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第3讲 平面向量的应用（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）
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这是一份第3讲 平面向量的应用（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册），文件包含第3讲平面向量的应用练透重点题型原卷版docx、第3讲平面向量的应用练透重点题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共144页， 欢迎下载使用。
类型一：向量在物理中的应用
类型二：利用正、余弦定理解三角形
类型三：判断三角形解的个数
类型四：判断三角形的形状
类型五：余弦定理、正弦定理应用举例
角度1：测量距离问题
角度2：测量高度问题
角度3：测量角度问题
类型六：三角形中线问题
角度1：向量化法
角度2：角互补法
类型七：三角形角平分线问题
角度1：比例法
角度2：等面积法
角度3：角互补法
类型八：三角形面积问题
角度1：三角形面积（定值问题）
角度2：三角形面积（最值问题）
角度3：三角形面积（范围问题）
类型九：三角形周长问题
角度1：三角形周长（边长）（定值问题）
角度2：三角形周长（边长）（最值问题）
角度3：三角形周长（边长）（范围问题）
类型十：新定义题
类型一：向量在物理中的应用
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____.（写出所有正确答案的序号）
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
例题3．（2023·高一课时练习）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
同类题型演练
1．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．
3．（2023·全国·高三专题练习）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：
(1)的大小；
(2)与夹角的大小．
4．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
类型二：利用正、余弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2023秋·北京通州·高三统考期末）在中，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）在中，已知，，，于，则的长为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为______．
例题4．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）在中，角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，则的值为____________.
例题5．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，分别是三个内角，，所对边的长，已知，，面积，求的值．
同类题型演练
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．
3．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
4．（2023·高一课时练习）在中，已知，，．
(1)求的值；
(2)若点在边上，且，求的长．
5．（2023·北京顺义·统考一模）在中，，，，则___________，_____________．
类型三：判断三角形解的个数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，下面使得三角形有两组解的的值可以为（ ）
A．4B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是______只需填写一个适合的答案
例题4．（2023·高一课时练习）在中，若， ，如果可解，则边的取值范围是______．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
3．（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（ ）
A．2B．2.3C．3D．4
4．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
5．（2023·高一课时练习）在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．
(1)有一解；
(2)有两解；
(3)无解．
类型四：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形
例题2．（2023·高一单元测试）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．非等边的等腰三角形D．等腰直角三角形
例题3．（2023·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
例题4．（2023·高一课时练习）在中，已知．
(1)求；
(2)若，判断的形状．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A．B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍D．若，则外接圆的半径为
4．（2023·高一课时练习）若，，是钝角三角形的三边，则的取值范围是______．
类型五：余弦定理、正弦定理应用举例
角度1：测量距离问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设，为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在，之间架设高压电网，须计算，之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从点测得的，点的仰角分别为30°，45°，并从点观测到，点的视角为45°，则，之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角，，米，则，间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
例题3．（2023·全国·高三专题练习）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
例题4．（2023·高一课时练习）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．
(1)求的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？
角度2：测量高度问题
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）为测量河对岸的直塔的高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得的大小为60°，点，的距离为200m，在点处测得塔顶的仰角为45°，在点处测得塔顶的仰角为30°，则直塔的高为（ ）
A．100mB．C．D．200m
例题2．（2023·全国·高三专题练习）翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）
A．68B．70C．72D．74
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点处沿南偏东30°方向前进60到达点处，在处测得塔项的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
例题4．（2023·高一课时练习）为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
（1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由．
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
角度3：测量角度问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，两座灯塔和与河岸观察站的距离相等，灯塔在观察站南偏西40°，灯塔在观察站南偏东60°，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得_________．
例题3．（2023·高一单元测试）如图，我国的海监船在岛海域例行维护巡航，某时刻航行至处，此时测得其北偏东方向与它相距16海里的处有一外国船只，且岛位于海监船正东海里处．
（1）求此时该外国船只与岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离岛12海里处，不让其进入岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．
例题4．（2023·高一单元测试）甲船在点发现乙船在北偏东的点处，且乙船以的速度向北行驶，已知甲船的速度是，问甲船沿什么方向前进，才能与乙船最快相遇？此时甲船行驶了多少时间？
类型五同类题型演练
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A处测得该校旗杆顶部P的仰角为，再向旗杆底部方向前进15米到达B处，此时测得该校旗杆顶部P的仰角为．若，则该校旗杆的高度为（ ）
A．14米B．15米C．16米D．17米
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米．
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（ ）
A．40.5米B．54米C．81米D．121.5米
4．（2023·全国·高三专题练习）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于
A．B．C．－1D．－1
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；
(2)求.
