则x1−x2=20aa−2，根据a的取值分情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：设线段AB沿y轴方向向下平移t个单位得到线段MN，
∴点M、N的坐标分别为2,1−t、4,3.5−t，
将点M、N的坐标代入y=kx得：k=21−t=43.5−t，
解得：t=6，
∴点M、N的坐标分别为2,−5、4,−2,5，
∴k=2×−5=−10，
∴反比例函数表达式为：y=−10x，
将点M、N的坐标代入一次函数表达式，得−5=2m+b−2.5=4m+b，
解得：m=54b=−152，
∴一次函数表达式为：y=54x−152；
（2）解：①观察函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方或相交的部分即为不等式解集，
∴不等式m+b−kx≥0的解集为x≥4或0②设直线MN与y轴的交点为C，
令x=0，则y=−152，
∴C0,−152
如图，当点P在点C上方时，S△PMN=S△PCN−S△PCM,
∵△PMN的面积为8.5，
∴S△PMN=12PC⋅xN−12PC⋅xM=12PCxN−xM=12PC×4−2=8.5
解得PC=172，
∴P0,1；
如图，当点P′在点C下方时，同理可得，P′C=172，
∴P0,−16，
综上可知，点P的坐标为0,1或0,−16；

（3）解：将点Cx1,a，Dx2,a−2分别代入反比例函数y=−10x，
得：ax1=−10，a−2x2=−10，
则x1−x2=10a−2−10a=20aa−2，
当20aa−2>0时，即a>2或a<0时，x1>x2；
当20aa−2<0时，即0【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的性质等知识点，体现了方程思想，综合性较强，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】
【例5】（2023春·江西·九年级统考期中）如图，直线y=−x+k与反比例函数y=kxx>0的图像交于A，B两点，则下列结论错误的是（ ）
A．OA=OBB．当A，B两点重合时，k=4
C．当k=6时，OA=26D．不存在这样的k使得△AOB是等边三角形
【答案】D
【分析】先联立联立y=−x+ky=kx得到x2−kx+k=0，设A点坐标为（x1，−x1+k），B点坐标为（x2，−x2+k），然后分别求出OA，OB，即可判断A；根据A、B重合，则方程x2−kx+k=0只有一个实数根，即Δ=−k2−4k=0，由此即可判断B；把k=6代入OA2=k2−2k中即可判断C；若△AOB是等边三角形，则OA=AB，然后求出AB的长，令AB=OA，求出k的值，即可判断D．
【详解】解：联立y=−x+ky=kx得到x2−kx+k=0，
设A点坐标为（x1，−x1+k），B点坐标为（x2，−x2+k），
∴OA2=x12+−x1+k2=2x12−2kx1+k2，OB2=x22+−x2+k2=2x22−2kx2+k2，
∵A、B是直线与反比例函数的两个交点，
∴x12−kx1+k=0，x22−kx2+k=0，
∴x12−kx1=−k，x22−kx2=−k，
∴OA2=k2−2k=OB2，
∴OA=OB，故A选项不符合题意；
∵A、B重合，则方程x2−kx+k=0只有一个实数根，
∴Δ=−k2−4k=0，
解得k=4或k=0（舍去），故B选项不符合题意；
当k=6时，OA2=k2−2k=36−12=24，
∴OA=26，故C选项不符合题意；
若△AOB是等边三角形，则OA=AB，
∵x1+x2=k，x1x2=k
∴AB2=x1−x22+−x1+k−−x2+k2，
=2x1−x22
=2x1+x22−8x1x2
=2k2−8k，
∴2k2−8k=k2−2k，
解得k=6或k=0（舍去），
∴存在k=6，使得△AOB是等边三角形，故D选项符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，两点距离公式，等边三角形的性质，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函数y=2x图象上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当|AP−BP|达到最大时，点P的坐标是 ．
【答案】(3,0)
【分析】求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
【详解】解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=2x得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：{2=k+b1=2k+b，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
即P（3，0）．
故答案为（3，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，熟练掌握三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置．
【变式5-2】（2023春·江西上饶·九年级校联考期末）如图，直线y=−x＋3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD，双曲线y=kx在第一象限经过C，D两点，则k的值是（ ）
A．6B．274C．272D．27
【答案】B
【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为E，由条件易得△ADE是等腰直角三角形，由AB=2AD进而可求得点D的坐标，则可求得k的值．
【详解】解：过点D作x轴的垂线，垂足为E，如图，
对于y=−x＋3，令x=0，则y=3；令y=0，则x=3；
∴OA=OB=3，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=180°−∠OAB−∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴EA=ED，
∵AB=OA2+OB2=32，AB=2AD，
∴AD=12AB=322，
由勾股定理得：EA=ED=22AD=32，
∴OE=OA+EA=92，
∴D92,32；
∵D点在双曲线y=kx上，
∴k=xy=92×32=274；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求反比例函数的比例系数，直线与坐标轴的交点，矩形的性质等知识，其中求出点D的坐标是关键．
【变式5-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，OBOA=2，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C，当△ACD面积为1时，k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据OBOA=2 ，得到OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，设直线AB的解析式是y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，根据题意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐标，再根据S△ACD=S△AOD−S△AOC求解即可．
【详解】解：∵OBOA=2 ，
