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第05讲 一次方程（组）及其应用（练习）2024年中考数学一轮复习（讲义+练习）（全国通用）
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这是一份第05讲 一次方程（组）及其应用（练习）2024年中考数学一轮复习（讲义+练习）（全国通用），文件包含第05讲一次方程组及其应用练习原卷版docx、第05讲一次方程组及其应用练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc151815070" 题型01 利用等式的变形判断式子正误
\l "_Tc151815071" 题型02 利用等式的性质求解
\l "_Tc151815072" 题型03 判断一元一次方程.
\l "_Tc151815073" 题型04 解一元一次方程
\l "_Tc151815074" 题型05 错看或错解一元一次方程
\l "_Tc151815075" 题型06 二元一次方程（组）的概念
\l "_Tc151815076" 题型07 解二元一次方程组
\l "_Tc151815077" 题型08 错看或错解二元一次方程组问题
\l "_Tc151815078" 题型09 构造二元一次方程组求解
\l "_Tc151815079" 题型10 利用一元一次方程解决实际问题
\l "_Tc151815080" 题型11 利用二元一次方程解决实际问题
题型01 利用等式的变形判断式子正误
1．（2023·浙江衢州·三模）已知a=b，下列等式不一定成立的是（ ）
A．5a=5bB．a+4=b+4C．b−2=a−2D．3ac=3bc
【答案】D
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ∵a=b，∴5a=5b，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵a=b，∴a+4=b+4，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵a=b，∴ b−2=a−2，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵a=b，且c≠0，∴3ac=3bc，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
2．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x=y，则x+c=c−yB．若x=y，则c−x=c−y
C．若x=y，则xc=ycD．若x2c=y3c，则2x=3y
【答案】B
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若x=y，则x+c=y+c，故该选项错误，不符合题意；
B.若x=y，则c−x=c−y，故该选项正确，符合题意；
C.若x=y且c≠0，则xc=yc，故该选项错误，不符合题意；
D. 若x2c=y3c，则3x=2y，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若a>b，则a+m>b−mB．若a=b，则ma=mb
C．若a+m>b−m，则a>bD．若ma=mb，则a=b
【答案】B
【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、若a>b，则a+m不一定大于b−m，故错误；
B、若a=b，则ma=mb，故正确；
C、若a+m>b−m，则a不一定大于b，故错误；
D、若ma=mb，m≠0，则a=b；若ma=mb，m=0，则a≠b或a=b，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
题型02 利用等式的性质求解
1．（2023·河北保定·校考一模）已知a−b=a+3−14，则下列表示b的式子是（ ）
A．14−3B．3−14C．3+14D．−14−3
【答案】A
【分析】运用等式的基本性质解题即可．
【详解】解：∵a−b=a+3−14
∴两边同时减去a得：−b=+3−14
∴两边同时乘以−1得：b=−3+14
故选A．
【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
2．（2023·广东江门·统考三模）若−2a=1，则a的值是（ ）
A．−12B．12C．2D．−2
【答案】A
【分析】根据等式的性质解方程即可求解．
【详解】解：−2a=1
系数化为1，两边同时除以−2得，a=−12，
故选：A．
【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键．
3．（2022·安徽合肥·合肥38中校考三模）已知a≠b，且a＋1b＝b＋1a则下列结论正确的是（ ）
A．a＋b＝0B．ab＝1
C．若a＋b＝0，则a－b＝2D．若a－b＝2，则a＋b＝0
【答案】D
【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可
【详解】∵a＋1b＝b＋1a，
∴a－b＋1b－1a＝0，
∴a−b+a−bab=0，
∴a−b1+1ab=0，
∵a≠b，
∴a−b≠0，
∴1+1ab=0，即ab=−1，
∴选项A、B错误；
当a＋b＝0时，与ab=−1联立，解得a=−1b=1 或a=1b=−1，
可得a－b＝－2或a－b＝2，
故选项C错误；
当a－b＝2时，与ab=−1联立，解得a=1b=−1，
可得a＋b＝0，
故选项D正确；
故选D
【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可．
题型03 判断一元一次方程.
1．（2022·江苏盐城·校联考三模）在下列方程中：①x+2y=3，②1x−3x=9，③y−23=y+13，④12x=0，是一元一次方程的有 （只填序号）．
【答案】③④
【详解】试题分析：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．根据定义可知：①含有两个未知数，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是一元一次方程．
2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
【答案】x＝2或x=−2或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，
即x﹣2＝0
解得：x＝2，
（2）当m=0时，−x−2＝0，
解得：x=−2
（3）当2m-1=0，即m=12时，
方程为12−12x−2=0
解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
题型04 解一元一次方程
1．（2023·浙江·统考一模）解方程：3x−23−1=5−4x6
【答案】x=1.5
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
【详解】解：去分母，得：6x−4−6=5−4x，
移项，得：6x+4x=5+4+6，
合并同类项，得：10x=15，
系数化为1，得：x=1.5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程x+23+2x−14=1，以下去分母正确的是（ ）
A．4x+2+32x−1=12B．4x+2+32x−1=1
C．x+2+2x−1=12D．3x+2+42x−1=12
【答案】A
【分析】各项同时乘以12运算即可．
【详解】解：x+23+2x−14=1，
去分母得，4x+2+32x−1=12，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程—去分母．解题的关键在于正确的运算．
3．（2023常州市二模）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：|cadb|=ad−bc，已知|x2x1−4|=18，则x=（ ）
A．﹣1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据新运算公式，得：2x+4x=18，解得x=3．
【详解】解：∵ |cadb|=ad−bc，
∴2x+4x=18，
解得x=3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是把数式代入到对应的字母中，进行运算求解，易错点是数式与字母不能准确对应．
4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解一元一次方程：1−4−3x4=5x+36−x
【答案】x=611
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：1−4−3x4=5x+36−x
去分母，12−34−3x=25x+3−12x
去括号，12−12+9x=10x+6−12x
移项，9x−10x+12x=6−12+12
合并同类项，11x=6
化系数为1，x=611
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
题型05 错看或错解一元一次方程
1．（2022·河北邯郸·统考三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+＝3时，发现正整数被污染了；
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
【分析】（1）由题意得方程3x−12+2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
（2）设被污染的正整数为m，得方程3x−12+m=3，求解得x=7−2m3，再根据解是正整数求解即可．
【详解】（1）解：3x−12+2=3，
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）解：设被污染的正整数为m，
则有3x−12+m=3，
解之得，x=7−2m3，
∵7−2m3是正整数，且m为正整数，
∴m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
2．（2022·山西太原·一模）（1）下面是小明同学解方程x+32−5x−36=1的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________；
②第三步变形的依据是__________．
任务二：①该一元一次方程的解是_______；
②写出一条解一元一次方程时应注意的事项．
【答案】
任务一：①一，等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任务二：①x=3； ②去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号
【详解】
任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6），
②移项法则（或等式的基本性质一），
任务二：①x+32−5x−36=1，
去分母，得3(x+3)-(5x-3)=6，
去括号，得3x+9-5x+3=6，
移项，得3x-5x=6-9-3，
合并同类项，得-2x=-6，
系数化为，得x=3，
故答案为：x=3；
②答案不唯一如：
Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题的关键．
3．（2022·河北保定·统考一模）已知整式a2−2ab−■ab−4b2，其中“■”处的系数被墨水污染了．当a=−2，b=1时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
【答案】(1)■所表示的数字是2；
(2)小红的说法是正确的，理由见解析.
