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北师大版八年级数学下册《高分突破•培优新方法》专题12图形的平移与旋转压轴精选题(原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册《高分突破•培优新方法》专题12图形的平移与旋转压轴精选题(原卷版+解析)，共48页。
A．6B．5+C．6.5D．7
2．（2022•红花岗区二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
4．（2022秋•历城区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
5．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
6．（2020•南谯区二模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．﹣1B．C．D．2
7．（2020春•岳池县期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A．（1012，1011）B．（1009，1008）
C．（1010，1009）D．（1011，1010）
8．（淄博）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共12小题）
9．（2023•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
10．（2022秋•青羊区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
11．（2022秋•苏州期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝ ．
12．（2022•游仙区模拟）正△ABC的边长为4，D是AC的中点，P是△ABC内一点，且BP2+CP2＝AP2，则PD的最小长度是 ．
13．（2022秋•大冶市期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 ．
14．（2021秋•重庆期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C顺时针旋转得△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△CPP'周长的最小值为 ．
15．（2021秋•西平县期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
16．（2020秋•无锡期末）如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
17．（2021秋•德州期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O（分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，…，若点A（3，0），B（0，4），AB＝5，则点B2021的坐标为 ．
18．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是 ．
19．（2021春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
20．等边三角形ABC中，AB＝2，D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，取BE的中点M，连接AM，则AM的最大值为 ．
解答题
21．（2022秋•广西期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
22．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
23．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
24．（2021春•淮阳区期末）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
25．（2020秋•红桥区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．
（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．
26．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
27．（2021春•乾安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）试求出∠E的度数；
（2）若AE＝9cm，DB＝2cm．请求出CF的长度．
28．（2021秋•河东区校级期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
29．（2020•朝阳区校级模拟）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．
30．（2022春•沙依巴克区校级期末）如图1，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，
（1）求证：AB∥OC；
（2）如图2，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数．
②若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
专题12 图形的平移与旋转压轴精选题
一．选择题（共8小题）
1．（2022春•江夏区校级月考）如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．5+C．6.5D．7
【答案】D
【解答】解：∵点B在直线y＝kx+2k上，
∴k（x+2）＝0，
∵k≠0，
∴x+2＝0．，
∴x＝﹣2
∴B（0，2），
∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），
在x轴上方作等边△AOF，
∵∠CAB＝∠FAO＝60°，
∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，
又∵CA＝BA，AF＝AO，
∴△AOB≌△AFC（SAS），
∴∠AFC＝∠AOB＝90°，
∴点C的轨迹为定直线CF，
作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，
∴CD+CE＝CD+CE'，
∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，
∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，
∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），
∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7
故选：D．
2．（2022•红花岗区二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥BC于H，过F作FM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，如图：
∵等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，
∴∠NBE＝60°，BD＝AB＝2，BH＝2，AH＝2，
∴A（2，2），H（2，0），
设BE＝m，则BN＝m，NE＝m，DN＝2﹣m，
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°＝∠DBE，
∴∠FEM+∠DEB＝120°＝∠DEB+∠BDE，
∴∠FEM＝∠BDE，
又∠END＝∠FME＝90°，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴DN＝EM＝2﹣m，NE＝FM＝m，
∴BM＝BE+EM＝m+2﹣m＝2+m，