∴OB=2OA，
设OA=a，则OB=2a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：ak+b=0b=2a ，
解得：k=−2b=2a ，
则直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，
∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
CE=OE=12OA=12a，
∴OD的解析式是y=x，
根据题意得：y=xy=−2x+2a ，
解得：x=23ay=23a ，
则D的坐标是（23a，23a），
∴CE=OE=12OA，
∴C的坐标是（12a，12a），
∴S△AOC=12AO·CE=14OA2=14a2，S△AOD=12AO·23a=13a2
∴S△ACD=S△AOD−S△AOC=13a2−14a2=112a2=1，
∴a2=12，
∴k=12a·12a=14a2=3，
故选C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点，反比例函数比例系数的几何意义，三角形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】
【例6】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kxk>0, x>0的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则S△BCDS△OAD的值为（ ）

A．53B．32C．52D．3
【答案】B
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，设Am,0，Bm,m，且m>0，得到Cm2,m2，推出k=m24，再由Dm,m4，求出S△OAD=12OA⋅AD=12×m×m4=m28，S△BCD=12×m2×34m=3m216，由此得到答案．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于E，

∵∠OAB=90°，AO=AB，△OAB的边OA在x轴正半轴上，
∴设Am,0，Bm,m，且m>0，
∴AO=AB=m，
∵点C为斜边OB的中点，
∴Cm2,m2，
∴OC=CE=m2，
∵反比例函数y=kx的图象过点C，
∴m2=km2，
∴k=m24，
∴y=m24x，
∵∠OAB=90°，点D在线段AB上，
∴点D的横坐标为m，
∵反比例函数y=m24x的图象过点D，
∴当x=m时，y=m24m=m4，
∴Dm,m4，
∴AD=m4，AE=m−m2=m2，BD=m−m4=34m，
∴S△OAD=12OA⋅AD=12×m×m4=m28，S△BCD=12×m2×34m=3m216
∴S△BCDS△OAD=316m2m28=32．
故选B．
【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为62，则点C的坐标为 ．

【答案】22,4
【分析】设Dt,kt，利用线段中点坐标公式得到B2t,2kt，再利用BC∥OA得到C点的纵坐标为2kt，所以C12t,2kt，于是得到BC=32t，接着利用菱形的面积公式得到32t⋅2kt=62，然后解方程即可．
【详解】解：设Dt,kt，
∵D为OB的中点，
∴B2t,2kt，
∵四边形ABCO为菱形，
∴BC∥OA，
∴C12t,2kt，
∴BC=2t−12t=32t=OC，
∵菱形OABC的面积为62，
∴ 32t⋅2kt=62，解得k=22．
由两点距离公式可得：12t2+22t2=32t2，
解得：t=2，（负根舍去），
∴C22,4
故答案为22,4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征．也考查了菱形的性质．
【变式6-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1，0，点D4，4在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC、AE．

(1)求k、b的值．
(2)求△ACE的面积．
(3)已知点M在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，点M的横坐标为m．若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为___________．
【答案】(1)k=16，b=−2
(2)6
(3)08
【分析】（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，如图所示，由菱形的性质及勾股定理可知B(6,0)，C(9,4)；将点D(4,4)代入反比例函数y=kx，求出k；将点C(9,4)代入y=23x+b，求出b；
（2）求出直线y=23x−2与x轴和y轴的交点，利用平面直角坐标系中三角形面积的求法即可求出△AEC的面积；
（3）求出直线ME的表达式，并得到直线ME与x轴和y轴的交点，即可求出△MAE的面积，利用面积相等列方程求解，在由点M的变化，根据S△MAE>S△ACE求出范围即可得到答案．
【详解】（1）解：过点D作DF⊥x轴，垂足为F，如图所示：

∵点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)，
∴OA=1，OF=4，DF=4，
∴AF=3，
由勾股定理可得AD=32+42=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OA+AB=1+5=6，
∴B(6,0)，C(9,4)，
∵点D(4,4)在反比例函数y=kx的图像上，
∴k=4×4=16，
将点C(9,4)代入y=23x+b，
∴b=−2；
（2）解：由（2）得y=23x−2，
对于y=23x−2，令x=0，则y=−2，
∴E(0,−2)，
令y=0，则x=3，
∴直线y=23x−2与x轴交点为(3,0)，
∴ S△AEC=12×3−1×4−−2=6；
（3）解：点M在反比例函数y=16x(x>0)的图像上，点M的横坐标为m，如图所示：

∴Mm,16m，
∵ E(0,−2)，
设直线ME的表达式为y=k′x+b′，则16m=mk′+b′b′=−2，解得k′=16m2+2mb′=−2，
∴直线ME的表达式为y=16m2+2mx−2，
∴直线y=16m2+2mx−2与x轴交点为m2m+8,0，
由图可知，S△MAE=12AE⋅ℎ（ℎ为动点M到直线DE的距离），分两种情况分析：
①若点M在直线DE右侧，ℎ随着点M沿着y=16x(x>0)图像向上运动而减小；随着点M沿着y=16x(x>0)图像向下运动而增大，
当S△MAE=S△ACE时，12m2m+8−116m+2=6，即m2−7m−8=0，根据十字相乘法对m2−7m−8因式分解得到m−8m+1=0，
∵m>0，1>0
∴m+1>0，
∴根据两个数（式）相乘结果为0，若其中一个不等于0，则另一个数（式）必定为0，则m−8=0，解得m=8；
∴M8,2，
∴若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为m>8；
②若点M在直线DE左侧，ℎ随着点M沿着y=16x(x>0)图像向上运动而增大，
当S△MAE=S△ACE时，121−m2m+816m+2=6，即m2+5m−8=0，配方得到m2+5m−8=m+522−574，则m+522=574，直接开平方得m=−52−572或m=−52+572，
∵m>0，
∴m=−52−572舍弃，取m=−52+572