【分析】（1）直接把a=−2，b=1代入代数式其值等于16，解关于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解．
【详解】（1）（1）将a=−2，b=1代入a2−2ab−■ab−4b2，
可得4+4−(■×(−2)−4)=16，解得■=2；
（2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为，
a2−2ab−2ab−4b2=a2−4ab+4b2=(a−2b)2≥0，
故小红的说法是正确的．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键．
题型06 二元一次方程（组）的概念
1．下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
①x+3y=5x2+y=1 ②x+xy=3x-y=6 ③x+y=5y-z=6 ④5x-2y=31x+y=3 ⑤x=0x+y=5
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①x+3y=5x2+y=1符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②x+xy=3x-y=6方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③x+y=5y-z=6方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④5x-2y=31x+y=3方程组含有1x，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤x=0x+y=5符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．（2023·贵州六盘水·统考二模）下面4组数值中，哪组是二元一次方程x+2y=5的解（ ）
A．x=1y=1B．x=1y=2C．x=2y=2D．x=−1y=−2
【答案】B
【分析】二元一次方程x+2y=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A．把x=1y=1代入方程，左边=1+2≠右边，所以不是方程的解；
B．把x=1y=2代入方程，左边=右边=5，所以是方程的解；
C．把x=2y=2代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；
D．把x=−1y=−2代入方程，左边=−5≠右边，所以不是方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．
3．（2023·河北张家口·统考一模）x=−1y=1不是下列哪个方程的解（ ）
A．x+y=0B．x−y=−2C．2x−y=−1D．x+2y=1
【答案】C
【分析】将x=−1y=1代入各个方程，即可判断．
【详解】经代入计算，可知x=−1y=1能使方程x+y=0、x−y=−2、x+2y=1成立，
x=−1y=1不能使2x−y=−3成立，
∴x=−1y=1不是2x−y=−1的解．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键．
4．（2022·浙江绍兴·校联考二模）已知x=1y=−3是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 ．
【答案】1
【分析】先将x=1y=−3代入方程4x﹣ay＝7，得到4×1−a×(−3)=7，求解即可．
【详解】∵ x=1y=−3是方程4x﹣ay＝7的一个解，
∴4×1−a×(−3)=7，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型07 解二元一次方程组
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是 ．
【答案】x=1y=2/y=2x=1
【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
【详解】解：x+2y=5①y=2x②
把②代入①得：5x=5，解得：x=1，
把x=1代入②得：y=2；
∴原方程组的解为x=1y=2；
故答案为x=1y=2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·统考二模）已知方程组x+2y=62x+y=21，则x+y的值为 ．
【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组x+2y=62x+y=21，解得x=12y=−3
∴x+y=9
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·校考二模）解方程组：x2−y−13=1,①4x−y=8.②
【答案】x=125y=85
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：方程组整理得：3x−2y=4①4x−y=8②，
②×2−①得：5x=12，
解得：x=125，
把x=125代入②得：485−y=8，
解得：y=85，
则方程组的解为x=125y=85．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型08 错看或错解二元一次方程组问题
1．（2023·广东惠州·统考二模）小丽和小明同时解一道关于x、y的方程组ax+y=3x−by=5，其中a、b为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得x=−1y=3；小明看错常数“b”，解得x=2y=1．
(1)求a、b的值；
(2)求出原方程组正确的解．
【答案】(1)a=1，b=−2
(2)x=1y=2
【分析】（1）根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得x=−1y=3，即−1−3b=5是正确的，解得b=−2；小明看错常数“b”，解得x=2y=1，即2a+1=3正确，解得a=1；
（2）由（1）知关于x、y的方程组ax+y=3x−by=5可化为x+y=3x+2y=5，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得x=−1y=3，
∴ −1−3b=5，解得b=−2；
∵在解方程组的过程中，小明看错常数“b”，解得x=2y=1，
∴ 2a+1=3，解得a=1；
∴ a=1；b=−2；
（2）解：由（1）知x+y=3①x+2y=5②，
由①−②得−y=−2，解得y=2，
将y=2代入①得x=1，
∴原方程组的解为x=1y=2．
【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问题的关键．
2．（2021·广东汕头·统考一模）甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x−by=−10②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=1乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=−4
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2−bx+m=0两实数根为x1，x2，且满足7x1−2x2=7，求实数m的值．
【答案】（1）a=7b=−2；（2）m=−5
【分析】（1）将x=−3y=1代入方程②求出b的值，将x=5y=−4代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入ax2−bx+m=0中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】解：（1）根据题意得5a+5×−4=154×−3−b=−10解得a=7b=−2
（2）当a=7b=−2时，一元二次方程ax2−bx+m=0化为7x2+2x+m=0，
由根与系数关系得x1+x2=−27，x1×x2=m7
联成方程组得x1+x2=−277x1−2x2=7，解得x1=57x2=−1
∴m=−5
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
3．（2022许昌市二模）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：2x−y=4①8x−3y=20②．
解：①×4，得8x−4y=16③，………………第一步，
②−③，得−y=4，…………………第二步，
y=−4．……………第三步，
将y=−4代入①，得x=0．…………第四步，
所以，原方程组的解为x=0y=−4．……………第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
A、代入消元法
B、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
【答案】(1)B
(2)二；−3y−(−4y)应该等于y
(3)x=4y=4
【分析】（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；
（3）解方程组即可．
【详解】（1）解：②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，
故答案为：B；
（2）解：第二步开始出现错误，具体错误是−3y−(−4y)应该等于y，
故答案为：二；−3y−(−4y)应该等于y；
（3）解：②−③得y=4，
将y=4代入①，得：x=4，
∴原方程组的解为x=4y=4．
故答案为：x=4y=4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
4．（2021·浙江嘉兴·统考二模）解方程组：3x−2y=6①x+y=5②，小海同学的解题过程如下：
解：由②得y=5+x，③⋯⋯⋯⋯⋯(1)
把③代入①得3x−2x+5=6，⋯⋯⋯⋯⋯(2)
x=−1⋯⋯⋯⋯⋯(3)
把x=−1代入③得y=1，⋯⋯⋯⋯⋯(4)
∴此方程组的解为x=−1y=1．⋯⋯⋯⋯⋯(5)
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），（4），
正确的解答过程：
由②得：y=5-x③
把③代入①得：3x-10+2x=6，
解得：x=165，
把x=165代入③得：y=95，
∴此方程组的解为x=165y=95．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
题型09 构造二元一次方程组求解
1．（2021·青海·统考中考真题）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足2a−3b+5+2a+3b−132=0，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵2a−3b+5+2a+3b−132=0，
∴2a−3b+5＝02a+3b−13＝0
解得a＝2b＝3，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
2．（2023·江苏淮安·校考二模）反比例函数y=kx的图象经过A3,m、B(m−1,6)两点，则k的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=kx的图象经过A3,m、B(m−1,6)两点，
∴k=3mk=6m−1，
解得k=6m=2，
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）若4x+y−42与2x−y+1互为相反数，则xy的值是 .