∴F（2+m，m），
令x＝2+m，y＝m，消去m可得y＝x﹣2，
即F点在直线y＝x﹣2上运动，
而直线y＝x﹣2与x轴交点为（2，0），即直线y＝x﹣2与x轴交点为H，
∴HM＝BM﹣BH＝m，
∴tan∠FHM＝＝＝，
∴∠FHM＝60°，
∴∠AHF＝30°，
过A作AK⊥直线HF与K，则AF的最小值即为AK，
在Rt△AHK中，AK＝AH＝×2＝，
∴AF的最小值为，
故选：B．
3．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
4．（2022秋•历城区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
5．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
【答案】B
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，
∴MG＝CG＝×12＝6，
∴HN＝6，
故选：B．
6．（2020•南谯区二模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．﹣1B．C．D．2
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．
∵∠DCE＝∠KCH＝90°，
∴∠DCK＝∠ECH，
∵CD＝CE，CK＝CH，
∴△CKD≌△CHE（SAS），
∴∠CKD＝∠H＝90°，
∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，
∴四边形CKJH是矩形，
∵CK＝CH，
∴四边形CKJH是正方形，
∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，
在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，
∴CK＝BC•sin60°＝，BK＝BC•cs60°＝1，
∴KJ＝CK＝
∴BJ＝KJ﹣BK＝﹣1，
∴BE的最小值为﹣1，
补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小．
故选：A．
7．（2020春•岳池县期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A．（1012，1011）B．（1009，1008）
C．（1010，1009）D．（1011，1010）
【答案】D
【解答】解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4）…A2n﹣1（﹣n，n） A2n（n+1，n）（n为正整数）
所以2n＝2020，
n＝1010
所以A2020（1011，1010）
故选：D．
8．（淄博）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝．
故选：A．
二．填空题（共12小题）
9．（2023•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
【答案】25
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝10，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝5，
∴S△A1BA＝×10×5＝25，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝25，
故答案为：25．
10．（2022秋•青羊区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
【答案】9
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
11．（2022秋•苏州期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝ ．
【答案】32﹣16
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，
则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为4，
∴CM＝4，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝4，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，
∴BC2＝BN2+CN2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，
故答案为：32﹣16．
12．（2022•游仙区模拟）正△ABC的边长为4，D是AC的中点，P是△ABC内一点，且BP2+CP2＝AP2，则PD的最小长度是 ．
【答案】2﹣4
【解答】解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，以BC为边在BC下方作等边△BCO，连接DO，过D作DM⊥CO交CO延长线于M，如图：
∵将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°，BP＝AQ，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ＝CP，∠PQC＝60°，
∵BP2+CP2＝AP2，
∴AQ2+PQ2＝AP2，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQC＝∠AQP+∠PQC＝150°＝∠BPC，
∴P的轨迹是以O为圆心，OB为半径的⊙O上的，
∴当P，D，O共线时，PD最小，PD的最小值为OD﹣OP，
在Rt△DCM中，∠DCM＝180°﹣∠OCB﹣∠BCA＝60°，
∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，
而OM＝OC+CM＝5，
在Rt△DOM中，OD＝＝2，
∴PD＝OD﹣OP＝2﹣4，
即PD的最小长度是2﹣4，
故答案为：2﹣4．
13．（2022秋•大冶市期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 ．
【答案】2
【解答】解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H，如图：
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∵PB＝BF，∠PBF＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，
在Rt△EBH中，∠EBH＝180°﹣∠EBC＝60°，EB＝AB＝4，
∴BH＝BE•cs60°＝2，EH＝EB•sin60°＝2，
∴CH＝BH+CB＝2+6＝8，
∴EC＝＝＝2，
故答案为：2．
14．（2021秋•重庆期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C顺时针旋转得△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△CPP'周长的最小值为 ．
【答案】2+
【解答】解：由旋转可知：∠CPP'＝90°，CP＝CP'，
∴△CPP'是等腰直角三角形，
∴当CP的长度最小时，△CPP'周长即可取得最小值，
∵边AB上有一动点P，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
∴AB＝＝＝，
∵当CP⊥AB时，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
∴AC•BC＝AB•CP，
∴2×＝×CP，
∴CP＝1，
∴CP＝CP'＝1，
∴PP'＝＝，
∴△CPP'周长的最小值为：1+1+＝2+．
故答案为：2+．
15．（2021秋•西平县期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO＝，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，O'C＝EO＝2．
故答案为：2．