∴若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为0综上所述，若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为08，
故答案为：08．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图像及性质，菱形的性质，平面直角坐标系中三角形面积求法，因式分解，配方及开平方运算等知识，能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于Aa,−2，B两点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
(3)将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．
【答案】(1)y=6x
(2)C点的横坐标为−1+132或−3+212
(3)点E的坐标为2,−4
【分析】1将点Aa,−2代入y=2x+4，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案；
2首先求出点B的坐标，分情况讨论：在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，或在点M上方的y轴上取ME=2，过点E作CE∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，根据平行关系可得直线CD的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
3由平行四边形和反比例函数的对称性可知B与D，A与F关于原点对称，即可求得D3,2，根据B、F的坐标得到平移的距离，从而求得点E的坐标．
【详解】（1）解：将点Aa,−2代入y=2x+4得，−2=2a+4，
解得a=−3，
∴A−3,−2，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k=−3×−2=6，
∴反比例函数解析式y=6x；
（2）解：列方程组y=2x+4y=6x，
解得x=−3y=−2或x=1y=6，
∴B1,6，
如图，设直线y=2x+4与y轴交于M，

∴M0,4，
∵点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，
∴点C到直线AB的距离是点O到直线AB距离的一半，
如图，在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，此时点C到直线AB的距离是点O到直线AB距离的一半，
∴直线CD的解析式为y=2x+2，
∴2x+2=6x，
解得x1=−1+132，x2=−1−132 (舍)，
∴C点的横坐标为−1+132，
在点M上方的y轴上取ME=2，过点E作CE∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
同理可得C点的横坐标为−3+212，
综上：C点的横坐标为−1+132或−3+212；
（3）解：由题意可知AB=DF， AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，B与D，A与F关于原点对称，
∴F3,2，
∵B1,6，
∴点B向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点F，
∴点E的坐标为2,−4．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】
【例7】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

【尝试初探】
（1）点C2，3______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，则b=______；
【深入探究】
（2）①若“美好点”Em，6m>0在双曲线y=kx（k≠0，且k为常数）上，则k=______；
②在①的条件下，F2，n在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点Px，y是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（x>0）的图像平移得到；
③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择）
A．图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点；
B．y随着x的增大而减小；
C．y随着x的增大而增大；
D．图像经过点10，32；
④对于图像上任意一点x，y，代数式2−x⋅y−2是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）不是，4；（2）①18；②152；（3）①y=4x−2+2（x>2）；②图见解析，y=4x；③AB；④是为定值，定值为−4
【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到2×4+b=4b，进行计算即可得到b的值；
（2）①根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点F的坐标，再用待定系数法求出直线EF的解析式，令直线EF与x轴交于点G，当y=0时，求出点G的坐标，最后根据S△EOF=S△FOG−S△EOG进行计算即可；
（3）①根据“美好点”的定义可得2x+y=xy，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由y=4x平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将y=4x−2+2代入2−x⋅y−2进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6，
∴点C2，3不是“美好点”，
∵点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，
∴2×4+b=4b，
解得：b=4，
故答案为：不是，4；
（2）①∵ Em，6m>0是“美好点”，
∴2×m+6=6m，
解得：m=3，
∴E3，6，
将E3，6代入双曲线y=kx，
得k=18，
故答案为：18；
②∵ F2，n在双曲线y=kx上，
∴n=182=9，
∴F2，9，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
∴2a+b=93a+b=6，
解得a=−3b=15，
∴直线EF的解析式为：y=−3x+15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y=0时，−3x+15=0，
解得：x=5，
∴G5，0，
画出图如图所示：

∴S△EOF=S△FOG−S△EOG=12×5×9−12×5×6=152；
（3）①∵点Px，y是第一象限内的“美好点”，
∴2x+y=xy，
化简得：y=2xx−2=4x−2+2，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴x>02xx−2>0x−2≠0，
解得：x>2，
∴ y关于x的函数表达式为：y=4x−2+2（x>2）；
②画出草图如图所示：

该图像可由y=4x向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：y=4x；