7．（2023·高一课时练习）甲船在A处测得乙船在北偏东70°方向，两船相距10海里，且乙船正沿着南偏东40°方向以每小时12海里的速度航行，经过半小时，甲船追上乙船，问甲船的航行方向是南偏东多少度？航行的速度是多少？（精确到0.1海里）（，，）
类型六：三角形中线问题
角度1：向量化法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知的面积为，，，则边的中线的长为（ ）
A．B．3C．D．4
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则的值为___________.
例题3．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）在中，，则边上中线长度为______．
例题4．（2022春·江苏扬州·高一统考期中）12．从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：设内角所对的边分别为，且___.
(1)求A；
(2)若，边的中线，求的面积.
角度2：角互补法
典型例题
例题1．（多选）（2022秋·吉林长春·高三长春市第八中学校考阶段练习）在中，，边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
例题2．（多选）（2022春·浙江·高一嘉兴一中校联考期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．与均为定值B．
C．D．的最大值为
例题3．（2022·河北·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.
例题4．（2022春·全国·高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积．
类型六同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考开学考试）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
3．（多选）（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（ ）
A．B．C．D．∠BAD的最大值为60°
4．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为边的中点，为中线的中点，则向量的模为_________.
5．（2022春·江苏盐城·高一校考阶段练习）锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．
6．（2022·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的面积；
(2)若，求BC边中线的长.
类型七：三角形角平分线问题
角度1：比例法
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）是的角平分线，，，，求的长．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知中，角，，的对边分别为，，，， ．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交线段于点，且，求的面积．
例题3．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）在中，的角平分线交边于点.
(1)证明：.
(2)若，且的面积为，求的长.
角度2：等面积法
典型例题
例题1．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022春·北京通州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，的角平分线交于点，，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知中，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．的面积为B．
C．D．
例题4．（2022春·山东济宁·高一统考期中）在△中，其内角、、所对的边分别是，，，且满足___________．
①
②
③
请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求角的大小；
(2)已知外接圆的半径为，如图所示，是的角平分线，且，求的面积．
例题5．（2022春·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则__________，的取值范围是___________.
角度3：角互补法
典型例题
例题1．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）设，，分别是的内角，，的对边，．
(1)求角的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角的角平分线交边于点，且，求面积的最小值．
②设点为边上的中点，且，求面积的最大值．
例题2．（2022·广东·统考模拟预测）在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
类型七同类题型演练
1．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A．B．C．D．2
2．（2022春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，AB边上的角平分线长度为t，则（ ）
A．3B．6C．3或6D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，，，∠A的角平分线AD的长为，则|AC|＝（ ）
A．2B．3C．D．
4．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．16D．18
5．（2022春·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）的内角的对边分别为.若，边角平分线，则边的最小值为_________．
6．（2022春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为___________.
7．（2022·河南·校联考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
8．（2022·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则__________，的面积为__________．
类型八：三角形面积问题
角度1：三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积为________．
例题2．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足.
(1)求的值；
(2)若与边上的高之比为3∶5，且，求的面积.
例题3．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，边上中线，求的面积.
例题4．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且.
(1)求；
(2)若，则的面积为3，求、.
例题5．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：
(1)直接写出的解析式及其单调递增区间；
(2)在中，，求的面积.