16．（2020秋•无锡期末）如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
【答案】（5﹣2，0）
【解答】解：如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝4，OB＝OA＝2，
∵TB⊥BC，
∴∠TBC＝90°，
∴∠TBA＝60°，
∵BT＝BA，
∴△ABT是等边三角形，
∴AT＝AB，∠BAT＝60°，
∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAT＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠TAC，
在△BAD和△TAC中，
，
∴△BAD≌△TAC（SAS），
∴BD＝CT＝，
在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，
∴OC＝BC﹣OB＝5﹣2，
∴C（5﹣2，0）．
17．（2021秋•德州期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O（分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，…，若点A（3，0），B（0，4），AB＝5，则点B2021的坐标为 ．
【答案】（12128，0）
【解答】解：∵AO＝3，BO＝4，
∴AB＝5，
∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
∴B2的横坐标为：12，且B2C2＝4，
∴B4的横坐标为：2×12＝24，
∵2021÷2＝1010…1，
∴点B2021的横坐标为：1010×12+3+5＝12128．
2021÷3＝673…2，
∴点B2021的纵坐标为0，
∴B2021（12128，0），
故答案为：（12128，0）．
18．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是 ．
【答案】+1
【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，
而EM+x＝2，
∴EM＝﹣x+2，
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，
易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2＝（x+）2+4+2，
此时AF2没有最小值，
当D在BC的延长线上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，
当x＝时，AF2有最小值4+2，
∴AF的最小值为＝+1．
故答案为+1．
19．（2021春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
【答案】140°
【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．
又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵OD＝AD，
∴∠AOD＝∠DAO．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°．
故答案是：140°．
20．等边三角形ABC中，AB＝2，D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，取BE的中点M，连接AM，则AM的最大值为 ．
【答案】+
【解答】解：AC交⊙A于F点，连接AD、EF，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∵⊙A的半径为1，即AF＝1，
∴F点为AC的中点，
∴E为CD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴EF＝AD＝，
即点E在以F为圆心，为半径的圆上，
延长BA到P点，使AP＝AB，连接PE，如图，
∵M点为BE的中点，
∴AM为△BPE的中位线，
∴AM＝PE，
过F点作FH⊥AB于H点，连接PF，如图，
在Rt△AFH中，
∵∠HAF＝60°，
∴AH＝AF＝，
∴FH＝AH＝，
在Rt△PHF中，PF＝＝＝，
∴PE的最大值为+，
∴AM的最大值为×（+）＝+．
故答案为：+．
解答题（10题）
21．（2022秋•广西期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 SAS ，易证△AFE≌ △AFG ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠ADC＝180° 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【解答】解：（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：
∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC＝180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，
∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，
∴∠FAE＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+EC2＝DE2．
22．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 60° ；
②线段OD的长 4 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
23．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 BD2+CE2＝DE2 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，
故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2；
即：BD2+CE2＝DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2，
∴CE2＝BD2+DE2．
24．（2021春•淮阳区期末）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝150°，
当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；
（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，
∴∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，
∴∠BAE＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∵点C为AD中点，
∴AC＝AD＝2，
∴AE＝2．
25．（2020秋•红桥区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．
（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．
【解答】解：（1）如图①，
∵点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，
∴AB＝2，
当点O′落在边AB上时，α＝45°，
∴点O′的横坐标为AB＝，纵坐标为2﹣，
∴点O′的坐标为（，2﹣）；
（2）如图②，当α＝60°时，
∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，
∴△ABA′为等边三角形，
∴AA′＝A′B＝AB＝2，
连接OA′，
在△OBA′和△OAA′中，
，
∴△OBA′≌△OAA′（SSS），
∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，
∴直线OA′的函数解析式为y＝x，
∴OA′⊥AB，
∴2OM＝2×2，即OM＝，
A′M＝＝，
∴OA′＝OM+A′M＝+，
