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中考数学一轮复习专题1.7 三角形中的最值问题十大考点（北师大版）（原卷版）
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这是一份中考数学一轮复习专题1.7 三角形中的最值问题十大考点（北师大版）（原卷版），共13页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【题型1 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【题型2 垂线段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 2
\l "_Tc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 3
\l "_Tc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】 PAGEREF _Tc5892 \h 4
\l "_Tc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 5
\l "_Tc24968" 【题型6 双对称周长最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 6
\l "_Tc12728" 【题型7 两定两动】 PAGEREF _Tc12728 \h 8
\l "_Tc17418" 【题型8 两定一定长】 PAGEREF _Tc17418 \h 9
\l "_Tc31265" 【题型9 两动一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 10
\l "_Tc28588" 【题型10 费马点】 PAGEREF _Tc28588 \h 11
【题型1 两点之间线段最短】
【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．
【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）
【题型2 垂线段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．
【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．
【题型3 平行线之间的距离最短】
【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．
【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．
(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；
(2)若取最小值且，则的取值范围是______．
【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当时，有最小值，求m的值；
（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；
（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．
【题型4 将军饮马（两定一动）】
【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【题型5 三点共线（两定一动最大值）】
【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．
【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则PB−PC的最大值是 ．
【题型6 双对称周长最小】
【例6】（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM= °
【变式6-1】（2023春·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−2,3，B−3,1，C1,−2．
(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
(2)△ABC的面积是________；
(3)在y轴上有一点P，使得△ABP的周长最小，请直接写出点P的坐标及△ABP的周长最小值．
【变式6-3】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．
(1)求点E的坐标及折痕DB的长；
(2)如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，GC=y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=5，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
【题型7 两定两动】
【例7】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．
【变式7-2】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式7-3】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．
【题型8 两定一定长】
【例8】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．
【变式8-1】（2023春·河南安阳·八年级校考阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为 ．
【变式8-2】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（ ）
A．23B．22C．32D．33
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为
【题型9 两动一定】
【例9】（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC边上高的长B．线段EF的长度
C．BC边的长度D．以上都不对
【变式9-2】（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于（ ）
A．4B．245C．5D．485
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．
【题型10 费马点】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是________．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即AE+BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【变式10-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边△APP′，得AP=PP′，CP=CP′，所以PA+PB+PC的值转化为PP′+PB+P′C′的值，当B，P，P′，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′．
①若PA=3，则点P与点P′之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP′C的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【题型1 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【题型2 垂线段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 2
\l "_Tc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 3
\l "_Tc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】 PAGEREF _Tc5892 \h 4
\l "_Tc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 5
\l "_Tc24968" 【题型6 双对称周长最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 6
\l "_Tc12728" 【题型7 两定两动】 PAGEREF _Tc12728 \h 8
\l "_Tc17418" 【题型8 两定一定长】 PAGEREF _Tc17418 \h 9
\l "_Tc31265" 【题型9 两动一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 10
\l "_Tc28588" 【题型10 费马点】 PAGEREF _Tc28588 \h 11
【题型1 两点之间线段最短】
【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．
【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）
【题型2 垂线段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．
【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．
【题型3 平行线之间的距离最短】
【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．
【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．
(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；
(2)若取最小值且，则的取值范围是______．
【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当时，有最小值，求m的值；
（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；
（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．
【题型4 将军饮马（两定一动）】
【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【题型5 三点共线（两定一动最大值）】
【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．
【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则PB−PC的最大值是 ．
【题型6 双对称周长最小】
【例6】（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM= °
【变式6-1】（2023春·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−2,3，B−3,1，C1,−2．
(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
(2)△ABC的面积是________；
(3)在y轴上有一点P，使得△ABP的周长最小，请直接写出点P的坐标及△ABP的周长最小值．
【变式6-3】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．
(1)求点E的坐标及折痕DB的长；
(2)如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，GC=y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=5，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
【题型7 两定两动】
【例7】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．
【变式7-2】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式7-3】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．
【题型8 两定一定长】
【例8】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．
【变式8-1】（2023春·河南安阳·八年级校考阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为 ．
【变式8-2】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（ ）
A．23B．22C．32D．33
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为
【题型9 两动一定】
【例9】（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC边上高的长B．线段EF的长度
C．BC边的长度D．以上都不对
【变式9-2】（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于（ ）
A．4B．245C．5D．485
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．
【题型10 费马点】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是________．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即AE+BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【变式10-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边△APP′，得AP=PP′，CP=CP′，所以PA+PB+PC的值转化为PP′+PB+P′C′的值，当B，P，P′，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′．
①若PA=3，则点P与点P′之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP′C的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
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