【答案】14/0.25
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【详解】解：∵4x+y−42+2x−y+1=0，
∴4x+y−4=02x−y+1=0，
解得：x=12y=2，
∴xy=122=14，
故答案为：14．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型10 利用一元一次方程解决实际问题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台每天的产量为12000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000个，口罩是一个口罩面和两个耳挂绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多少台？
【答案】16 ；4
【分析】设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为20−x台，利用耳挂绳是口罩面的2倍列出方程即可求解．
【详解】解：设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为20−x台，
依题意得，9600020−x=2×12000x
解得x=16
∴20−x=20−16=4，
∴该企业购进生产口罩面的机器16台，生产耳挂绳的机器为4台．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
2．（2022·山西运城·统考一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？
【答案】甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米
【分析】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x，即可求出答案．
【详解】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，
根据题意可得：2x+4x+4(x−5)=400−70，
解得：x=35，
x−5=35−5=30，
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
3．（2022·安徽马鞍山·安徽省马鞍山市第七中学校联考二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
【答案】该款奶茶线下销售价格为20元
【分析】找到等量关系式：线上6杯奶茶的价格+配送费－28=线下6杯奶茶的价格，设该款奶茶线下销售价格为x元，根据等量关系式列方程，解方程即可．
【详解】解：设该款奶茶线下销售价格为x元
6×(1+20%)x+4−28=6x
7.2x+4−28=6x
1.2x=24
x=20
答：该款奶茶线下销售价格为20元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系式．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得4分，平一场得2分，负一场得0分，某队在已赛的13场比赛中保持连续不败的战绩，共得40分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【分析】设该队获胜x场，则平(13−x)场，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】设该队获胜x场，则平(13−x)场，依题意
得：4x+213−x=40，
解得：x=7
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．
5．（2023·河北沧州·统考三模）嘉嘉和淇淇玩游戏，下面是两人的对话．
(1)如果淇淇想的数是−6，求他告诉嘉嘉的结果；
(2)设淇淇心里想的数是x，求淇淇告诉嘉嘉的结果；若淇淇告诉嘉嘉的结果是66，求淇淇想的那个数是几．
【答案】(1)−1
(2)61
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意建立方程求解即可．
【详解】（1）解：−6×3−6÷3+7
=−18−6÷3+7
=−24÷3+7
=−8+7
=−1；
（2）解：由题意得，3x−6÷3+7=66，
解得x=61，
∴淇淇想的那个数是61．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽；
【答案】40m，20m
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即可．
【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，
由题意得，35+x=215+x，
解得x=5，
∴35+x=40，15+x=20，
∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）以井测绳．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多半尺．则井深几何？题目大意：古人用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份测量，绳子比井深多五尺；如果将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺．求此水井的深度．
【答案】13尺
【分析】设井深为x尺，则绳子的长度为3x+5尺，然后根据将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺列出方程求解即可．
【详解】解：设井深为x尺，则绳子的长度为3x+5尺，
由题意得，x+0.5=3x+54，
解得x=13，
答：水井的深度为13尺．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
【答案】店中共有8间房
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【详解】解：设店中共有x间房
依题意得：7x+7=9x−1，
解得：x=8，
答：店中共有8间房．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
9．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？ ”题目意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且两人的步长相等，若走路慢的人先走100步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ （注释：“步”是古代的一种计量单位）
【答案】250步
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程=速度×时间，即可求出结论．
【详解】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100-60）t=100，
解得：t=2.5，
∴100t=100×2.5=250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型11 利用二元一次方程解决实际问题
1．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
【答案】(1)8个成人，4个学生
(2)方案见解析，638元
【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票．先凑够16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省．
【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生．
由题意得：x+y=1255x+552y=550，
解得：x=8y=4，
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）∵学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵
∴应尽可能不买成人票，尽量多买学生票
∴当七（2）班4名同学和他们的12名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱．此时，购票费用为:
55×16×0.6+552×4=638元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱方案是解题关键．
2．（2023·广东东莞·模拟预测）A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？
【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米
(2)出发后38小时或58小时两人相距1千米
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米．
依题意：3060x+3060y=44−4060x=34−4060y
解方程组得x=3y=5
答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：4−1÷3+5=38（小时），
相遇后：4+1÷3+5=58（小时）．
故在他们出发后38小时或58小时两人相距1千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
3．（2021·江苏泰州·统考中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建15030km和甲提高效率后每月修建150(30-5)km列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，
x+y=15030(1+50%)x+y=15030−5
解得，x=2y=3
答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．
4．（2017·安徽·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【答案】共有7人，这个物品的价格是53元
【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.
【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
8x−3=y,7x+4=y,解得x=7,y=53,
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程.
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．求大、小两种垃圾桶的单价．
【答案】大、小两种垃圾桶的单价分别为180元和60元
【分析】设大、小两种垃圾桶的单价分别为x元，y元，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设大、小两种垃圾桶的单价分别为x元，y元，由题意，得：
2x+4y=6006x+8y=1560，解得：x=180y=60；
答：大、小两种垃圾桶的单价分别为180元和60元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，用8块形状、大小完全相同的矩形地砖拼成一块长方形地面，且AB=60cm，地砖的拼放方式如图，求每块地砖的长与宽．
【答案】每块地砖的长为45cm,宽为15cm
【分析】通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼成的大长方形的长=小长方形的长×2=3×小长方形的宽+小长方形的长，拼成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组．再求解．
【详解】解：设每块地砖的长为xcm,宽为ycm. 根据题意得x+y=60x=3y ，
解这个方程组得x=45y=15.
答：每块地砖的长为45cm,宽为15cm.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，懂得看图示，从题意和图示找出合适的等量关系：拼放成的大长方形的长=小长方形的长×2=3×小长方形的宽+小长方形的长，拼放成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．列出方程组，再求解．
7．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱37.5，乙持钱25
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
x+12y=50y+23x=50，
解得：x=37.5y=25，
答：甲带钱37.5，乙持钱25；
（2）分开买：37.5÷2.5+25÷2.5=25（本）；
合起来买：37.5+25÷2.5×80%=62.5÷2=31.25≈31（本），
即：31−25=6（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键．
8．（2020·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
5x+2y=192x+5y=16
解得: x=3y=2
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买羊b只．
3a+2b=19,即b=19−3a2．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
9．（2023·湖北孝感·统考一模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
依题意有：5x+45=y7x+3=y，
解得x=21y=150，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组．
1．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．7D．−7
【答案】A
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（ ）
A．9B．−9C．5D．−5
【答案】C
【分析】根据题意得出x+2=7，然后解方程即可．
【详解】解：∵代数式x+2的值为7，
∴x+2=7，
解得：x=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出x+2=7．
3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=−1y=2D．x=2y=4
【答案】A
【分析】代入x,y的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当x=1y=2时，方程左边=2×1+3×2=8，方程左边=方程右边，故A符合题意；
当x=2y=1时，方程左边=2×2+3×1=7，方程左边≠方程右边，故B不符合题意；
当x=−1y=2时，方程左边=2×−1+3×2=4，方程左边≠方程右边，故C不符合题意；
当x=2y=4时，方程左边=2×2+3×4=16，方程左边≠方程右边，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为xg，yg，可列出方程为（ ）
A．52x+y=30B．x+52y=30C．32x+y=30D．x+32y=30
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为xg，yg，则碳水化合物含量为(1.5x)g，
则：x+1.5x+y=30，即52x+y=30，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
5．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
6．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组3x+y=2m−1x−y=n的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用n,m表示出x,y，再将求得的代数式代入x+y=1，得到m,n的关系，最后将4m÷2n变形，即可解答．
法二：3x+y=2m−1①x−y=n②中①−②得到2m−n=2x+y+1，再根据x+y=1求出2m−n=3代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：3x+y=2m−1①x−y=n②，
①+②得4x=2m+n−1，
解得x=2m+n−14，
将x=2m+n−14代入②，解得y=2m−3n−14，
∵x+y=1，
∴2m+n−14+2m−3n−14=1，
得到2m−n=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
法二：3x+y=2m−1①x−y=n②
①−②得：2x+2y=2m−n−1，即：2m−n=2x+y+1，
∵x+y=1，
∴2m−n=2×1+1=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m,n的关系是解题的关键．
7．（2022·湖南株洲·统考中考真题）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x−1=7B．x+2x−2=7
C．x+x−1=7D．x+2x+2=7
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
x+2(x−1)=x+2x−2=7，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A．5x+y=3,x+5y=2B．5x+y=3,x+y=2C．x+5y=3,5x+y=2D．5x+5y=3,x+5y=2
【答案】A
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
5x+y=3x+5y=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．x+y=20x+2y=12B．x+y=12x+2y=20
C．x+y=202x+y=12D．x+y=122x+y=20
【答案】D
【分析】设该队胜x场，负y场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，在12场比赛中得20分，列出方程组即可．