∴点A′的坐标为（1+，1+）．
26．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
【解答】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
27．（2021春•乾安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）试求出∠E的度数；
（2）若AE＝9cm，DB＝2cm．请求出CF的长度．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，
∴∠CBA＝90°﹣33°＝57°，
由平移得，∠E＝∠CBA＝57°；
（2）由平移得，AD＝BE＝CF，
∵AE＝9cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝×（9﹣2）＝3.5cm，
∴CF＝3.5cm．
28．（2021秋•河东区校级期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
【解答】解：（1）连接PQ，
由旋转性质有：
BQ＝BP＝8，QC＝PA＝6，∠QBC＝∠ABP，∠BQC＝∠BPA，
∴∠QBC+∠PBC＝∠ABP+∠PBC
即∠QBP＝∠ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠QBP＝60°，
∴△BPQ是正三角形，
∴PQ＝BP＝BQ＝8．
（2）在△PQC中，PQ＝8，QC＝6，PC＝10
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°．
29．（2020•朝阳区校级模拟）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．
【解答】（1）补全图形图1，
证明：在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE．
∵∠APE是△ABP的一个外角，
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；
（2）补全图形图2，，
证明：在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE是△ABP的一个外角，
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．
∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，
∴AF＝AD，∠DAF＝120°．
∵∠APE＝60°，
∴∠APE+∠DAF＝180°．
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠F，
∵△ABD≌△BEC，
∴AD＝BE．
∴AF＝BE．
在△AQF和△EQB中，
△AQF≌△EQB（AAS），
∴AQ＝QE，
∴，
∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，
且AC＝BC，CE＝BD．
∴AE＝CD，
∴．
30．（2022春•沙依巴克区校级期末）如图1，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，
（1）求证：AB∥OC；
（2）如图2，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数．
②若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
【解答】（1）证明：∵CB∥OA
∴∠C+∠COA＝180°
∵∠C＝∠OAB
∴∠OAB+∠COA＝180°
∴AB∥OC
（2）①∠COA＝180°﹣∠C＝70°
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF＝（∠AOF+∠COF）＝∠COA＝35°
②∠OBC：∠OFC的值不发生变化
∵CB∥OA
∴∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA
∵∠FOB＝∠AOB
∴∠FOA＝2∠BOA
∴∠OFC＝2∠OBC
∴∠OBC：∠OFC＝1：2
A．6B．5+C．6.5D．7
2．（2022•红花岗区二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
4．（2022秋•历城区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
5．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
6．（2020•南谯区二模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．﹣1B．C．D．2
7．（2020春•岳池县期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A．（1012，1011）B．（1009，1008）
C．（1010，1009）D．（1011，1010）
8．（淄博）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共12小题）
9．（2023•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
10．（2022秋•青羊区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
11．（2022秋•苏州期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝ ．
12．（2022•游仙区模拟）正△ABC的边长为4，D是AC的中点，P是△ABC内一点，且BP2+CP2＝AP2，则PD的最小长度是 ．
13．（2022秋•大冶市期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 ．
14．（2021秋•重庆期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C顺时针旋转得△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△CPP'周长的最小值为 ．
15．（2021秋•西平县期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
16．（2020秋•无锡期末）如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
17．（2021秋•德州期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O（分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，…，若点A（3，0），B（0，4），AB＝5，则点B2021的坐标为 ．
18．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是 ．
19．（2021春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
20．等边三角形ABC中，AB＝2，D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，取BE的中点M，连接AM，则AM的最大值为 ．
解答题
21．（2022秋•广西期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
22．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
23．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
24．（2021春•淮阳区期末）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
25．（2020秋•红桥区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．
