中考数学一轮复习专题3.11 圆的常用辅助线及作法四大题型（北师大版）（原卷版）

这是一份中考数学一轮复习专题3.11 圆的常用辅助线及作法四大题型（北师大版）（原卷版），共11页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生圆的常用辅助线及作法四大题型的理解！
【题型1 有弦，作弦心距】
1．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点(P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，则MN的长为 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB=45°不变），则PM2+PN2AB2= ．

2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC（虚线）沿弦AC折叠后交弦BC于点D，连接AD．若∠ACB=60°，则线段AD的长为 ．

3．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=62，延长DE到A，使得EA=2，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC=45°．

(1)求弦BC的长；
(2)求△AOC的面积．
4．（2023春·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．

(1)求AP的长：
(2)若弦AB=8，求OP的长．
5．（2023秋·湖北武汉·九年级统考期中）以CD为直径的⊙O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，垂足分别为F、E点．
(1)如图1，若AB为⊙O的直径，求证：AF=BE；
(2)如图2，AB为⊙O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由．
6．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A6,0，B0,8，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径的第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为（ ）

A．3.6B．4.8C．32D．33
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AC=BD，AC⊥BD于点E，若⊙O的半径为2，则AD的长为（ ）

A．2B．22C．32D．4
8．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是（ ）

A．4B．3+2C．32D．3+3
【题型2 有直径，可作直径所对的圆周角】
1．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，D为弧BC的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．则AEED（ ）
A．3B．22C．2+1D．32−1
2．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．

(1)请在图1中BC上方作射线BP，使得∠PBA=∠CAB；在射线BP上作一点D，作以DB为直径的圆，使其恰好过点C；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注字母P、D）
(2)在（1）中所作的图形中，设圆交AB于点E，若AC=2，AE=3，则DB的长为______．（如需画草图，请使用图2）
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考学业考试）如图，AB、CD为⊙O的弦，AB与CD相交于点E，AD=BC．
(1)如图1，求证：BE=DE；
(2)如图2，点F在BC上，连接DF、AD，若DF为直径，AB⊥CD，求证：∠ADF=45∘；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF、BF，BF>CF，若DE=8，△BCF的面积为6，求AD的长．
4．（2023·广东广州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点A(0,3)、B(0,7)，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当∠ACB取最大值时，点C的横坐标为（ ）

A．5B．2C．21D．21
5．（2023秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB=2，CD=6时，则⊙O半径长为 ．
6．（2023·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，∠BAC=25°．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB=65°时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
7．（2023春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，AF∥ED．若AF=23，则BC的长为 ．
【题型3 利用四边形的对角互补，作辅助圆】
1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，AB=AC，∠A=∠EDF=90°，∠EFD=30°，AB=1，下列结论正确的是（ ）
A．BD可求，BE不可求B．BD不可求，BE可求
C．BD，BE均可求D．BD，BE均不可求
2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点A−1,0和直线m的函数表达式为y=x，动点Bx,0在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当∠CAD=45°时，则x的值为 ．

3．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，正方形ABCD中，AB=7，点E、F分别在AD、AC上的两点，BF⊥EF，AE=3，则四边形ABFE的面积为 ．
4．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 ．
5．（2023春·福建·九年级专题练习）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在AB，BC上，BE=CF，AF与CE交于点P．
(1)求证：∠APE=60°；
(2)当PC=1，PA=5时，求PD的长？
(3)当AB=23时，求PD的最大值？
6．（2023秋·北京·九年级北师大实验中学校考期中）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE．
(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；
(2)当∠AEC=135°时，
①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；
②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．
（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．
（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．
（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝_____°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝_______°．
【题型4 有切点，可作过切点的半径】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E．连接CD，OE．

(1)若∠D=35°，求∠DEO的度数；
(2)若点E是DF的中点，DE=4，求FC的长．
2．（2023·天津南开·统考二模）已知⊙O中，直径AC长为12，MA、MB分别切⊙O于点A，B，弦AD∥BM．

(1)如图1，若∠AMB=120°，求∠C的大小和弦CD的长；
(2)如图2，过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E，F，且CE=54EF，求弦CD的长．
3．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，ABCD是正方形，BC是⊙O的直径，点E是⊙O上的一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，BE，CE．
(1)若∠EBC=60°，求∠ECB的度数；
(2)若DE为⊙O的切线，连接DO，DO交CE于点F，求证：DF=CE；
(3)若AB=2，过点A作DE的垂线交射线CE于点M，求AM的最小值．
4．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．
5．（2023春·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在边AD的延长线上，连接AC，BD，已知CD=CE，∠E=∠BAC．
(1)求证：DC平分∠BDE．
(2)若CE与⊙O相切于点C，求证：AC=BD．
6．（2023·广东汕头·统考一模）如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，CD为⊙O的切线，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E．
(1)求证：CD＝DE；
(2)若BD＝1，DE＝5，求△ADE的面积；
(3)在（2）的条件下，作∠ACB的平分线CF与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．
7．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是AC上一点，以CM为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，过点D作DE⊥AC于点F，DE交⊙O于点E，连接CD、CE．
(1)求证：∠B＝∠DCE；
(2)若MF＝2，sinB＝45，求CD的长．
8.（2023·河南安阳·九年级统考学业考试）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点F是半径AO上一动点（不与O，A重合），过点F作射线l⊥AB，分别交弦AC，AC⏜于H，D两点，在射线l上取点E，过点E作⊙O的切线EC．
(1)求证：EC=EH．
(2)当点D是AC⏜的中点时，若∠ABC=60°，判断以O，A，D，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．