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新疆维吾尔自治区2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题及答案
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这是一份新疆维吾尔自治区2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．若复数z满足 则 （ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则
A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数
4．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种B．36 种C．12种D．6种
5．记等差数列的前 n项和为.若 ，则 （ ）
A．38B．-38C．20D．-20
6．已知 则（ ）
A．a7．已知直线的方程为(，为常数)，曲线的方程为 ，则“”是“直线与曲线有公共点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知: ，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．一组实数满足，则（ ）
A．这组数的分位数是
B．，，，，的极差不超过，，，，，，的极差
C．，，，，的均值不超过，，，，，，的均值
D．，，，，的标准差不超过，，，，，，的标准差
10．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 E-ABCD-F，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．异面直线 AE与BF所成的角为60°
B．BD⊥CE.
C．此八面体内切球与外接球的表面积之比为
D．直线 AE与平面BDE 所成的角为60°
11．设，若在上恒成立，则实数 a的值可以是（ ）(附:)
A．B．3C．2D．
三、填空题
12．设向量 则 .
13．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 .
14．已知定义在上的函数，满足，且，，则 .
四、解答题
15．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
16．在多面体ABCDEF 中，且
(1)证明:
(2)若 求二面角的余弦值.
17．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2， 是上一点，且，的周长为 12.
(1)求C的方程;
(2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值.
18．地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率；
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ，
若，则.
19．已知函数，，其中，.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点、，且，证明：
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08
参考答案：
1．D
【详解】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
2．A
【分析】
根据模长公式以及复数的除法运算即可求解.
【详解】由则，故，
因此，
故选:A
3．D
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，f（x）＝（）x﹣2x，
有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，
又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，
故选D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．
4．C
【分析】
利用排列知识计算即可.
【详解】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法，
又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法.
故选：C
5．B
【分析】
利用等差数列的性质及求和公式计算即可.
【详解】由，
即，
所以.
故选：B
6．A
【分析】
利用指对函数单调性a,c的范围，由导数判断单调性结合正切函数单调性判断b的范围.
【详解】因为，所以，所以，即；
又设则恒成立，
则在单调递增，所以，即，
且易知，故；
又，故a故选：A.
7．B
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】曲线：，则，
所以曲线表示以原点为圆心，半径的圆在轴及轴上方部分，
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得，
即直线与曲线有公共点，可得，故必要性成立；
当，时直线的方程为，显然直线与曲线没有交点，故充分性不成立；
所以“”是“直线与曲线有公共点”的必要不充分条件.
故选：B
8．D
【分析】
利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则
.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
9．BD
【分析】
根据题意结合百分位数、均值、极差和标准差逐项分析判断.
【详解】依题意可知这组数据从小到大排列为，，，，，，，
由，所以这组数的分位数为第五位数，故A错误；
因为，，，，的极差为；，，，，，，的极差为；
且，则，故B正确；
例如1，4，4，4，4，4，5的平均数为，
4，4，4，4，4的平均数为，
且，即，，，，的均值可能会超过，，，，，，的均值，故C错误；
因为，分别为数据中的最小值，最大值，
剔除最大和最小值后，，，，，的波动性不超过，，，，，，的波动性，
所以，，，，的标准差不超过，，，，，，的标准差，故D正确．
故选：BD．
10．ABC
【分析】
根据异面直线的夹角、线面垂直的判定、外接和内切球，线面角等知识点逐项判断即可．
【详解】
将正八面体E-ABCD-F置于一个正方体中，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，如图所示，
设交于点O,易知O为正方体的中心，
由正方体性质易知，为的中位线，则 ，
同理，又，则，
则直线与所成角即与所成角，
因为为正三角形，所以，A正确，
由正方体性质易知BD⊥平面，平面，故BD⊥CE，B正确；
设正方体的棱长为2，
因为，
所以为此八面体外接球的球心，即此八面体一定存在外接球，且外接球半径为，
设内切球的半径为，
八面体的体积为，
又八面体的表面积为，
所以，解得，
此八面体内切球与外接球的表面积之比为 ，故C项正确．
由正方体性质易知AC⊥平面,故为直线 AE与平面BDE 所成的角，
又，故，故D错误.
故选：ABC.
11．BD
【分析】
分离参数，构造函数利用导数研究其单调性与最值计算即可.
【详解】原不等式等价于，
令，
令，
所以在上单调递增，即，
所以，则在上单调递增，故，
所以，由知.
故选：BD
【点睛】思路点睛：对于不等式恒成立问题，常用分离参数的方法，利用导数研究最值计算即可.
12．
【分析】
由向量垂直得，再由模长公式求解计算即可.
【详解】
则，故，
则 .
故答案为：.
13．/0.5
【分析】
由题意得到，由椭圆定义和双曲线定义得到方程，求出，进而求出离心率的比值.