（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．
26．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
27．（2021春•乾安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）试求出∠E的度数；
（2）若AE＝9cm，DB＝2cm．请求出CF的长度．
28．（2021秋•河东区校级期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
29．（2020•朝阳区校级模拟）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．
30．（2022春•沙依巴克区校级期末）如图1，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，
（1）求证：AB∥OC；
（2）如图2，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数．
②若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
专题12 图形的平移与旋转压轴精选题
一．选择题（共8小题）
1．（2022春•江夏区校级月考）如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．5+C．6.5D．7
【答案】D
【解答】解：∵点B在直线y＝kx+2k上，
∴k（x+2）＝0，
∵k≠0，
∴x+2＝0．，
∴x＝﹣2
∴B（0，2），
∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），
在x轴上方作等边△AOF，
∵∠CAB＝∠FAO＝60°，
∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，
又∵CA＝BA，AF＝AO，
∴△AOB≌△AFC（SAS），
∴∠AFC＝∠AOB＝90°，
∴点C的轨迹为定直线CF，
作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，
∴CD+CE＝CD+CE'，
∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，
∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，
∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），
∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7
故选：D．
2．（2022•红花岗区二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥BC于H，过F作FM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，如图：
∵等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，
∴∠NBE＝60°，BD＝AB＝2，BH＝2，AH＝2，
∴A（2，2），H（2，0），
设BE＝m，则BN＝m，NE＝m，DN＝2﹣m，
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°＝∠DBE，
∴∠FEM+∠DEB＝120°＝∠DEB+∠BDE，
∴∠FEM＝∠BDE，
又∠END＝∠FME＝90°，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴DN＝EM＝2﹣m，NE＝FM＝m，
∴BM＝BE+EM＝m+2﹣m＝2+m，
∴F（2+m，m），
令x＝2+m，y＝m，消去m可得y＝x﹣2，
即F点在直线y＝x﹣2上运动，
而直线y＝x﹣2与x轴交点为（2，0），即直线y＝x﹣2与x轴交点为H，
∴HM＝BM﹣BH＝m，
∴tan∠FHM＝＝＝，
∴∠FHM＝60°，
∴∠AHF＝30°，
过A作AK⊥直线HF与K，则AF的最小值即为AK，
在Rt△AHK中，AK＝AH＝×2＝，
∴AF的最小值为，
故选：B．
3．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
4．（2022秋•历城区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
5．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
【答案】B
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，
∴MG＝CG＝×12＝6，
∴HN＝6，
故选：B．
6．（2020•南谯区二模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．﹣1B．C．D．2
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．
∵∠DCE＝∠KCH＝90°，
∴∠DCK＝∠ECH，
∵CD＝CE，CK＝CH，
∴△CKD≌△CHE（SAS），
∴∠CKD＝∠H＝90°，
∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，
∴四边形CKJH是矩形，
∵CK＝CH，
∴四边形CKJH是正方形，
∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，
在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，
∴CK＝BC•sin60°＝，BK＝BC•cs60°＝1，
∴KJ＝CK＝
∴BJ＝KJ﹣BK＝﹣1，
∴BE的最小值为﹣1，
补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小．
故选：A．
7．（2020春•岳池县期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A．（1012，1011）B．（1009，1008）
C．（1010，1009）D．（1011，1010）
【答案】D
【解答】解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4）…A2n﹣1（﹣n，n） A2n（n+1，n）（n为正整数）
所以2n＝2020，
n＝1010
所以A2020（1011，1010）
故选：D．
8．（淄博）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝．
故选：A．
二．填空题（共12小题）
9．（2023•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
【答案】25
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝10，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝5，
∴S△A1BA＝×10×5＝25，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝25，
故答案为：25．
10．（2022秋•青羊区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
【答案】9
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
11．（2022秋•苏州期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝ ．
【答案】32﹣16
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，
则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为4，