【详解】解：设该队胜x场，负y场，根据题意得：
x+y=122x+y=20，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是找出题目中的等量关系．
10．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．7x−7=y9x−1=yB．7x+7=y9x−1=yC．7x+7=y9x−1=yD．7x−7=y9x−1=y
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：7x+7=y9x−1=y，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为35．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A．x+y=10x+35y=7B．x+y=1035x+y=7C．x+y=7x+53y=10D．x+y=753x+y=10
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则x+y=10；
已知谷子出米率为35，则来年共得米x+35y=7；
则可列方程组为x+y=10x+35y=7，
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可．
12．（2023·山东·统考中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．1″的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是1°．1°=60'=3600″．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是1″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程1.5×1081=x4.848，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得
1.5×1081=x4.848
解得：x=7.272×108
∴等腰三角形底边长为7.272×108毫米=727.2千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
13．（2023·湖南益阳·统考中考真题）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A．x+y=14510x+12y=1580B．x−y=14510x+12y=1580
C．x+y=14512x+10y=1580D．x−y=14512x+10y=1580
【答案】A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据题意得：
x+y=14510x+12y=1580．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14．（2022·四川雅安·统考中考真题）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
【答案】1
【分析】把{x=1y=2代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5=2(a+2b)−5，再整体代入求值即可．
【详解】解：把{x=1y=2代入ax+by＝3可得：
a+2b=3，
∴ 2a+4b﹣5
=2(a+2b)−5
=2×3−5=1．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．
15．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方案．
【答案】3/三
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出x=12−3y4，由于x≥1，y≥1且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可．
【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
4x+3y=48，解得x=12−3y4，
∵x≥1，y≥1且x，y都是正整数，
∴y是4的整数倍，
∴y=4时，x=12−3×44=9，
y=8时，x=12−3×84=6，
y=12时，x=12−3×124=3，
y=16时，x=12−3×164=0，不符合题意，
故有3种购买方案，
故答案为：3．
【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．
16．（2021·重庆·统考中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
【答案】155
【分析】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出x+3y+2z的值即可．
【详解】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则2+3+1+3a+2a+5a+1+3+2=22，解得，a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，2x+3y+z=145①3x+5y+2z=245②
②-①得，x+2y+z=100③，
③×3-①得，x+3y+2z=155，
故答案为：155．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．
17．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 ．
【答案】4：3
【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得2x⋅20%⋅m+30%y⋅3m+20%x⋅2m2mx+3my+2mx=25%，计算可得．
【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
2x⋅20%⋅m+30%y⋅3m+20%x⋅2m2mx+3my+2mx=25%，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
18．（2023·山东·统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
【答案】y=8x−3y=7x+4
【分析】设有x人，物品价值为y元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设有x人，物品价值为y元，
由题意得：y=8x−3y=7x+4．
故答案为：y=8x−3y=7x+4．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键．
19．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则 表示的方程是 ．
【答案】x+2y=32
【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x,y的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】解： 表示的方程是x+2y=32
故答案为：x+2y=32
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
20．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这n+2个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这n+2个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这n+3个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
【答案】a2
【分析】由第一次操作可得：2πrn=2πr+an+2，则n=2ra，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得2πr+an+2=2πr+a+xn+3，解得x=r+a2+n，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：2πrn=2πr+an+2，
∴n=2ra，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
2πr+an+2=2πr+a+xn+3，
∴x=r+a2+n=r+a2+2ra=ar+a2a+r=a2，
故答案为：a2
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
21．（2023·辽宁大连·统考中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8元钱，会多3钱；每人出7元钱，又差4钱，问人数有多少．设有x人，则可列方程为： ．
【答案】8x−3=7x+4
【分析】设有x人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：8x−3元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：7x+4元，根据题意列出一元一次方程即可求解．
【详解】设有x人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：8x−3元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：7x+4元，
则可列方程为：8x−3=7x+4
故答案为：8x−3=7x+4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
22．（2023·湖南怀化·统考中考真题）定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11．如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x= ．
【答案】1
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵(2x,3)⋅(3,−1)=3
∴2x×3+3×−1=3
即6x=6
解得：x=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
23．（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
【答案】967
【分析】设原有生丝x斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝x斤，依题意，
3030−31216=x12
解得：x=967，
故答案为：967．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
24．（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程7x3=4x−16+1时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)划线见解析
(2)x=12，过程见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：7x3=4x−16+1，
2×7x=4x−1+6，
2×7x−4x=−1+6，
10x=5，
x=12．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
25．（2023·山东枣庄·统考中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=a−ba≥2ba+b−6(a<2b)，例如：3※1=3−1=2，5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)x=1，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1）∵4＜3×2，
∴4※3=4+3−6=1，
∵−1＞−3×2
∴(−1)※(−3)=−1−(−3)=2；
故答案为：1；2；
（2）若3x+2≥2(x−1)时，即x≥−4时，则
(3x+2)−(x−1)=5，
解得：x=1，
若3x+2＜2(x−1)时，即x＜−4时，则
(3x+2)+(x−1)−6=5，
解得：x=52，不合题意，舍去，
∴x=1，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：x−2y=1①3x+4y=23②
【答案】x=5y=2
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①×2得：2x−4y=2③
②+③得：x=5
将x=5代入①得：y=2
所以x=5y=2是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
27．（2023·北京·统考中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm
【分析】设天头长为xcm，则地头长为23xcm，边的宽为110x+23xcm=16xcm，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为xcm，
由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为23xcm，
边的宽为110x+23xcm=16xcm，
装裱后的长为23x+x+100cm=53x+100cm，
装裱后的宽为16x+16x+27cm=13x+27cm，
由题意可得：53x+100=13x+27×4
解得x=24，
∴16x=4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
28．（2023·河北·统考中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2)k=6．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得4×3+2×1+4×−2=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得3k+3×1+10−k−3×−2=6+13，
解得：k=6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
29．（2023·吉林·统考中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【分析】设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元，
由题意得：x+2y=13002x+3y=2300，
解得x=700y=300，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．
30．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
(2)租14辆45座客车较合算
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得45y+15=x60(y−3)=x
解得：x=600y=13，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
14×200=2800，10×300=3000，
∵2800<3000
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
31．（2023·安徽·统考中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元
【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意得，
x+10=yx1+10%+1=y−5
解得：x=40y=50
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
1．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab−bc=cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41−12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53−32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【答案】 4312 8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ a312是递减数，
∴10a+3−31=12，
∴a=4，
∴这个数为4312；
故答案为：4312
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，
∴10a+b−10b−c=10c+d，
∵abc+bcd=100a+10b+c+100b+10c+d，
∴abc+bcd=100a+10b+c+100b+10a+b−10b−c=110a+101b，
∵110a+101b=99a+b+11a+2b，能被9整除，
∴11a+2b能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴a=1b=8,a=2b=7,a=3b=6,a=4b=5,a=5b=4,a=6b=3,a=7b=2,a=8b=1，
∵最大的递减数，
∴a=8,b=1，
∴10×8−9×1−c=10c+d，即：11c+d=71，
∴c最大取6，此时d=5，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
解：去分母，得3(x+3)−(5x−3)=1． 第一步
去括号，得3x+9−5x+3=1． 第二步
移项，得3x−5x=−9−3+1． 第三步
合并同类项．得−2x=−11． 第四步
系数化为1，得x=211． 第五步
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
−2
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc151815070" 题型01 利用等式的变形判断式子正误
\l "_Tc151815071" 题型02 利用等式的性质求解
\l "_Tc151815072" 题型03 判断一元一次方程.