③由图象可得：
A.图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意；
B.由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意；
C.y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意；
D.当x=10时，y=52，所以图像经过点10，52，故该选项说法错误，不符合题意
故选：AB；
④∵ y=4x−2+2，
∴2−xy−2=2−x4x−2+2−2=−4，
∴对于图像上任意一点x，y，代数式2−x⋅y−2是为定值，定值为−4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·湖北荆州·九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2−xx的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；
①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）
②函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向________平移________个单位长度而得到；
③函数y=2−xx的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）
(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=2−xx的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值
【答案】(1)0，图见解析
(2)①减小；②下；1；③0,−1
(3)1
【分析】（1）将x=2代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可；
（2）根据图象进行解答即可；
（3）将点代入解析式，结合x1+x2=0进行计算即可．
【详解】（1）解：当x=2时：y=2−22=0，
∴m=0；
如图：
（2）解：如图
①当x＜0时，y随x增大而减小；
②y=2−xx=2x−1，
∴函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向下平移1个单位长度而得到；
③∵y=2x的图象关于原点对称，
∴y=2−xx的图象关于0,−1对称；
（3）把A（x1,y1）,B（x2,y2）代入函数y=2−xx得：
y1=2−x1x1=2x1−1， y2=2−x2x2=2x2−1
∵x1+x2=0，
∴y1+y2+3=2x1−1+2x2−1+3=2(x1+x2)x1x2+1=1．
【点睛】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，将函数y=kxx>0的图像T1向左平移4个单位得到函数y=kx+4x>−4的图像T2，T2与y轴交于点A0,a．
(1)若a=3，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
【答案】(1)k＝12
(2)①正方形ABCD的面积为8；②E−1+17，17−3
【分析】（1）先计算点A平移前的坐标为（4，3），这点在图象T1上，代入函数y＝kx(x＞0)中可得k的值；
（2）①先根据点A（0，a）可得k＝4a，如图2，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，证明△DMA≌△AOB（AAS），表示点D和C的坐标，可解答；
②利用待定系数法可得BC的解析式，与平移后的函数关系式联立方程，解方程可得点E的坐标．
【详解】（1）解：当a＝3时，A（0，3）
∴点A平移前的点的坐标是（4，3）
∴k＝4×3＝12．
（2）解：①把点A（0，a）代入y＝kx＋4中得：a＝k4，
∴k＝4a，
过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示：
∴∠DMA＝90°，
∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAM＋∠BAO＝90°，
∴∠MDA＝∠BAO，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM＝OA＝a，
当x＝a时，y=4aa=4，
∴AM＝4−a，
同理得：△AMD≌△DFC（AAS），
∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a，
∴C（4，4−a），
∴4（4−a）＝4a，
∴a＝2，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8；
②由①得：B（2，0），C（4，2），
设BC的解析式为：y＝mx＋b，
则2m＋b＝04m＋b＝2，解得：m＝1b＝−2，
∴BC的解析式为：y＝x−2，
∴x−2＝8x＋4，
解得：x=−1±17，
∵点E在第一象限，
∴x=−1+17，
∴E−1+17，17−3．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点，平移的性质，三角形全等的性质和判定，正方形的性质等知识，作辅助线，构建全等三角形是解本题的关键，还体现了方程思想，难度适中．
【变式7-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa<0．结合上面经历的学习过程，研究函数y=3+6x−1的图象及其性质，并按要求完成下列各题．
（1）当x=2时，y的值为___________；当y=0时，x的值为___________；函数y=3+6x−1中，自变量x的取值范围是___________；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：____________；
（3）已知函数y=x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式3+6x−1≥x+3的解集____________．
【答案】（1）9，-1，x≠1；（2）图象见解析，当x<−1时，y的值随x的增大而减小；当−1≤x<1时，y的值随x的增大而增大；当x>1时，y的值随x的增大而减小；（3）x≤−2或0≤x<1或1【分析】（1）把x=2和y=0分别代入y=3+6x−1求值即可，根据分式有意义的条件确定x的取值范围即可；
（2）找出几个特殊点进行计算，将图象大致描绘出来，注意图象都在x轴的上方，根据增减性写出函数的性质即可；
（3）根据函数图象得出不等式3+6x−1≥x+3的解集即可．
【详解】解：（1）当x=2时，y=3+62−1=9，
当y=0时，0=3+6x−1，解得，x=−1
函数y=3+6x−1中，自变量x的取值范围是：x≠1；
故答案为：9，-1，x≠1；
（2）如图所示，
性质：①当x<−1时，y的值随x的增大而减小；
②当−1≤x<1时，y的值随x的增大而增大；
③当x>1时，y的值随x的增大而减小；
故答案为：当x<−1时，y的值随x的增大而减小；当−1≤x<1时，y的值随x的增大而增大；当x>1时，y的值随x的增大而减小；
（3）由图象可得，3+6x−1=x+3可得：x1=−2，x2=0，x3=3
∴不等式3+6x−1≥x+3的解集为：x≤−2或0≤x<1或1故答案为：x≤−2或0≤x<1或1【点睛】本题考查了函数的图象与性质，函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键．
