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人教版17.2 勾股定理的逆定理教学设计
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这是一份人教版17.2 勾股定理的逆定理教学设计，共4页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明等内容，欢迎下载使用。
【知识与技能】
1.理解勾股定理的逆定理的证明方法，能证明勾股定理的逆定理.
2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形，并能用它解决实际问题.
【过程与方法】
在探索勾股定理的逆定理及其证明方法和运用勾股定理逆定理解决具体问题的过程中，进一步体验数形结合的思想，增强分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
1.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；
2.进一步增强与他人交流合作的意识和探究精神.
【教学重点】
勾股定理的逆定理及其应用.
【教学难点】
勾股定理的逆定理的证明.
一、情境导入，初步认识
问题 （1）勾股定理的内容是怎样的？
（2）求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
①a=3，b=4； ②a=2.5,b=6； ③a=4,b=7.5.
（3）想一想：分别以（2）中a、b、c为三边的三角形的形状会是怎样的？
【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流获得结论，最后教师针对问题（2）、（3）提醒学生注意它们各自特征，其中（2）是由形获得数量关系，而（3）是由数量关系得到形的特征，为勾股定理的逆定理的引入作铺垫.
二、思考探究，获取新知
探究1 画出三边长分别为3cm、4cm和5cm，2.5cm、6cm和6.5cm，4cm、7.5cm和8.5cm的三个三角形，用量角器测出较大角的度数，你有什么发现？你能解释其原因吗？
【教学说明】将全班同学分成三个小组，分别画出上述三个三角形，然后相互交流，教师巡视，指导并帮助有困难同学画出尽可能准确的图形，从而形成对勾股定理的逆定理的感性认识.
猜想 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
探究2 （1）三边长分别为3，4，5的三角形与以3，4为直角边的直角三角形的三边关系如何？你是怎样得到的？简要说明理由.
（2）你能否受（1）启发，说明分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边长的三角形也是直角三角形呢？
（3）如图，若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.
【教学说明】教师应引导学生利用问题（1）、（2）的思路完成问题（3）的证明，得出勾股定理的逆定理，在这期间，教师顺势给出原命题、逆命题、逆定理的概念，最后师生共同给出逆定理的证明过程，在黑板上展示（也可通过多媒体展示），从而帮助学生获得正确认知.
证明：如图，画Rt△A′C′B′，使A′C′=b，B′C′=a，∠A′C′B′=90°.
∴在Rt△A′C′B′中，有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.
又a2+b2=c2，∴A′B′2=c2，∴A′B′=c.∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ACB=∠A′C′B′=90°，即△ABC是直角三角形.
三、典例精析，掌握新知
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15.
【教学说明】本例可由学生自己独立完成，教师巡视指导，应关注学生是否是利用两短边的平方和与最长边的平方进行比较.
例2 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【分析】由题意，可画出示意图如图所示，
易知PQ=16×=24，PR=12×=18，
又RQ=30.∵242+182=576+324=900，RQ2=900，
∴PR2+PQ2=RQ2，故以P、Q、R为顶点的三角形是直角三角形，由“远航”号沿东北方向航行，故易知“海天”号沿西北方向航行.
例3 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.
【分析】如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题，从而可得（1）、（2）的逆命题分别为“内错角相等，两直线平行”，“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等”，且（1）中的逆命题是真命题，（2）中的逆命题是假命题.
四、运用新知，深化理解
1.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】学生自主探究，寻求结论，教师巡视，及时指导，让学生在练习过程中加深对知识的领悟.
【答案】1.是直角三角形，由勾股定理的逆定理可得.
2.（1）逆命题为对应角相等的三角形全等，该逆命题不成立.
（2）逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等.该逆命题成立.
五、师生互动，课堂小结
谈谈这节课你的收获有哪些？还有哪些疑问？与同伴交流.
1.布置作业：从教材“习题17.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上,让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.由于学生对此在理解上可能有些困难，因此教学时可以实行分层教学，让不同水平的学生在同一课堂都能学好，为此，可设计三个层次的问题，以达到分层教学目标：第一层次是让学生直接运用定理判断三角形是否是直角三角形，掌握定理的基本运用；第二层次是强调已知三角形三边长或三边关系，再判断三角形是否是直角三角形，这样既巩固了勾股定理的逆定理的应用，又为下一个层次做好了铺垫；第三层次是灵活运用勾股定理及其逆定理解决图形面积的计算问题.根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想.教案中设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生的理解和掌握，让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.