\l "_Tc151815073" 题型04 解一元一次方程
\l "_Tc151815074" 题型05 错看或错解一元一次方程
\l "_Tc151815075" 题型06 二元一次方程（组）的概念
\l "_Tc151815076" 题型07 解二元一次方程组
\l "_Tc151815077" 题型08 错看或错解二元一次方程组问题
\l "_Tc151815078" 题型09 构造二元一次方程组求解
\l "_Tc151815079" 题型10 利用一元一次方程解决实际问题
\l "_Tc151815080" 题型11 利用二元一次方程解决实际问题
题型01 利用等式的变形判断式子正误
1．（2023·浙江衢州·三模）已知a=b，下列等式不一定成立的是（ ）
A．5a=5bB．a+4=b+4C．b−2=a−2D．3ac=3bc
【答案】D
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ∵a=b，∴5a=5b，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵a=b，∴a+4=b+4，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵a=b，∴ b−2=a−2，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵a=b，且c≠0，∴3ac=3bc，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
2．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x=y，则x+c=c−yB．若x=y，则c−x=c−y
C．若x=y，则xc=ycD．若x2c=y3c，则2x=3y
【答案】B
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若x=y，则x+c=y+c，故该选项错误，不符合题意；
B.若x=y，则c−x=c−y，故该选项正确，符合题意；
C.若x=y且c≠0，则xc=yc，故该选项错误，不符合题意；
D. 若x2c=y3c，则3x=2y，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若a>b，则a+m>b−mB．若a=b，则ma=mb
C．若a+m>b−m，则a>bD．若ma=mb，则a=b
【答案】B
【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、若a>b，则a+m不一定大于b−m，故错误；
B、若a=b，则ma=mb，故正确；
C、若a+m>b−m，则a不一定大于b，故错误；
D、若ma=mb，m≠0，则a=b；若ma=mb，m=0，则a≠b或a=b，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
题型02 利用等式的性质求解
1．（2023·河北保定·校考一模）已知a−b=a+3−14，则下列表示b的式子是（ ）
A．14−3B．3−14C．3+14D．−14−3
【答案】A
【分析】运用等式的基本性质解题即可．
【详解】解：∵a−b=a+3−14
∴两边同时减去a得：−b=+3−14
∴两边同时乘以−1得：b=−3+14
故选A．
【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
2．（2023·广东江门·统考三模）若−2a=1，则a的值是（ ）
A．−12B．12C．2D．−2
【答案】A
【分析】根据等式的性质解方程即可求解．
【详解】解：−2a=1
系数化为1，两边同时除以−2得，a=−12，
故选：A．
【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键．
3．（2022·安徽合肥·合肥38中校考三模）已知a≠b，且a＋1b＝b＋1a则下列结论正确的是（ ）
A．a＋b＝0B．ab＝1
C．若a＋b＝0，则a－b＝2D．若a－b＝2，则a＋b＝0
【答案】D
【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可
【详解】∵a＋1b＝b＋1a，
∴a－b＋1b－1a＝0，
∴a−b+a−bab=0，
∴a−b1+1ab=0，
∵a≠b，
∴a−b≠0，
∴1+1ab=0，即ab=−1，
∴选项A、B错误；
当a＋b＝0时，与ab=−1联立，解得a=−1b=1 或a=1b=−1，
可得a－b＝－2或a－b＝2，
故选项C错误；
当a－b＝2时，与ab=−1联立，解得a=1b=−1，
可得a＋b＝0，
故选项D正确；
故选D
【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可．
题型03 判断一元一次方程.
1．（2022·江苏盐城·校联考三模）在下列方程中：①x+2y=3，②1x−3x=9，③y−23=y+13，④12x=0，是一元一次方程的有 （只填序号）．
【答案】③④
【详解】试题分析：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．根据定义可知：①含有两个未知数，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是一元一次方程．
2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
【答案】x＝2或x=−2或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，
即x﹣2＝0
解得：x＝2，
（2）当m=0时，−x−2＝0，
解得：x=−2
（3）当2m-1=0，即m=12时，
方程为12−12x−2=0
解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
题型04 解一元一次方程
1．（2023·浙江·统考一模）解方程：3x−23−1=5−4x6
【答案】x=1.5
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
【详解】解：去分母，得：6x−4−6=5−4x，
移项，得：6x+4x=5+4+6，
合并同类项，得：10x=15，
系数化为1，得：x=1.5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程x+23+2x−14=1，以下去分母正确的是（ ）
A．4x+2+32x−1=12B．4x+2+32x−1=1
C．x+2+2x−1=12D．3x+2+42x−1=12
【答案】A
【分析】各项同时乘以12运算即可．
【详解】解：x+23+2x−14=1，
去分母得，4x+2+32x−1=12，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程—去分母．解题的关键在于正确的运算．
3．（2023常州市二模）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：|cadb|=ad−bc，已知|x2x1−4|=18，则x=（ ）
A．﹣1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据新运算公式，得：2x+4x=18，解得x=3．
【详解】解：∵ |cadb|=ad−bc，
∴2x+4x=18，
解得x=3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是把数式代入到对应的字母中，进行运算求解，易错点是数式与字母不能准确对应．
4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解一元一次方程：1−4−3x4=5x+36−x
【答案】x=611
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：1−4−3x4=5x+36−x
去分母，12−34−3x=25x+3−12x
去括号，12−12+9x=10x+6−12x
移项，9x−10x+12x=6−12+12
合并同类项，11x=6
化系数为1，x=611
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
题型05 错看或错解一元一次方程
1．（2022·河北邯郸·统考三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+＝3时，发现正整数被污染了；
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
【分析】（1）由题意得方程3x−12+2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
（2）设被污染的正整数为m，得方程3x−12+m=3，求解得x=7−2m3，再根据解是正整数求解即可．
【详解】（1）解：3x−12+2=3，
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）解：设被污染的正整数为m，
则有3x−12+m=3，
解之得，x=7−2m3，
∵7−2m3是正整数，且m为正整数，
∴m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
2．（2022·山西太原·一模）（1）下面是小明同学解方程x+32−5x−36=1的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________；
②第三步变形的依据是__________．
任务二：①该一元一次方程的解是_______；
②写出一条解一元一次方程时应注意的事项．
【答案】
任务一：①一，等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任务二：①x=3； ②去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号
【详解】
任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6），
②移项法则（或等式的基本性质一），
任务二：①x+32−5x−36=1，
去分母，得3(x+3)-(5x-3)=6，
去括号，得3x+9-5x+3=6，
移项，得3x-5x=6-9-3，
合并同类项，得-2x=-6，
系数化为，得x=3，
故答案为：x=3；
②答案不唯一如：
Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题的关键．
3．（2022·河北保定·统考一模）已知整式a2−2ab−■ab−4b2，其中“■”处的系数被墨水污染了．当a=−2，b=1时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
【答案】(1)■所表示的数字是2；
(2)小红的说法是正确的，理由见解析.