∴CM＝4，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝4，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，
∴BC2＝BN2+CN2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，
故答案为：32﹣16．
12．（2022•游仙区模拟）正△ABC的边长为4，D是AC的中点，P是△ABC内一点，且BP2+CP2＝AP2，则PD的最小长度是 ．
【答案】2﹣4
【解答】解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，以BC为边在BC下方作等边△BCO，连接DO，过D作DM⊥CO交CO延长线于M，如图：
∵将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°，BP＝AQ，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ＝CP，∠PQC＝60°，
∵BP2+CP2＝AP2，
∴AQ2+PQ2＝AP2，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQC＝∠AQP+∠PQC＝150°＝∠BPC，
∴P的轨迹是以O为圆心，OB为半径的⊙O上的，
∴当P，D，O共线时，PD最小，PD的最小值为OD﹣OP，
在Rt△DCM中，∠DCM＝180°﹣∠OCB﹣∠BCA＝60°，
∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，
而OM＝OC+CM＝5，
在Rt△DOM中，OD＝＝2，
∴PD＝OD﹣OP＝2﹣4，
即PD的最小长度是2﹣4，
故答案为：2﹣4．
13．（2022秋•大冶市期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 ．
【答案】2
【解答】解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H，如图：
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∵PB＝BF，∠PBF＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，
在Rt△EBH中，∠EBH＝180°﹣∠EBC＝60°，EB＝AB＝4，
∴BH＝BE•cs60°＝2，EH＝EB•sin60°＝2，
∴CH＝BH+CB＝2+6＝8，
∴EC＝＝＝2，
故答案为：2．
14．（2021秋•重庆期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C顺时针旋转得△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△CPP'周长的最小值为 ．
【答案】2+
【解答】解：由旋转可知：∠CPP'＝90°，CP＝CP'，
∴△CPP'是等腰直角三角形，
∴当CP的长度最小时，△CPP'周长即可取得最小值，
∵边AB上有一动点P，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
∴AB＝＝＝，
∵当CP⊥AB时，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
∴AC•BC＝AB•CP，
∴2×＝×CP，
∴CP＝1，
∴CP＝CP'＝1，
∴PP'＝＝，
∴△CPP'周长的最小值为：1+1+＝2+．
故答案为：2+．
15．（2021秋•西平县期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO＝，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，O'C＝EO＝2．
故答案为：2．
16．（2020秋•无锡期末）如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
【答案】（5﹣2，0）
【解答】解：如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝4，OB＝OA＝2，
∵TB⊥BC，
∴∠TBC＝90°，
∴∠TBA＝60°，
∵BT＝BA，
∴△ABT是等边三角形，
∴AT＝AB，∠BAT＝60°，
∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAT＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠TAC，
在△BAD和△TAC中，
，
∴△BAD≌△TAC（SAS），
∴BD＝CT＝，
在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，
∴OC＝BC﹣OB＝5﹣2，
∴C（5﹣2，0）．
17．（2021秋•德州期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O（分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，…，若点A（3，0），B（0，4），AB＝5，则点B2021的坐标为 ．
【答案】（12128，0）
【解答】解：∵AO＝3，BO＝4，
∴AB＝5，
∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
∴B2的横坐标为：12，且B2C2＝4，
∴B4的横坐标为：2×12＝24，
∵2021÷2＝1010…1，
∴点B2021的横坐标为：1010×12+3+5＝12128．
2021÷3＝673…2，
∴点B2021的纵坐标为0，
∴B2021（12128，0），
故答案为：（12128，0）．
18．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是 ．
【答案】+1
【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，
而EM+x＝2，
∴EM＝﹣x+2，
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，
易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2＝（x+）2+4+2，
此时AF2没有最小值，
当D在BC的延长线上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，
当x＝时，AF2有最小值4+2，
∴AF的最小值为＝+1．
故答案为+1．
19．（2021春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 ．
【答案】140°
【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．
又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵OD＝AD，
∴∠AOD＝∠DAO．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°．
故答案是：140°．
20．等边三角形ABC中，AB＝2，D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，取BE的中点M，连接AM，则AM的最大值为 ．
【答案】+
【解答】解：AC交⊙A于F点，连接AD、EF，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∵⊙A的半径为1，即AF＝1，
∴F点为AC的中点，
∴E为CD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴EF＝AD＝，
即点E在以F为圆心，为半径的圆上，
延长BA到P点，使AP＝AB，连接PE，如图，
∵M点为BE的中点，
∴AM为△BPE的中位线，
∴AM＝PE，
过F点作FH⊥AB于H点，连接PF，如图，
在Rt△AFH中，
∵∠HAF＝60°，
∴AH＝AF＝，
∴FH＝AH＝，
在Rt△PHF中，PF＝＝＝，
∴PE的最大值为+，
∴AM的最大值为×（+）＝+．
故答案为：+．
解答题（10题）