【详解】由得，
由椭圆定义可得，
由椭圆和双曲线定义得，，
故
，
故，解得，
设椭圆T与双曲线S的公共焦点为，
故，所以
故答案为：
14．
【分析】
根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以，
即，即，所以为偶函数，
所以，
所以，所以的周期为，
又，，
所以，，，则，
，
所以，又，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性.
15．(1)
(2)当或时，有最大值.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由已知得，数列的首项， ，
设数列的公比为，即 ∴
即，
（2）
，
即当或5时，有最大值.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
由题意可知，，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可证明结论；
由题意得，建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案.
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
在中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，即 ，
同时 ，则 ，同理 ，
因为 ，且平面 ，平面， ，
所以平面，又平面，则 ，
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，
故 ，则.
（2）在中， ，
即 ，则 ，
由（1）得 ，
建立以D为原点的空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ，所以平面 的法向量为，
由（1）知平面，故 为平面 的一个法向量，
所以 ，
由图可知二面角为锐角，故二面角 A-BF-D的余弦值为 .
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，设，求得，联立求得的值，即可求解；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式求得，再直线的方程为，联立方程组，求得，进而化简，即可得到答案.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，即，
又因为，设，可得，所以，
则，
所以，
将代入上式，可得，所以，则，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，因为直线与双曲线的右支相交，所以直线的斜率不为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则，且，
可得或，
且，
过点与垂直，所以，因为，所以，
设直线的方程为，
联立方程组，可得的，解得，
因为与双曲线的右支的交点为，所以，可得
所以，
所以.
18．(1)；
(2)
【分析】
（1）利用正态分布的区间公式先计算大于该地区人均生产总值的概率，再由二项分布计算即可；
（2）利用最小二乘法的计算公式求值即可.
【详解】（1）易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
（2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数，再分，两种情况讨论，分别求出函数的单调性；
（2）由（1）可知且，令，，利用导数说明在上单调递增，再说明，
从而得到，即可得证.
【详解】（1）因为，，，
所以，定义域为，
则，
当，即时，所以在上单调递减，
当，即时，令，解得，，
所以当时，
当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上可得，当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）可知且，
设，，
则，
当时，故在上单调递增，
设，则、为的两个零点，
因为，所以，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
即，
所以，命题得证.
【点睛】关键点点睛：第二问关键是结合（1）的结论得到且，再构造函数，利用导数说明.
一、单选题
1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．若复数z满足 则 （ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则
A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数
4．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种B．36 种C．12种D．6种
5．记等差数列的前 n项和为.若 ，则 （ ）
A．38B．-38C．20D．-20
6．已知 则（ ）
A．a
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知: ，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．一组实数满足，则（ ）
A．这组数的分位数是
B．，，，，的极差不超过，，，，，，的极差
C．，，，，的均值不超过，，，，，，的均值
D．，，，，的标准差不超过，，，，，，的标准差
10．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 E-ABCD-F，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．异面直线 AE与BF所成的角为60°
B．BD⊥CE.
C．此八面体内切球与外接球的表面积之比为
D．直线 AE与平面BDE 所成的角为60°
11．设，若在上恒成立，则实数 a的值可以是（ ）(附:)
A．B．3C．2D．
三、填空题
12．设向量 则 .
13．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 .
14．已知定义在上的函数，满足，且，，则 .
四、解答题
15．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
16．在多面体ABCDEF 中，且
(1)证明:
(2)若 求二面角的余弦值.
17．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2， 是上一点，且，的周长为 12.
(1)求C的方程;
(2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值.
18．地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率；
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ，
若，则.
19．已知函数，，其中，.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点、，且，证明：
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08
参考答案：
1．D
【详解】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
2．A
【分析】
根据模长公式以及复数的除法运算即可求解.
【详解】由则，故，
因此，
故选:A
3．D
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，f（x）＝（）x﹣2x，
有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，
又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，
故选D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．
4．C
【分析】
利用排列知识计算即可.
【详解】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法，
又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法.
故选：C
5．B
【分析】
利用等差数列的性质及求和公式计算即可.
【详解】由，
即，
所以.
故选：B
6．A
【分析】
利用指对函数单调性a,c的范围，由导数判断单调性结合正切函数单调性判断b的范围.
【详解】因为，所以，所以，即；
又设则恒成立，
则在单调递增，所以，即，
且易知，故；
又，故a
7．B
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】曲线：，则，
所以曲线表示以原点为圆心，半径的圆在轴及轴上方部分，
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得，
即直线与曲线有公共点，可得，故必要性成立；
当，时直线的方程为，显然直线与曲线没有交点，故充分性不成立；
所以“”是“直线与曲线有公共点”的必要不充分条件.