【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】
【例8】（2023春·江苏苏州·九年级校考期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？______（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10，xy=12，
联立x+y=10xy=12得x2−10x+12=0，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y=12x与一次函数l1：y=−x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
(2)那么长为3．宽为2的矩形C是否存在完全12倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
(3)如果长为3，宽为2的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围：______．
【答案】(1)不存在
(2)长为3．宽为2的矩形C不存在完全12倍体，利用思路说明原因见解析
(3)k≥2425
【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
（3）设所求矩形的长为x,则所求矩形的宽为：k（3+2）-x,即5k-x,根据新定义“完全N倍体”可得：x2 -5kx+6k=0，再运用根的判别式即可求得答案．
【详解】（1）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．
故答案为：不存在；
[深入探究]
长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，
∵矩形ABCD长为3，宽为2，
∴矩形ABCD的周长为10，面积为6，
[小鸣方程流]设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10.xy=12，
联立x+y=10xy=12，
整理得x2−10x+12=0，
解得：x1=5+13，x2=5−13，
∴新矩形的长为5+13，宽为5−13时，周长为20，面积为12，
∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形．
[小棋函数流]如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10.xy=12，
即y=−x+10，y=12x，
利用反比例函数l2：y=12x与一次函数l1：y=−x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）长为3，宽为2的矩形C的周长为10，面积为6，
[小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=52，xy=3，
联立得x+y=52xy=3，
整理得：2x2−5x+6=0，
∵Δ=(−5)2−4×2×6=−23<0，
∴此方程没有实数根，即长为3.宽为2的矩形C不存在完全12倍体；
[小棋函数流]如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=52.xy=3，
即y=−x+52，y=3x，
利用反比例函数l2：y=3x与一次函数l1：y=−x+52来研究，作出图象，无交点，意味着不存在完全2倍体．
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k(3+2)−x，即5k−x，
由题意得：x⋅(5k−x)=6k，
整理得：x2−5kx+6k=0，
Δ=25k2−24k，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴△≥0，即：25k2−24k≥0，
令y=25k2−24k，为开口向上的抛物线，
则由y=0，可得：25k2−24k=0，
解得：k1=0，k2=2425，
∴当y≥0时，k≤0或k≥2425，
∵k≤0不符合题意，
∴k的取值范围为：k≥2425；
故答案为：k≥2425．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围．
【变式8-1】（2023春·江苏·九年级期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：
12+18_________212×18，3+3_________23×3，6+3_________26×3
（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；
（3）结论应用：
若a＞0，则当a＝_________时，a+4a有最小值；若b＞0，b+9b+1有最小值，最小值为_________；
（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图像上，点B在反比例函数y=−7x（x＜0）的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由
【答案】（1）＞，＝，＞；（2）≥，理由见解析；（3）2，5；（4）存在，最小值16，A(94,4)
【分析】（1）分别计算出左右两边，即可比较大小；
（2）利用完全平方公式可得a+b−2ab=(a−b)2⩾0，即可得出答案；
（3）直接代入（2）中结论可得答案；
（4）设A(m,9m)，B(−7m9，9m)，根据矩形的性质表示出矩形ABCD的周长为2(AB+AD)=32m9+18m，再利用（2）中的结论可得答案．
【详解】解：（1）∵ 12+18=58，212×18=12，
∴ 12+18>212×18，
∵3+3=6，23×3=6，
∴3+3=23×3，
∵6+3=9，26×3=62，
∴6+3>26×3，
故答案为：>，=，>；
（2）∵a+b−2ab=(a−b)2⩾0，
∴a+b⩾2ab，
故答案为：⩾；
（3）当a=4a时，即a=2时，a+4a有最小值；
∵ b+9b+1=b+1+9b+1−1，
∴当b+1=9b+1时，即b=2时，b+9b+1有最小值为2(b+1)⋅9b+1−1=5，
故答案为：2，5；
（4）四边形ABCD的周长存在最小值，理由如下：
设A(m,9m)，B(−7m9，9m)，
∵AB∥ x轴，AD⊥x轴，
∴AB=m+7m9=16m9，AD=9m，
∴四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=32m9+18m，
∵m>0，
∴ 32m9+18m⩾232m9×18m=16，
∴当32m9=18m时，即m=94时，
∴四边形ABCD的周长最小值为16，此时A(94，4)．
【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力和分析、解决问题的能力，是近几年中考的热点问题，解题的关键是利用前面推出的结论解决后面问题．
【变式8-2】（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图1，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象（部分）．特别地，因为y=x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求y=x的图象与y=1x的交点时速用了开平方的定义：y=1xy=x，得x2=1，解得x=±1，则图象交点坐标为1,1或−1,−1．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