角度2：三角形面积（最值问题）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知的外心为点，为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆内接四边形中，，，.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
例题5．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，已知的三个内角的对边分别为，若，点在线段上，且
(1)求角的大小；
(2)求的面积的最大值.
角度3：三角形面积（范围问题）
典型例题
例题1．（2022春·江西上饶·高一校联考期末）设锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为______.
例题2．（2022春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且，求面积的取值范围．
例题3．（2022·高一课时练习）在中，，，分别为角，，的对边，且．向量，且，求面积的取值范围．
例题4．（2022春·河南驻马店·高一统考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，．
(1)求的值．
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
类型八同类题型演练
1．（2023·广西柳州·二模）在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（ ）
A．B．1C．2D．3
2．（2023·全国·高三对口高考）在中，，，，则的面积为_________．
3．（2022春·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
4．（2022春·安徽蚌埠·高一统考期末）在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知中，，，分别是内角，，的对边，_____________.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
5．（2022春·浙江宁波·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
6．（2022·全国·高三专题练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角的对边分别是，若__________．（填条件序号）
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，向量，，满足.
(1)求角的值；
(2)若，求的面积的取值范围．
类型九：三角形周长问题
角度1：三角形周长（边长）（定值问题）
典型例题
例题1．（2022·河南商丘·校联考三模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则______________．
例题2．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为．
(1)求的值；
(2)若为边的中点且，求的周长．
例题3．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校联考阶段练习）已知内角，，的对边分别为，，，若
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
例题4．（2022春·四川达州·高一统考期末）在中，角 所对的边长分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周长．
例题5．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在中，角，，的对边分别为，，，若.
(1)求证：；
(2)若，点为边上的一点，平分，，求边长.
例题6．（2023·江苏·高三专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，在①、②、③中任选一个作为条件解答下列问题.
①向量与向量平行；
②；
③.
(1)确定角和角之间的关系；
(2)若为线段上一点，且满足，若，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
角度2：三角形周长（边长）（最值问题）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，若点在边上，且，则的最大值是___________.
例题2．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，在
①，②
两个条件中任选一个完成以下问题：
(1)求；
(2)若在上，且，求的最大值．
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）如图，在四边形中，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
例题4．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，设的周长为L，且满足．
(1)求角；
(2)若，求的最大值．
例题5．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）在条件：①，②，③中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．
已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，，而且__________；
(1)求角的大小；
(2)求周长的最大值．
角度3：三角形周长（边长）（范围问题）
典型例题
例题1．（2023·湖南湘潭·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、，，．
(1)证明：．
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若点在的延长线上，，，求的取值范围．
例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）记锐角的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，是的面积,．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
例题5．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）在①，②函数图像的一个最低点为，③函数图像上相邻两个对称中心的距离为，这三个条件中任选两个补充在下面问题中，并给出问题的解答.
已知函数，满足
(1)求函数的解析式及单调递增区间;
(2)在锐角中，，求周长的取值范围.
例题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)在中，内角的对边分别为，若，，求的周长的取值范围．
例题7．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
例题8．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角的对边分别为，且___________
(1)求角的大小；
(2)，求周长的取值范围.
例题9．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，为的最小角，求周长的取值范围．
类型九同类题型演练
1．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知的内角的对应边分别为，，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．6
2．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考开学考试）已知△ABC的三边长互不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝1，acsA＝bcsB，则a+b的取值范围是 _____.
3．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
4．（2022秋·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知的三个角所对的边为满足：.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
5．（2022秋·广东深圳·高三校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范围．
6．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）在中，角所对的边分别为，，，，且．
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
7．（2022春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量，，函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．
8．（2022春·云南昆明·高一昆明市第三中学校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求A；
(2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．
类型十：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，为街道路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面，喷射角.若，，则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西·统考模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积为.若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为__________.
4．（2023·全国·高三专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.