21．（2022秋•广西期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 SAS ，易证△AFE≌ △AFG ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠ADC＝180° 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【解答】解：（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：
∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC＝180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，
∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，
∴∠FAE＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+EC2＝DE2．
22．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 60° ；
②线段OD的长 4 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
23．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 BD2+CE2＝DE2 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，
故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2；
即：BD2+CE2＝DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2，
∴CE2＝BD2+DE2．
24．（2021春•淮阳区期末）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝150°，
当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；
（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，
∴∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，
∴∠BAE＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∵点C为AD中点，
∴AC＝AD＝2，
∴AE＝2．
25．（2020秋•红桥区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．
（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．
【解答】解：（1）如图①，
∵点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，
∴AB＝2，
当点O′落在边AB上时，α＝45°，
∴点O′的横坐标为AB＝，纵坐标为2﹣，
∴点O′的坐标为（，2﹣）；
（2）如图②，当α＝60°时，
∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，
∴△ABA′为等边三角形，
∴AA′＝A′B＝AB＝2，
连接OA′，
在△OBA′和△OAA′中，
，
∴△OBA′≌△OAA′（SSS），
∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，
∴直线OA′的函数解析式为y＝x，
∴OA′⊥AB，
∴2OM＝2×2，即OM＝，
A′M＝＝，
∴OA′＝OM+A′M＝+，
∴点A′的坐标为（1+，1+）．
26．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
【解答】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
27．（2021春•乾安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）试求出∠E的度数；
（2）若AE＝9cm，DB＝2cm．请求出CF的长度．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，
∴∠CBA＝90°﹣33°＝57°，
由平移得，∠E＝∠CBA＝57°；
（2）由平移得，AD＝BE＝CF，
∵AE＝9cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝×（9﹣2）＝3.5cm，
∴CF＝3.5cm．
28．（2021秋•河东区校级期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
【解答】解：（1）连接PQ，
由旋转性质有：
BQ＝BP＝8，QC＝PA＝6，∠QBC＝∠ABP，∠BQC＝∠BPA，
∴∠QBC+∠PBC＝∠ABP+∠PBC
即∠QBP＝∠ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠QBP＝60°，
∴△BPQ是正三角形，
∴PQ＝BP＝BQ＝8．
（2）在△PQC中，PQ＝8，QC＝6，PC＝10
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°．
29．（2020•朝阳区校级模拟）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．
【解答】（1）补全图形图1，
证明：在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE．
∵∠APE是△ABP的一个外角，
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；
（2）补全图形图2，，
证明：在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE是△ABP的一个外角，
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．
∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，
∴AF＝AD，∠DAF＝120°．
∵∠APE＝60°，
∴∠APE+∠DAF＝180°．
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠F，
∵△ABD≌△BEC，
∴AD＝BE．
∴AF＝BE．
在△AQF和△EQB中，
△AQF≌△EQB（AAS），
∴AQ＝QE，
∴，
∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，
且AC＝BC，CE＝BD．
∴AE＝CD，
∴．
30．（2022春•沙依巴克区校级期末）如图1，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，
（1）求证：AB∥OC；
（2）如图2，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数．
②若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
【解答】（1）证明：∵CB∥OA
∴∠C+∠COA＝180°
∵∠C＝∠OAB
∴∠OAB+∠COA＝180°
∴AB∥OC
（2）①∠COA＝180°﹣∠C＝70°
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF＝（∠AOF+∠COF）＝∠COA＝35°
②∠OBC：∠OFC的值不发生变化
∵CB∥OA
∴∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA
∵∠FOB＝∠AOB
∴∠FOA＝2∠BOA
∴∠OFC＝2∠OBC
∴∠OBC：∠OFC＝1：2
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