(1)请在图2的平面直角坐标系中画出y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．
(2)设函数y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；
(3)设C−1,m，且S△ABC=4，求m．
【答案】(1)见解析
(2)(−2,−1)，(0,1)
(3)±4
【分析】（1）画出函数y=x+1和函数y=1x+1(x≠−1)的图象；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解y=x+1y=1x+1，得x=0y=1或x=−2y=−1，
∴A(−2,−1)，B(0,1)，
故答案为：(−2,−1)，(0,1)；
（3）∵S△ABC=4，
∴ 12×|m|×(0+2)=4，
∴m=±4．
【点睛】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）阅读：若w为正实数，对于某一函数图象上任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若y1−y2≥wx1−x2恒成立，则称这个函数为王氏函数，w为王氏系数．
(1)分别判断y=3x−2和y=1x (x>0)是不是王氏函数；
(2)若y=1x (13＜x＜2)是王氏函数，求w的取值范围；
(3)若y=x3 (a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函数，且w的最大值为27，求a的值．
【答案】(1)y=3x−2是王氏函数，y=1x不是王氏函数
(2)0＜w≤14
(3)3
【分析】（1）利用王氏函数的定义判断即可；
（2）先利用王氏函数的定义化简得到有y1−y2x1−x2≥w恒成立，即1x1x2≥w，再利用x的范围即可得出L的范围；
（3）先利用李氏函数的定义得出结论化简得有y1−y2x1−x2 =x13−x23x1−x2=x12+x22+x1⋅x2≥w，即w≤ x12+x22+x1⋅x2，最后求出a的值．
【详解】（1）由y1−y2≥wx1−x2得
①y1=3x1−2，y2=3x2−2
∴y1−y2=3x1−x2
∴y1−y2x1−x2=3（满足）
②y1=1x1，y2=1x2
∴y1−y2=x1−x2x1x2
∴y1−y2x1−x2= 1x1x2（不是定值，不满足）
∴y=3x−2是王氏函数，y=1x不是王氏函数；
（2）若y=1x(13＜x＜2)是王氏函数，则有y1−y2x1−x2≥w恒成立，即1x1x2≥w
∵13＜x＜2，
设13＜x1＜x2＜2
∴14＜1x1x2＜9
∴w≤1x1x2恒成立
∴w≤12×2=14
故0＜w≤14；
（3）由题y1−y2x1−x2 =x13−x23x1−x2=x12+x22+x1⋅x2≥w
∴w≤ x12+x22+x1⋅x2且wmax=27
∴w≤ x12+x22+x1⋅x2min，a≤x1＜x2≤a+2，
即w≤ 3a2,3(a+2)2min=3a2=27
∴a=3
所求a的值是3．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，解不等式，分类讨论的思想；解本题的关键是理解新定义．
【题型9 反比例函数中的存在性问题】
【例9】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A−2,0，点B0,2，直线AB与反比例函数y=kxx>0的图象在第一象限交于点Ca,4．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点E4,m是反比例函数y=kxx>0图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．
【答案】(1)y=8x
(2)存在，D2,0或D−6,0
(3)点M1,8或83,3
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AB的解析式，再把点C坐标代入求出a，再代入反比例函数解析式即可求出k；
（2）先求出点E坐标，当点D在x轴正半轴上时，由于△ACD的面积与△ACE的面积相等，进而可得DE∥AC，设直线DE的解析式为y=x+c，把点E4,2代入即可求出c，进而可得点D坐标，再根据对称性求出另外一种情况即可；
（3）由题意可知：G4,0，再分两种情况：当点F在M左侧时，如图，作出辅助线构建三垂直全等三角形，证明△QMF≌△HGMAAS，推出QF=MH，GH=QM，设Mt,8t，然后用含t的代数式表示出点F的坐标，再代入直线的关系式求解；当点F在M右侧时，同理求解即可．
【详解】（1）设直线AB的解析式为y=bx+nb≠0
将点A−2,0，B0,2代入，得−2b+n=0n=2，解得b=1n=2，
∴y=x+2，
将点Ca,4代入y=x+2，得a+2=4，解得a=2，
∴C2,4，
将点C2,4代入y=kx，得k=8，
∴y=8x；
（2）把点E4,m代入y=8x，得m=2，
∴E4,2，
当点D在x轴正半轴上时，
设点E到AC的距离为ℎ1，点D到AC的距离为ℎ2
因为△ACD的面积与△ACE的面积相等，所以ℎ1=ℎ2，
∴DE∥AC，
设直线DE的解析式为y=x+c，把点E4,2代入得，c=−2，
∴y=x−2，令y=0得x=2，
∴D2,0．
当点D在x轴的负半轴时，根据对称性可得DA=4，
∴D−6,0，
∴D2,0或D−6,0；

（3）由题意可知：G4,0，
当点F在M左侧时，如图，过点M作QH∥x轴，过点F作FQ⊥QH于点Q，过点G作GH⊥QH于点H，
∴∠MQF=∠MHG=90°，
在正方形MGNF中，∠GMF=90°，MG=MF，
∵∠QMF+∠GMH=90°=∠MGH+∠GMH，
∴∠QMF=∠MGH，
∴△QMF≌△HGMAAS，
∴QF=MH，GH=QM，
∵M在双曲线y=8x上，
∴设点Mt,8t，则QF=MH=4−t，GH=QM=8t，
∴点Ft−8t,8t−4+t，代入y=x+2，得：8t−4+t=t−8t+2，
解得t=83，
∴点M83,3．

当点F在M右侧时，如图，过点M作QH∥y轴，交x轴于点Q，过点F作FH⊥QH于点H，
同理可证△MFH≌△GMQAAS，
∴QG=MH，FH=QM，
∵M在双曲线y=8x上，
∴设点Mt,8t，则QG=MH=4−t，FH=QM=8t，
∴点Ft+8t,8t+4−t，代入y=x+2，得：8t+4−t=t+8t+2，
解得t=1，
∴点M1,8．
综上，点M1,8或83,3．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kx与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)当AB=25时，求k的值；
(2)点B关于y轴的对称点为C，连接AC，BC；
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②当△ABC的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接AP，BP，使△PAB的面积等于△ABC面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k=2；