5．（2022春·江苏苏州·高一吴县中学校考期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Gegebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”．
(1)在图（i）中，，且，求的值；
(2)在图（ii）中，，设，求的最大值．0
1
0
0
类型一：向量在物理中的应用
类型二：利用正、余弦定理解三角形
类型三：判断三角形解的个数
类型四：判断三角形的形状
类型五：余弦定理、正弦定理应用举例
角度1：测量距离问题
角度2：测量高度问题
角度3：测量角度问题
类型六：三角形中线问题
角度1：向量化法
角度2：角互补法
类型七：三角形角平分线问题
角度1：比例法
角度2：等面积法
角度3：角互补法
类型八：三角形面积问题
角度1：三角形面积（定值问题）
角度2：三角形面积（最值问题）
角度3：三角形面积（范围问题）
类型九：三角形周长问题
角度1：三角形周长（边长）（定值问题）
角度2：三角形周长（边长）（最值问题）
角度3：三角形周长（边长）（范围问题）
类型十：新定义题
类型一：向量在物理中的应用
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____.（写出所有正确答案的序号）
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
例题3．（2023·高一课时练习）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
同类题型演练
1．（2023·高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．
3．（2023·全国·高三专题练习）平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：
(1)的大小；
(2)与夹角的大小．
4．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
类型二：利用正、余弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2023秋·北京通州·高三统考期末）在中，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）在中，已知，，，于，则的长为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为______．
例题4．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）在中，角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，则的值为____________.
例题5．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，分别是三个内角，，所对边的长，已知，，面积，求的值．
同类题型演练
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．
3．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
4．（2023·高一课时练习）在中，已知，，．
(1)求的值；
(2)若点在边上，且，求的长．
5．（2023·北京顺义·统考一模）在中，，，，则___________，_____________．
类型三：判断三角形解的个数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，下面使得三角形有两组解的的值可以为（ ）
A．4B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是______只需填写一个适合的答案
例题4．（2023·高一课时练习）在中，若， ，如果可解，则边的取值范围是______．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
3．（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（ ）
A．2B．2.3C．3D．4
4．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
5．（2023·高一课时练习）在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．
(1)有一解；
(2)有两解；
(3)无解．
类型四：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形
例题2．（2023·高一单元测试）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．非等边的等腰三角形D．等腰直角三角形
例题3．（2023·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
例题4．（2023·高一课时练习）在中，已知．
(1)求；
(2)若，判断的形状．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A．B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍D．若，则外接圆的半径为
4．（2023·高一课时练习）若，，是钝角三角形的三边，则的取值范围是______．
类型五：余弦定理、正弦定理应用举例
角度1：测量距离问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设，为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在，之间架设高压电网，须计算，之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从点测得的，点的仰角分别为30°，45°，并从点观测到，点的视角为45°，则，之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角，，米，则，间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
例题3．（2023·全国·高三专题练习）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
例题4．（2023·高一课时练习）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．
(1)求的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？
角度2：测量高度问题
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）为测量河对岸的直塔的高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得的大小为60°，点，的距离为200m，在点处测得塔顶的仰角为45°，在点处测得塔顶的仰角为30°，则直塔的高为（ ）
A．100mB．C．D．200m
例题2．（2023·全国·高三专题练习）翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）
A．68B．70C．72D．74
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点处沿南偏东30°方向前进60到达点处，在处测得塔项的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
例题4．（2023·高一课时练习）为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
（1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问：
能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由．
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
角度3：测量角度问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，两座灯塔和与河岸观察站的距离相等，灯塔在观察站南偏西40°，灯塔在观察站南偏东60°，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得_________．
例题3．（2023·高一单元测试）如图，我国的海监船在岛海域例行维护巡航，某时刻航行至处，此时测得其北偏东方向与它相距16海里的处有一外国船只，且岛位于海监船正东海里处．
（1）求此时该外国船只与岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离岛12海里处，不让其进入岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．
例题4．（2023·高一单元测试）甲船在点发现乙船在北偏东的点处，且乙船以的速度向北行驶，已知甲船的速度是，问甲船沿什么方向前进，才能与乙船最快相遇？此时甲船行驶了多少时间？
类型五同类题型演练
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A处测得该校旗杆顶部P的仰角为，再向旗杆底部方向前进15米到达B处，此时测得该校旗杆顶部P的仰角为．若，则该校旗杆的高度为（ ）
A．14米B．15米C．16米D．17米
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米．
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（ ）
A．40.5米B．54米C．81米D．121.5米
4．（2023·全国·高三专题练习）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于
A．B．C．－1D．－1
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；
(2)求.