【分析】（1）直接把a=−2，b=1代入代数式其值等于16，解关于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解．
【详解】（1）（1）将a=−2，b=1代入a2−2ab−■ab−4b2，
可得4+4−(■×(−2)−4)=16，解得■=2；
（2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为，
a2−2ab−2ab−4b2=a2−4ab+4b2=(a−2b)2≥0，
故小红的说法是正确的．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键．
题型06 二元一次方程（组）的概念
1．下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
①x+3y=5x2+y=1 ②x+xy=3x-y=6 ③x+y=5y-z=6 ④5x-2y=31x+y=3 ⑤x=0x+y=5
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①x+3y=5x2+y=1符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②x+xy=3x-y=6方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③x+y=5y-z=6方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④5x-2y=31x+y=3方程组含有1x，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤x=0x+y=5符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．（2023·贵州六盘水·统考二模）下面4组数值中，哪组是二元一次方程x+2y=5的解（ ）
A．x=1y=1B．x=1y=2C．x=2y=2D．x=−1y=−2
【答案】B
【分析】二元一次方程x+2y=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A．把x=1y=1代入方程，左边=1+2≠右边，所以不是方程的解；
B．把x=1y=2代入方程，左边=右边=5，所以是方程的解；
C．把x=2y=2代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；
D．把x=−1y=−2代入方程，左边=−5≠右边，所以不是方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．
3．（2023·河北张家口·统考一模）x=−1y=1不是下列哪个方程的解（ ）
A．x+y=0B．x−y=−2C．2x−y=−1D．x+2y=1
【答案】C
【分析】将x=−1y=1代入各个方程，即可判断．
【详解】经代入计算，可知x=−1y=1能使方程x+y=0、x−y=−2、x+2y=1成立，
x=−1y=1不能使2x−y=−3成立，
∴x=−1y=1不是2x−y=−1的解．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键．
4．（2022·浙江绍兴·校联考二模）已知x=1y=−3是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 ．
【答案】1
【分析】先将x=1y=−3代入方程4x﹣ay＝7，得到4×1−a×(−3)=7，求解即可．
【详解】∵ x=1y=−3是方程4x﹣ay＝7的一个解，
∴4×1−a×(−3)=7，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型07 解二元一次方程组
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是 ．
【答案】x=1y=2/y=2x=1
【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
【详解】解：x+2y=5①y=2x②
把②代入①得：5x=5，解得：x=1，
把x=1代入②得：y=2；
∴原方程组的解为x=1y=2；
故答案为x=1y=2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·统考二模）已知方程组x+2y=62x+y=21，则x+y的值为 ．
【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组x+2y=62x+y=21，解得x=12y=−3
∴x+y=9
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·校考二模）解方程组：x2−y−13=1,①4x−y=8.②
【答案】x=125y=85
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：方程组整理得：3x−2y=4①4x−y=8②，
②×2−①得：5x=12，
解得：x=125，
把x=125代入②得：485−y=8，
解得：y=85，
则方程组的解为x=125y=85．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型08 错看或错解二元一次方程组问题
1．（2023·广东惠州·统考二模）小丽和小明同时解一道关于x、y的方程组ax+y=3x−by=5，其中a、b为常数．在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得x=−1y=3；小明看错常数“b”，解得x=2y=1．
(1)求a、b的值；
(2)求出原方程组正确的解．
【答案】(1)a=1，b=−2
(2)x=1y=2
【分析】（1）根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得x=−1y=3，即−1−3b=5是正确的，解得b=−2；小明看错常数“b”，解得x=2y=1，即2a+1=3正确，解得a=1；
（2）由（1）知关于x、y的方程组ax+y=3x−by=5可化为x+y=3x+2y=5，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得x=−1y=3，
∴ −1−3b=5，解得b=−2；
∵在解方程组的过程中，小明看错常数“b”，解得x=2y=1，
∴ 2a+1=3，解得a=1；
∴ a=1；b=−2；
（2）解：由（1）知x+y=3①x+2y=5②，
由①−②得−y=−2，解得y=2，
将y=2代入①得x=1，
∴原方程组的解为x=1y=2．
【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问题的关键．
2．（2021·广东汕头·统考一模）甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x−by=−10②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=1乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=−4
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2−bx+m=0两实数根为x1，x2，且满足7x1−2x2=7，求实数m的值．
【答案】（1）a=7b=−2；（2）m=−5
【分析】（1）将x=−3y=1代入方程②求出b的值，将x=5y=−4代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入ax2−bx+m=0中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】解：（1）根据题意得5a+5×−4=154×−3−b=−10解得a=7b=−2
（2）当a=7b=−2时，一元二次方程ax2−bx+m=0化为7x2+2x+m=0，
由根与系数关系得x1+x2=−27，x1×x2=m7
联成方程组得x1+x2=−277x1−2x2=7，解得x1=57x2=−1
∴m=−5
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
3．（2022许昌市二模）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：2x−y=4①8x−3y=20②．
解：①×4，得8x−4y=16③，………………第一步，
②−③，得−y=4，…………………第二步，
y=−4．……………第三步，
将y=−4代入①，得x=0．…………第四步，
所以，原方程组的解为x=0y=−4．……………第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
A、代入消元法
B、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
【答案】(1)B
(2)二；−3y−(−4y)应该等于y
(3)x=4y=4
【分析】（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；
（3）解方程组即可．
【详解】（1）解：②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，
故答案为：B；
（2）解：第二步开始出现错误，具体错误是−3y−(−4y)应该等于y，
故答案为：二；−3y−(−4y)应该等于y；
（3）解：②−③得y=4，
将y=4代入①，得：x=4，
∴原方程组的解为x=4y=4．
故答案为：x=4y=4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
4．（2021·浙江嘉兴·统考二模）解方程组：3x−2y=6①x+y=5②，小海同学的解题过程如下：
解：由②得y=5+x，③⋯⋯⋯⋯⋯(1)
把③代入①得3x−2x+5=6，⋯⋯⋯⋯⋯(2)
x=−1⋯⋯⋯⋯⋯(3)
把x=−1代入③得y=1，⋯⋯⋯⋯⋯(4)
∴此方程组的解为x=−1y=1．⋯⋯⋯⋯⋯(5)
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），（4），
正确的解答过程：
由②得：y=5-x③
把③代入①得：3x-10+2x=6，
解得：x=165，
把x=165代入③得：y=95，
∴此方程组的解为x=165y=95．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
题型09 构造二元一次方程组求解
1．（2021·青海·统考中考真题）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足2a−3b+5+2a+3b−132=0，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵2a−3b+5+2a+3b−132=0，
∴2a−3b+5＝02a+3b−13＝0
解得a＝2b＝3，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
2．（2023·江苏淮安·校考二模）反比例函数y=kx的图象经过A3,m、B(m−1,6)两点，则k的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=kx的图象经过A3,m、B(m−1,6)两点，
∴k=3mk=6m−1，
解得k=6m=2，
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）若4x+y−42与2x−y+1互为相反数，则xy的值是 .