(2)①△ABC为直角三角形，理由见解析；②点P的坐标为(−2+22，4+42)或(−2−22，4−42)或(2+22，42−4)或(2−22，−42−4)．
【分析】（1）设点B的坐标为(m，2m)，则点A(−m，−2m)，则AB2=(25)2，即可求解；
（2）①点A、C的横坐标相同，AC∥y轴，点B关于y轴的对称点为C，故BC⊥y轴，即可求解；②过点C作直线m∥AB，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在AB下方等间隔作直线n∥AB交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解．
【详解】（1）解∶设点B的坐标为(m，2m)，则点A(−m，−2m)，则：
AB2=m+m2+2m+2m2=(25)2，
解得m=1（负值已舍去），
故点B的坐标为(1，2)，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶2=k1，
解得∶k=2；
（2）解：①△ABC为直角三角形，理由∶
设点B(m，2m)，则点C(−m，2m)，A(−m，−2m)，
∵点A、C的横坐标相同，
∴AC∥y轴，
∴点B关于y轴的对称点为C，
∴BC⊥y轴，
∴AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形；
②由①得∶AC=2m−−2m=4m，BC=2m，
则△ABC的面积=12×4m×2m=16，
解得m=2（负值已舍去），
∴点B的坐标为(2，4)，C的坐标为(−2，4)，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶4=k2，解得k=8，
∴反比例函数表达式为y=8x①；
过点C作直线m∥AB，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，
同样在AB下方等间隔作直线n∥AB交反比例函数于点P，则点P也符合要求．
∵m∥AB，
∴设直线m的表达式为y=2x+t，
将点C的坐标代入4=−4+t，解得t=8，
故直线m的表达式为y=2x+8②，
根据图形的对称性，则直线n的表达式为y=2x−8③，
联立①②并解得∶
:x=−2+22y=4+42 或x=−2−22y=4−42，
联立①③并解得∶
x=2+22y=42−4或x=2−22y=−42−4，
∴点P的坐标为(−2+22，4+42)或(−2−22，4−42)或(2+22，42−4)或(2−22，−42−4)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强．
【变式9-2】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与直线y=k2x+b将于交于A−1,6、B−6,m两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，

(1)求反比例函数及直线AB的解析式；
(2)若S△ABC=25，求点C的坐标；
(3)若点C的坐标为1,0，点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D､E､A､B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−6x；y=x+7
(2)3,0
(3)点E的坐标为−43,7或−23,5或83,−5
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据S△ABC=S△AMC−S△BMC=25，可得12MC⋅yA−yB=25，据此求出MC，进而可得点C的坐标；
（3）分AB､DE为平行四边形的对角线，AD､BE为平行四边形的对角线，以及AE､BD为平行四边形的对角线三种情况，根据平行四边形对角线中点重合列方程组，即可求解．
【详解】（1）解：将A−1,6代入y=k1x，
得k1=−6，
∴反比例函数的解析式为：y=−6x；
将B−6,m代入y=−6x，得m=1，
∴B−6,1，
∵y=k2x+b经过A−1,6､B−6,1两点，
∴6=−k2+b1=−6k2+b，
∴k2=1b=7，
∴直线AB的解析式为y=x+7；
（2）解：在y=x+7中，令y=0，得x=−7，
∴OM=7，
∵S△ABC=S△AMC−S△BMC=25，
∴12MC⋅6−1=25，
∴MC=10，
∴OC=MC−OM=3，
∴点C的坐标为3,0；
（3）解：存在，点E的坐标为−43,7或−23,5或83,−5．
设直线AC的解析式为y=ax+c
则6=−a+c0=a+c，
解得a=−3c=3，
∴直线AC的解析式为：y=−3x+3；
设Dt,0､E−3n+3,0，
当AB､DE为平行四边形的对角线时，AB､DE的中点重合，
∴−1−6=t+n6+1=−3n+3+0，
解得t=−173n=−43，
∴E−43,7；
当AD､BE为平行四边形的对角线时，AD､BE的中点重合，
∴t−1=n−66+0=−3n+3+1，
解得t=−173n=−23，
∴E−23,5；
当AE､BD为平行四边形的对角线时，AE､BD的中点重合，
∴n−1=t−60+1=−3n+3+6，
解得t=233n=83，
∴E83,−5．
综上所述，点E的坐标为−43,7或−23,5或83,−5．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，平面直角坐标系内三角形面积问题以及平行四边形的存在性问题，解题的关键是掌握数形结合思想，第三问注意分情况讨论．
【变式9-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，一次函数y=kx−52k≠0的图像与y轴交于点B，与反比例函数y=mxx>0的图像交于点A8,32，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．
(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；
(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′．
①若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点O′、D′的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线O′C′与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以O′、D′、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点O′的坐标．
【答案】(1)y=12x−52，y=12x；
(2)存在，点E坐标为(3,32)；
(3)①点O′(26，6)，点D′(3+26，4+6)；②点O′的坐标为(10，102)或(5,52)或(2,1)．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设点E(3,n)，根据ΔOED的面积列方程，求解即可；
（3）①连接OO′，根据平行线的性质，可得直线OO′的解析式，联立直线OO′解析式与反比例函数解析式，求出点O′坐标，根据平移的性质进一步即可求出点D′坐标；
②根据平移的性质，先求出直线O′C′的解析式，表示出O′，D′，F的坐标，可得O′F=(2a−5a)2+a2，O′D′=OD=5，D′F=(3+2a−5a)2+(4+a)2，以O′、D′、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当O′D′，O′F为边时，当O′F、D′F为边时，当O′D′、D′F为边时，分别列方程，求解即可．