7．（2023·高一课时练习）甲船在A处测得乙船在北偏东70°方向，两船相距10海里，且乙船正沿着南偏东40°方向以每小时12海里的速度航行，经过半小时，甲船追上乙船，问甲船的航行方向是南偏东多少度？航行的速度是多少？（精确到0.1海里）（，，）
类型六：三角形中线问题
角度1：向量化法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知的面积为，，，则边的中线的长为（ ）
A．B．3C．D．4
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则的值为___________.
例题3．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）在中，，则边上中线长度为______．
例题4．（2022春·江苏扬州·高一统考期中）12．从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：设内角所对的边分别为，且___.
(1)求A；
(2)若，边的中线，求的面积.
角度2：角互补法
典型例题
例题1．（多选）（2022秋·吉林长春·高三长春市第八中学校考阶段练习）在中，，边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
例题2．（多选）（2022春·浙江·高一嘉兴一中校联考期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．与均为定值B．
C．D．的最大值为
例题3．（2022·河北·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.
例题4．（2022春·全国·高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积．
类型六同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考开学考试）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
3．（多选）（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（ ）
A．B．C．D．∠BAD的最大值为60°
4．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为边的中点，为中线的中点，则向量的模为_________.
5．（2022春·江苏盐城·高一校考阶段练习）锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．
6．（2022·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的面积；
(2)若，求BC边中线的长.
类型七：三角形角平分线问题
角度1：比例法
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）是的角平分线，，，，求的长．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知中，角，，的对边分别为，，，， ．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交线段于点，且，求的面积．
例题3．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）在中，的角平分线交边于点.
(1)证明：.
(2)若，且的面积为，求的长.
角度2：等面积法
典型例题
例题1．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022春·北京通州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，的角平分线交于点，，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知中，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．的面积为B．
C．D．
例题4．（2022春·山东济宁·高一统考期中）在△中，其内角、、所对的边分别是，，，且满足___________．
①
②
③
请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求角的大小；
(2)已知外接圆的半径为，如图所示，是的角平分线，且，求的面积．
例题5．（2022春·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则__________，的取值范围是___________.
角度3：角互补法
典型例题
例题1．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）设，，分别是的内角，，的对边，．
(1)求角的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角的角平分线交边于点，且，求面积的最小值．
②设点为边上的中点，且，求面积的最大值．
例题2．（2022·广东·统考模拟预测）在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
类型七同类题型演练
1．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A．B．C．D．2
2．（2022春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，AB边上的角平分线长度为t，则（ ）
A．3B．6C．3或6D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，，，∠A的角平分线AD的长为，则|AC|＝（ ）
A．2B．3C．D．
4．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．16D．18
5．（2022春·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）的内角的对边分别为.若，边角平分线，则边的最小值为_________．
6．（2022春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为___________.
7．（2022·河南·校联考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
8．（2022·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则__________，的面积为__________．
类型八：三角形面积问题
角度1：三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积为________．
例题2．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足.
(1)求的值；
(2)若与边上的高之比为3∶5，且，求的面积.
例题3．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，边上中线，求的面积.
例题4．（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且.
(1)求；
(2)若，则的面积为3，求、.
例题5．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：
(1)直接写出的解析式及其单调递增区间；
(2)在中，，求的面积.