【知识与技能】
1.理解勾股定理的逆定理的证明方法，能证明勾股定理的逆定理.
2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形，并能用它解决实际问题.
【过程与方法】
在探索勾股定理的逆定理及其证明方法和运用勾股定理逆定理解决具体问题的过程中，进一步体验数形结合的思想，增强分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
1.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；
2.进一步增强与他人交流合作的意识和探究精神.
【教学重点】
勾股定理的逆定理及其应用.
【教学难点】
勾股定理的逆定理的证明.
一、情境导入，初步认识
问题 （1）勾股定理的内容是怎样的？
（2）求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
①a=3，b=4； ②a=2.5,b=6； ③a=4,b=7.5.
（3）想一想：分别以（2）中a、b、c为三边的三角形的形状会是怎样的？
【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流获得结论，最后教师针对问题（2）、（3）提醒学生注意它们各自特征，其中（2）是由形获得数量关系，而（3）是由数量关系得到形的特征，为勾股定理的逆定理的引入作铺垫.
二、思考探究，获取新知
探究1 画出三边长分别为3cm、4cm和5cm，2.5cm、6cm和6.5cm，4cm、7.5cm和8.5cm的三个三角形，用量角器测出较大角的度数，你有什么发现？你能解释其原因吗？
【教学说明】将全班同学分成三个小组，分别画出上述三个三角形，然后相互交流，教师巡视，指导并帮助有困难同学画出尽可能准确的图形，从而形成对勾股定理的逆定理的感性认识.
猜想 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
探究2 （1）三边长分别为3，4，5的三角形与以3，4为直角边的直角三角形的三边关系如何？你是怎样得到的？简要说明理由.
（2）你能否受（1）启发，说明分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边长的三角形也是直角三角形呢？
（3）如图，若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.
【教学说明】教师应引导学生利用问题（1）、（2）的思路完成问题（3）的证明，得出勾股定理的逆定理，在这期间，教师顺势给出原命题、逆命题、逆定理的概念，最后师生共同给出逆定理的证明过程，在黑板上展示（也可通过多媒体展示），从而帮助学生获得正确认知.
证明：如图，画Rt△A′C′B′，使A′C′=b，B′C′=a，∠A′C′B′=90°.
∴在Rt△A′C′B′中，有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.
又a2+b2=c2，∴A′B′2=c2，∴A′B′=c.∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ACB=∠A′C′B′=90°，即△ABC是直角三角形.
三、典例精析，掌握新知
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15.
【教学说明】本例可由学生自己独立完成，教师巡视指导，应关注学生是否是利用两短边的平方和与最长边的平方进行比较.
例2 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【分析】由题意，可画出示意图如图所示，
易知PQ=16×=24，PR=12×=18，
又RQ=30.∵242+182=576+324=900，RQ2=900，
∴PR2+PQ2=RQ2，故以P、Q、R为顶点的三角形是直角三角形，由“远航”号沿东北方向航行，故易知“海天”号沿西北方向航行.
例3 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.
【分析】如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题，从而可得（1）、（2）的逆命题分别为“内错角相等，两直线平行”，“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等”，且（1）中的逆命题是真命题，（2）中的逆命题是假命题.
四、运用新知，深化理解
1.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】学生自主探究，寻求结论，教师巡视，及时指导，让学生在练习过程中加深对知识的领悟.
【答案】1.是直角三角形，由勾股定理的逆定理可得.
2.（1）逆命题为对应角相等的三角形全等，该逆命题不成立.
（2）逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等.该逆命题成立.
五、师生互动，课堂小结
谈谈这节课你的收获有哪些？还有哪些疑问？与同伴交流.
1.布置作业：从教材“习题17.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上,让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.由于学生对此在理解上可能有些困难，因此教学时可以实行分层教学，让不同水平的学生在同一课堂都能学好，为此，可设计三个层次的问题，以达到分层教学目标：第一层次是让学生直接运用定理判断三角形是否是直角三角形，掌握定理的基本运用；第二层次是强调已知三角形三边长或三边关系，再判断三角形是否是直角三角形，这样既巩固了勾股定理的逆定理的应用，又为下一个层次做好了铺垫；第三层次是灵活运用勾股定理及其逆定理解决图形面积的计算问题.根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想.教案中设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生的理解和掌握，让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.
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