【详解】（1）解：将点A(8,32)代入一次函数y=kx−52(k≠0)，
得8k−52=32，
解得k=12，
∴一次函数的表达式：y=12x−52，
将点A(8,32)代入反比例函数y=mx，
得m=8×32=12，
∴反比例函数表达式：y=12x，
故答案为：y=12x−52，y=12x；
（2）∵点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，
∴点C(3,−1)，点D(3,4)，
∴OD=5，
设点E(3,n)，
∵点E到OD的距离等于它到x轴的距离，
∴ SΔOED=12×5n=12×(4−n)×3，
解得n=32，
∴点E坐标为(3,32)；
（3）①连接OO′，如图所示：
根据平移的性质可得OO′//AB，
∴直线OO′的解析式：y=12x，
联立y=12xy=12x，
解得x=26或x=−26（不合题意，舍去），
∴点O′(26，6)，
根据平移的性质，可得点D′(3+26，4+6)；
②∵点C(3,−1)，
设直线OC的解析式：y=kx，
代入点C(3,−1)，
得3k=−1，
解得k=−13，
∴直线OC的解析式：y=−13x，
根据平移，可得OC//O′C′，
设直线O′C′的表达式为y=−13x+t，
∵直线OO′的解析式为y=12x，
设平移后的点O′为(2a,a)，则点D′(3+2a,4+a)，
将点O′坐标代入y=−13x+t，
得−2a3+t=a，
解得t=53a，
∴直线O′C′的表达式为：y=−13x+53a，
当y=0时，x=5a，
∴点F(5a,0)，
∴O′F=(2a−5a)2+a2，O′D′=OD=5，D′F=(3+2a−5a)2+(4+a)2，
以O′、D′、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：
当O′D′，O′F为边时，(2a−5a)2+a2=5，
解得a=102或a=−102（舍去），
∴点O′(10，102)，
当O′F、D′F为边时，(2a−5a)2+a2=(3+2a−5a)2+(4+a)2，
解得a=52，
∴点O′(5,52)；
当O′D′、D′F为边时，(3+2a−5a)2+(4+a)2=5，
解得a=0（舍)或a=1，
∴点O′(2,1)，
综上，点O′的坐标为(10，102)或(5,52)或(2,1)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，等积法，平移的性质，菱形的判定等，本题综合性较强，计算量较大．
【题型10 反比例函数中的规律问题】
【例10】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）
【答案】 13 n2+1n(n+1)(2n+1)
【详解】试题分析：由已知设点P的坐标为（a，1a），则a2=1，∴小正方形的边长为a3，由此可知图中三个小正方形的的面积为a3×a3=a23=13，由此可以知道图2中正方形的面积等于13×12=16…，在图4中作出辅助线构造直角三角形，通过证明大直角三角形和小直角三角形相似比为n即可得到问题结论．
所以得到的规律为第n个图形的面积为n2+1n(n+1)(2n+1)．
考点：1．反比例函数性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的性质．
【变式10-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，点B1在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（32，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（52，0）…按此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形）An-1Cn-1CnBn的面积为 ．
【答案】2n+1.
【详解】试题解析：第1个矩形的面积=2，
第2个矩形的面积=43×（32-1）=23，
第3个矩形的面积=（2-32）×1=12，
…
第n个矩形的面积=12×2×2n+1=2n+1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
【变式10-2】（2023·山东日照·二模）如图，已知点A是双曲线y＝5x在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是 ．
【答案】横、纵坐标的积是常数−35
【分析】根据反比例函数的性质得出OA＝OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC＝3OA，求出△OFC∽△AEO，相似比＝3，求出面积比＝3，求出△OFC的面积，即可得出答案．
【详解】解：
∵双曲线y＝5x的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB．∠BAC＝60°，
∴tan∠OAC＝OCOA＝3，
∴OC＝3OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比OCOA＝3，
∴面积比 S△OFCS△AEO＝3，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线y＝5x图象上，
∴S△AEO＝12ab＝52，
∴S△OFC＝12FC•OF＝352，
∴设点C坐标为（x，y），
∴xy＝−35，
∴点C在双曲线y＝−35x的图象上，
∴点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是横、纵坐标的积是常数−35，
故答案为：横、纵坐标的积是常数−35．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，点与坐标之间的关系，特殊角的三角函数值等知识，有一定难度，联想构造三角形相似是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）
【答案】233×94n−1或233×322n−2
【分析】l1与l2的夹角30°，利用直角三角形求出OBn=(32)n−1×233, Cn的横坐标(32)n−1, Cn的纵坐标(32)n−1×233, 即可求解；
【详解】解：直线l2:y=33x 与x轴夹角为30°，
直线l1:y=3x与x轴夹角为60°，
∴l1 与l2的夹角30°，
∵A1B1⊥l1，
∴∠OB1A1=60°,
∵等边三角形A1B1C1，
∴B1C1⊥x轴，
∵B1(1,33),
∴OB1=233,
∴B1C1=33,
∴C1(1,233),
∴k1=233,
∴OB2=233+32=3,
∴A2B2=32,
∴B2的横坐标32,
B2的纵坐标32,
∴C2(32,3),
∴k2=332,
以此得到OBn=(32)n−1×233, Cn的横坐标(32)n−1,
Cn的纵坐标(32)n−1×233,
∴kn=(32)n−1×(32)n−1×233=233×(32)2n−2,
故答案为 233×(32)2n−2.
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象及性质，平面内点的坐标特点；能够通过直角三角形中30°的特点，求出边的关系是解题的关键．x
…
−4
−3
−2
−1
−12
12
1
2
3
4
…
y
…
−32
−53
−2
−3
−5
3
1
m
−13
−12
…