角度2：三角形面积（最值问题）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知的外心为点，为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆内接四边形中，，，.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
例题5．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，已知的三个内角的对边分别为，若，点在线段上，且
(1)求角的大小；
(2)求的面积的最大值.
角度3：三角形面积（范围问题）
典型例题
例题1．（2022春·江西上饶·高一校联考期末）设锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为______.
例题2．（2022春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且，求面积的取值范围．
例题3．（2022·高一课时练习）在中，，，分别为角，，的对边，且．向量，且，求面积的取值范围．
例题4．（2022春·河南驻马店·高一统考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，．
(1)求的值．
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
类型八同类题型演练
1．（2023·广西柳州·二模）在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（ ）
A．B．1C．2D．3
2．（2023·全国·高三对口高考）在中，，，，则的面积为_________．
3．（2022春·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
4．（2022春·安徽蚌埠·高一统考期末）在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知中，，，分别是内角，，的对边，_____________.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
5．（2022春·浙江宁波·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
6．（2022·全国·高三专题练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角的对边分别是，若__________．（填条件序号）
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，向量，，满足.
(1)求角的值；
(2)若，求的面积的取值范围．
类型九：三角形周长问题
角度1：三角形周长（边长）（定值问题）
典型例题
例题1．（2022·河南商丘·校联考三模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则______________．
例题2．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为．
(1)求的值；
(2)若为边的中点且，求的周长．
例题3．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校联考阶段练习）已知内角，，的对边分别为，，，若
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
例题4．（2022春·四川达州·高一统考期末）在中，角 所对的边长分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周长．
例题5．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在中，角，，的对边分别为，，，若.
(1)求证：；
(2)若，点为边上的一点，平分，，求边长.
例题6．（2023·江苏·高三专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，在①、②、③中任选一个作为条件解答下列问题.
①向量与向量平行；
②；
③.
(1)确定角和角之间的关系；
(2)若为线段上一点，且满足，若，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
角度2：三角形周长（边长）（最值问题）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，若点在边上，且，则的最大值是___________.
例题2．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，在
①，②
两个条件中任选一个完成以下问题：
(1)求；
(2)若在上，且，求的最大值．
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）如图，在四边形中，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
例题4．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，设的周长为L，且满足．
(1)求角；
(2)若，求的最大值．
例题5．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）在条件：①，②，③中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．
已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，，而且__________；
(1)求角的大小；
(2)求周长的最大值．
角度3：三角形周长（边长）（范围问题）
典型例题
例题1．（2023·湖南湘潭·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、，，．
(1)证明：．
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若点在的延长线上，，，求的取值范围．
例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）记锐角的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，是的面积,．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
例题5．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）在①，②函数图像的一个最低点为，③函数图像上相邻两个对称中心的距离为，这三个条件中任选两个补充在下面问题中，并给出问题的解答.
已知函数，满足
(1)求函数的解析式及单调递增区间;
(2)在锐角中，，求周长的取值范围.
例题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)在中，内角的对边分别为，若，，求的周长的取值范围．
例题7．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
例题8．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角的对边分别为，且___________
(1)求角的大小；
(2)，求周长的取值范围.
例题9．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，为的最小角，求周长的取值范围．
类型九同类题型演练
1．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知的内角的对应边分别为，，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．6
2．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考开学考试）已知△ABC的三边长互不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝1，acsA＝bcsB，则a+b的取值范围是 _____.
3．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
4．（2022秋·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知的三个角所对的边为满足：.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
5．（2022秋·广东深圳·高三校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范围．
6．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）在中，角所对的边分别为，，，，且．
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
7．（2022春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量，，函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．
8．（2022春·云南昆明·高一昆明市第三中学校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求A；
(2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．
类型十：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示，为街道路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面，喷射角.若，，则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西·统考模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积为.若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为__________.
4．（2023·全国·高三专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.
5．（2022春·江苏苏州·高一吴县中学校考期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Gegebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”．
(1)在图（i）中，，且，求的值；
(2)在图（ii）中，，设，求的最大值．0
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