故选：B
8．D
【分析】
利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则
.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
9．BD
【分析】
根据题意结合百分位数、均值、极差和标准差逐项分析判断.
【详解】依题意可知这组数据从小到大排列为，，，，，，，
由，所以这组数的分位数为第五位数，故A错误；
因为，，，，的极差为；，，，，，，的极差为；
且，则，故B正确；
例如1，4，4，4，4，4，5的平均数为，
4，4，4，4，4的平均数为，
且，即，，，，的均值可能会超过，，，，，，的均值，故C错误；
因为，分别为数据中的最小值，最大值，
剔除最大和最小值后，，，，，的波动性不超过，，，，，，的波动性，
所以，，，，的标准差不超过，，，，，，的标准差，故D正确．
故选：BD．
10．ABC
【分析】
根据异面直线的夹角、线面垂直的判定、外接和内切球，线面角等知识点逐项判断即可．
【详解】
将正八面体E-ABCD-F置于一个正方体中，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，如图所示，
设交于点O,易知O为正方体的中心，
由正方体性质易知，为的中位线，则 ，
同理，又，则，
则直线与所成角即与所成角，
因为为正三角形，所以，A正确，
由正方体性质易知BD⊥平面，平面，故BD⊥CE，B正确；
设正方体的棱长为2，
因为，
所以为此八面体外接球的球心，即此八面体一定存在外接球，且外接球半径为，
设内切球的半径为，
八面体的体积为，
又八面体的表面积为，
所以，解得，
此八面体内切球与外接球的表面积之比为 ，故C项正确．
由正方体性质易知AC⊥平面,故为直线 AE与平面BDE 所成的角，
又，故，故D错误.
故选：ABC.
11．BD
【分析】
分离参数，构造函数利用导数研究其单调性与最值计算即可.
【详解】原不等式等价于，
令，
令，
所以在上单调递增，即，
所以，则在上单调递增，故，
所以，由知.
故选：BD
【点睛】思路点睛：对于不等式恒成立问题，常用分离参数的方法，利用导数研究最值计算即可.
12．
【分析】
由向量垂直得，再由模长公式求解计算即可.
【详解】
则，故，
则 .
故答案为：.
13．/0.5
【分析】
由题意得到，由椭圆定义和双曲线定义得到方程，求出，进而求出离心率的比值.
【详解】由得，
由椭圆定义可得，
由椭圆和双曲线定义得，，
故
，
故，解得，
设椭圆T与双曲线S的公共焦点为，
故，所以
故答案为：
14．
【分析】
根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以，
即，即，所以为偶函数，
所以，
所以，所以的周期为，
又，，
所以，，，则，
，
所以，又，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性.
15．(1)
(2)当或时，有最大值.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由已知得，数列的首项， ，
设数列的公比为，即 ∴
即，
（2）
，
即当或5时，有最大值.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
由题意可知，，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可证明结论；
由题意得，建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案.
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
在中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，即 ，
同时 ，则 ，同理 ，
因为 ，且平面 ，平面， ，
所以平面，又平面，则 ，
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，
故 ，则.
（2）在中， ，
即 ，则 ，
由（1）得 ，
建立以D为原点的空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ，所以平面 的法向量为，
由（1）知平面，故 为平面 的一个法向量，
所以 ，
由图可知二面角为锐角，故二面角 A-BF-D的余弦值为 .
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，设，求得，联立求得的值，即可求解；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式求得，再直线的方程为，联立方程组，求得，进而化简，即可得到答案.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，即，
又因为，设，可得，所以，
则，
所以，
将代入上式，可得，所以，则，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，因为直线与双曲线的右支相交，所以直线的斜率不为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则，且，
可得或，
且，
过点与垂直，所以，因为，所以，
设直线的方程为，
联立方程组，可得的，解得，
因为与双曲线的右支的交点为，所以，可得
所以，
所以.
18．(1)；
(2)
【分析】
（1）利用正态分布的区间公式先计算大于该地区人均生产总值的概率，再由二项分布计算即可；
（2）利用最小二乘法的计算公式求值即可.
【详解】（1）易知，所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，所以：；
（2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以，
则，
由公式可知，
即.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数，再分，两种情况讨论，分别求出函数的单调性；
（2）由（1）可知且，令，，利用导数说明在上单调递增，再说明，
从而得到，即可得证.
【详解】（1）因为，，，
所以，定义域为，
则，
当，即时，所以在上单调递减，
当，即时，令，解得，，
所以当时，
当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上可得，当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）可知且，
设，，
则，
当时，故在上单调递增，
设，则、为的两个零点，
因为，所以，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
即，
所以，命题得证.
【点睛】关键点点睛：第二问关键是结合（1）的结论得到且，再构造函数，利用导数说明.
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