【答案】14/0.25
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【详解】解：∵4x+y−42+2x−y+1=0，
∴4x+y−4=02x−y+1=0，
解得：x=12y=2，
∴xy=122=14，
故答案为：14．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型10 利用一元一次方程解决实际问题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台每天的产量为12000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000个，口罩是一个口罩面和两个耳挂绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多少台？
【答案】16 ；4
【分析】设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为20−x台，利用耳挂绳是口罩面的2倍列出方程即可求解．
【详解】解：设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为20−x台，
依题意得，9600020−x=2×12000x
解得x=16
∴20−x=20−16=4，
∴该企业购进生产口罩面的机器16台，生产耳挂绳的机器为4台．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
2．（2022·山西运城·统考一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？
【答案】甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米
【分析】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x，即可求出答案．
【详解】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，
根据题意可得：2x+4x+4(x−5)=400−70，
解得：x=35，
x−5=35−5=30，
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
3．（2022·安徽马鞍山·安徽省马鞍山市第七中学校联考二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
【答案】该款奶茶线下销售价格为20元
【分析】找到等量关系式：线上6杯奶茶的价格+配送费－28=线下6杯奶茶的价格，设该款奶茶线下销售价格为x元，根据等量关系式列方程，解方程即可．
【详解】解：设该款奶茶线下销售价格为x元
6×(1+20%)x+4−28=6x
7.2x+4−28=6x
1.2x=24
x=20
答：该款奶茶线下销售价格为20元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系式．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得4分，平一场得2分，负一场得0分，某队在已赛的13场比赛中保持连续不败的战绩，共得40分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【分析】设该队获胜x场，则平(13−x)场，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】设该队获胜x场，则平(13−x)场，依题意
得：4x+213−x=40，
解得：x=7
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．
5．（2023·河北沧州·统考三模）嘉嘉和淇淇玩游戏，下面是两人的对话．
(1)如果淇淇想的数是−6，求他告诉嘉嘉的结果；
(2)设淇淇心里想的数是x，求淇淇告诉嘉嘉的结果；若淇淇告诉嘉嘉的结果是66，求淇淇想的那个数是几．
【答案】(1)−1
(2)61
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意建立方程求解即可．
【详解】（1）解：−6×3−6÷3+7
=−18−6÷3+7
=−24÷3+7
=−8+7
=−1；
（2）解：由题意得，3x−6÷3+7=66，
解得x=61，
∴淇淇想的那个数是61．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽；
【答案】40m，20m
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即可．
【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，
由题意得，35+x=215+x，
解得x=5，
∴35+x=40，15+x=20，
∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）以井测绳．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多半尺．则井深几何？题目大意：古人用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份测量，绳子比井深多五尺；如果将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺．求此水井的深度．
【答案】13尺
【分析】设井深为x尺，则绳子的长度为3x+5尺，然后根据将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺列出方程求解即可．
【详解】解：设井深为x尺，则绳子的长度为3x+5尺，
由题意得，x+0.5=3x+54，
解得x=13，
答：水井的深度为13尺．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
【答案】店中共有8间房
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【详解】解：设店中共有x间房
依题意得：7x+7=9x−1，
解得：x=8，
答：店中共有8间房．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
9．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？ ”题目意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且两人的步长相等，若走路慢的人先走100步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ （注释：“步”是古代的一种计量单位）
【答案】250步
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程=速度×时间，即可求出结论．
【详解】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100-60）t=100，
解得：t=2.5，
∴100t=100×2.5=250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型11 利用二元一次方程解决实际问题
1．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
【答案】(1)8个成人，4个学生
(2)方案见解析，638元
【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票．先凑够16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省．
【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生．
由题意得：x+y=1255x+552y=550，
解得：x=8y=4，
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）∵学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵
∴应尽可能不买成人票，尽量多买学生票
∴当七（2）班4名同学和他们的12名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱．此时，购票费用为:
55×16×0.6+552×4=638元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱方案是解题关键．
2．（2023·广东东莞·模拟预测）A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？
【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米
(2)出发后38小时或58小时两人相距1千米
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米．
依题意：3060x+3060y=44−4060x=34−4060y
解方程组得x=3y=5
答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：4−1÷3+5=38（小时），
相遇后：4+1÷3+5=58（小时）．
故在他们出发后38小时或58小时两人相距1千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
3．（2021·江苏泰州·统考中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建15030km和甲提高效率后每月修建150(30-5)km列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，
x+y=15030(1+50%)x+y=15030−5
解得，x=2y=3
答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．
4．（2017·安徽·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【答案】共有7人，这个物品的价格是53元
【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.
【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
8x−3=y,7x+4=y,解得x=7,y=53,
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程.
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．求大、小两种垃圾桶的单价．
【答案】大、小两种垃圾桶的单价分别为180元和60元
【分析】设大、小两种垃圾桶的单价分别为x元，y元，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设大、小两种垃圾桶的单价分别为x元，y元，由题意，得：
2x+4y=6006x+8y=1560，解得：x=180y=60；
答：大、小两种垃圾桶的单价分别为180元和60元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，用8块形状、大小完全相同的矩形地砖拼成一块长方形地面，且AB=60cm，地砖的拼放方式如图，求每块地砖的长与宽．
【答案】每块地砖的长为45cm,宽为15cm
【分析】通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼成的大长方形的长=小长方形的长×2=3×小长方形的宽+小长方形的长，拼成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组．再求解．
【详解】解：设每块地砖的长为xcm,宽为ycm. 根据题意得x+y=60x=3y ，
解这个方程组得x=45y=15.
答：每块地砖的长为45cm,宽为15cm.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，懂得看图示，从题意和图示找出合适的等量关系：拼放成的大长方形的长=小长方形的长×2=3×小长方形的宽+小长方形的长，拼放成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．列出方程组，再求解．
7．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱37.5，乙持钱25
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
x+12y=50y+23x=50，
解得：x=37.5y=25，
答：甲带钱37.5，乙持钱25；
（2）分开买：37.5÷2.5+25÷2.5=25（本）；
合起来买：37.5+25÷2.5×80%=62.5÷2=31.25≈31（本），
即：31−25=6（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键．
8．（2020·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
5x+2y=192x+5y=16
解得: x=3y=2
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买羊b只．
3a+2b=19,即b=19−3a2．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
9．（2023·湖北孝感·统考一模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
依题意有：5x+45=y7x+3=y，
解得x=21y=150，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组．
1．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．7D．−7
【答案】A
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（ ）
A．9B．−9C．5D．−5
【答案】C
【分析】根据题意得出x+2=7，然后解方程即可．
【详解】解：∵代数式x+2的值为7，
∴x+2=7，
解得：x=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出x+2=7．
3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=−1y=2D．x=2y=4
【答案】A
【分析】代入x,y的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当x=1y=2时，方程左边=2×1+3×2=8，方程左边=方程右边，故A符合题意；
当x=2y=1时，方程左边=2×2+3×1=7，方程左边≠方程右边，故B不符合题意；
当x=−1y=2时，方程左边=2×−1+3×2=4，方程左边≠方程右边，故C不符合题意；
当x=2y=4时，方程左边=2×2+3×4=16，方程左边≠方程右边，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为xg，yg，可列出方程为（ ）
A．52x+y=30B．x+52y=30C．32x+y=30D．x+32y=30
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为xg，yg，则碳水化合物含量为(1.5x)g，
则：x+1.5x+y=30，即52x+y=30，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
5．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
6．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组3x+y=2m−1x−y=n的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用n,m表示出x,y，再将求得的代数式代入x+y=1，得到m,n的关系，最后将4m÷2n变形，即可解答．
法二：3x+y=2m−1①x−y=n②中①−②得到2m−n=2x+y+1，再根据x+y=1求出2m−n=3代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：3x+y=2m−1①x−y=n②，
①+②得4x=2m+n−1，
解得x=2m+n−14，
将x=2m+n−14代入②，解得y=2m−3n−14，
∵x+y=1，
∴2m+n−14+2m−3n−14=1，
得到2m−n=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
法二：3x+y=2m−1①x−y=n②
①−②得：2x+2y=2m−n−1，即：2m−n=2x+y+1，
∵x+y=1，
∴2m−n=2×1+1=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m,n的关系是解题的关键．
7．（2022·湖南株洲·统考中考真题）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x−1=7B．x+2x−2=7
C．x+x−1=7D．x+2x+2=7
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
x+2(x−1)=x+2x−2=7，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A．5x+y=3,x+5y=2B．5x+y=3,x+y=2C．x+5y=3,5x+y=2D．5x+5y=3,x+5y=2
【答案】A
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
5x+y=3x+5y=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．x+y=20x+2y=12B．x+y=12x+2y=20
C．x+y=202x+y=12D．x+y=122x+y=20
【答案】D
【分析】设该队胜x场，负y场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，在12场比赛中得20分，列出方程组即可．
【详解】解：设该队胜x场，负y场，根据题意得：
x+y=122x+y=20，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是找出题目中的等量关系．
10．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．7x−7=y9x−1=yB．7x+7=y9x−1=yC．7x+7=y9x−1=yD．7x−7=y9x−1=y
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：7x+7=y9x−1=y，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为35．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A．x+y=10x+35y=7B．x+y=1035x+y=7C．x+y=7x+53y=10D．x+y=753x+y=10
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则x+y=10；
已知谷子出米率为35，则来年共得米x+35y=7；
则可列方程组为x+y=10x+35y=7，
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可．
12．（2023·山东·统考中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．1″的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是1°．1°=60'=3600″．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是1″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程1.5×1081=x4.848，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得
1.5×1081=x4.848
解得：x=7.272×108
∴等腰三角形底边长为7.272×108毫米=727.2千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
13．（2023·湖南益阳·统考中考真题）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A．x+y=14510x+12y=1580B．x−y=14510x+12y=1580
C．x+y=14512x+10y=1580D．x−y=14512x+10y=1580
【答案】A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据题意得：
x+y=14510x+12y=1580．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14．（2022·四川雅安·统考中考真题）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
【答案】1
【分析】把{x=1y=2代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5=2(a+2b)−5，再整体代入求值即可．
【详解】解：把{x=1y=2代入ax+by＝3可得：
a+2b=3，
∴ 2a+4b﹣5
=2(a+2b)−5
=2×3−5=1．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．
15．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方案．
【答案】3/三
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出x=12−3y4，由于x≥1，y≥1且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可．
【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
4x+3y=48，解得x=12−3y4，
∵x≥1，y≥1且x，y都是正整数，
∴y是4的整数倍，
∴y=4时，x=12−3×44=9，
y=8时，x=12−3×84=6，
y=12时，x=12−3×124=3，
y=16时，x=12−3×164=0，不符合题意，
故有3种购买方案，
故答案为：3．
【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．
16．（2021·重庆·统考中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
【答案】155
【分析】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出x+3y+2z的值即可．
【详解】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则2+3+1+3a+2a+5a+1+3+2=22，解得，a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，2x+3y+z=145①3x+5y+2z=245②
②-①得，x+2y+z=100③，
③×3-①得，x+3y+2z=155，
故答案为：155．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．
17．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 ．
【答案】4：3
【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得2x⋅20%⋅m+30%y⋅3m+20%x⋅2m2mx+3my+2mx=25%，计算可得．
【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
2x⋅20%⋅m+30%y⋅3m+20%x⋅2m2mx+3my+2mx=25%，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
18．（2023·山东·统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
【答案】y=8x−3y=7x+4
【分析】设有x人，物品价值为y元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设有x人，物品价值为y元，
由题意得：y=8x−3y=7x+4．
故答案为：y=8x−3y=7x+4．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键．
19．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则 表示的方程是 ．
【答案】x+2y=32
【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x,y的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】解： 表示的方程是x+2y=32
故答案为：x+2y=32
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
20．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这n+2个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这n+2个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这n+3个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
【答案】a2
【分析】由第一次操作可得：2πrn=2πr+an+2，则n=2ra，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得2πr+an+2=2πr+a+xn+3，解得x=r+a2+n，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：2πrn=2πr+an+2，
∴n=2ra，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
2πr+an+2=2πr+a+xn+3，
∴x=r+a2+n=r+a2+2ra=ar+a2a+r=a2，
故答案为：a2
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
21．（2023·辽宁大连·统考中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8元钱，会多3钱；每人出7元钱，又差4钱，问人数有多少．设有x人，则可列方程为： ．
【答案】8x−3=7x+4
【分析】设有x人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：8x−3元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：7x+4元，根据题意列出一元一次方程即可求解．
【详解】设有x人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：8x−3元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：7x+4元，
则可列方程为：8x−3=7x+4
故答案为：8x−3=7x+4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
22．（2023·湖南怀化·统考中考真题）定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11．如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x= ．
【答案】1
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵(2x,3)⋅(3,−1)=3
∴2x×3+3×−1=3
即6x=6
解得：x=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
23．（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
【答案】967
【分析】设原有生丝x斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝x斤，依题意，
3030−31216=x12
解得：x=967，
故答案为：967．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
24．（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程7x3=4x−16+1时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)划线见解析
(2)x=12，过程见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：7x3=4x−16+1，
2×7x=4x−1+6，
2×7x−4x=−1+6，
10x=5，
x=12．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
25．（2023·山东枣庄·统考中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=a−ba≥2ba+b−6(a<2b)，例如：3※1=3−1=2，5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)x=1，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1）∵4＜3×2，
∴4※3=4+3−6=1，
∵−1＞−3×2
∴(−1)※(−3)=−1−(−3)=2；
故答案为：1；2；
（2）若3x+2≥2(x−1)时，即x≥−4时，则
(3x+2)−(x−1)=5，
解得：x=1，
若3x+2＜2(x−1)时，即x＜−4时，则
(3x+2)+(x−1)−6=5，
解得：x=52，不合题意，舍去，
∴x=1，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：x−2y=1①3x+4y=23②
【答案】x=5y=2
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①×2得：2x−4y=2③
②+③得：x=5
将x=5代入①得：y=2
所以x=5y=2是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
27．（2023·北京·统考中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm
【分析】设天头长为xcm，则地头长为23xcm，边的宽为110x+23xcm=16xcm，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为xcm，
由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为23xcm，
边的宽为110x+23xcm=16xcm，
装裱后的长为23x+x+100cm=53x+100cm，
装裱后的宽为16x+16x+27cm=13x+27cm，
由题意可得：53x+100=13x+27×4
解得x=24，
∴16x=4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
28．（2023·河北·统考中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2)k=6．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得4×3+2×1+4×−2=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得3k+3×1+10−k−3×−2=6+13，
解得：k=6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
29．（2023·吉林·统考中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【分析】设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元，
由题意得：x+2y=13002x+3y=2300，
解得x=700y=300，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．
30．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
(2)租14辆45座客车较合算
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得45y+15=x60(y−3)=x
解得：x=600y=13，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
14×200=2800，10×300=3000，
∵2800<3000
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
31．（2023·安徽·统考中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元
【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意得，
x+10=yx1+10%+1=y−5
解得：x=40y=50
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
1．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab−bc=cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41−12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53−32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【答案】 4312 8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ a312是递减数，
∴10a+3−31=12，
∴a=4，
∴这个数为4312；
故答案为：4312
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，
∴10a+b−10b−c=10c+d，
∵abc+bcd=100a+10b+c+100b+10c+d，
∴abc+bcd=100a+10b+c+100b+10a+b−10b−c=110a+101b，
∵110a+101b=99a+b+11a+2b，能被9整除，
∴11a+2b能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴a=1b=8,a=2b=7,a=3b=6,a=4b=5,a=5b=4,a=6b=3,a=7b=2,a=8b=1，
∵最大的递减数，
∴a=8,b=1，
∴10×8−9×1−c=10c+d，即：11c+d=71，
∴c最大取6，此时d=5，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
解：去分母，得3(x+3)−(5x−3)=1． 第一步
去括号，得3x+9−5x+3=1． 第二步
移项，得3x−5x=−9−3+1． 第三步
合并同类项．得−2x=−11． 第四步
系数化为1，得x=211． 第五步
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
−2
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
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