专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】（触类旁通）2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列（全国版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9716" 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 PAGEREF _Tc9716 \h 3
\l "_Tc6564" 【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 PAGEREF _Tc6564 \h 4
\l "_Tc23440" 【题型3 二次函数平移变换问题】 PAGEREF _Tc23440 \h 5
\l "_Tc14664" 【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc14664 \h 6
\l "_Tc1625" 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 PAGEREF _Tc1625 \h 6
\l "_Tc14949" 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc14949 \h 7
\l "_Tc8882" 【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 PAGEREF _Tc8882 \h 7
\l "_Tc6633" 【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc6633 \h 8
\l "_Tc11163" 【题型9 二次函数图象与各项系数符号】 PAGEREF _Tc11163 \h 8
\l "_Tc14709" 【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】 PAGEREF _Tc14709 \h 11
【知识点 二次函数的图像与性质】
1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
3.二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
4.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3.c决定了抛物线与轴交点的位置
5.二次函数与一元二次方程之间的关系
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大D．图象的顶点坐标是(2,-3)
【变式1-1】（2023·四川乐山·统考模拟预测）二次函数y=-x2-1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上B．当x=0时，函数的最大值是-1
C．对称轴是直线x=1D．抛物线与x轴有两个交点
【变式1-2】（2023·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x-8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为0，-9
C．图象与x轴的交点坐标为-2,0和4,0
D．y的最小值为-9
【变式1-3】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知抛物线y=mx2-4mx过点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx1,y3，其中y2=-4m，以下结论正确的是（ ）
A．若x1-x2≤x3-x2，则y2≥y3≥y1B．若x1-x2≥x3-x2，则y2≥y3≥y1
C．若y1x2-x3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】
【例2】（2023·湖南·统考中考真题）已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点0,3在抛物线上；③若x1>x2>-2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=-2其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的二次函数y=mx2-6mx-5m≠0的结论
①对于任意实数a，都有x1=3+a对应的函数值与x2=3-a对应的函数值相等．
②若图象过点Ax1,y1，点Bx2,y2，点C2,-13，则当x1>x2>92时，y1-y2x1-x2<0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则-49④当m>0且n≤x≤3时，-14≤y≤n2+1，则n=1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-2】（2023·广东惠州·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：
①abc>0；②4a+2b+c<0；③a+b≥x(ax+b）；④3a+c>0．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式2-3】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点为A-3,0，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=-1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc>0；②Ex1,y1，Fx2,y2是抛物线y=ax2+bxa≠0上的两个点，若x1
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型3 二次函数平移变换问题】
【例3】（2023·四川南充·统考中考真题）若点Pm,n在抛物线y=ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y=ax+12上的是（ ）
A．m,n+1B．m+1,nC．m,n-1D．m-1,n
【变式3-1】（2023·贵州黔东南·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【变式3-2】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线y=x+32向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【变式3-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的图象是由函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例4】（2023·浙江杭州·一模）点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=ax2-2ax-3a≠0上，存在正数m，使得-2A．1C．0【变式4-1】（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值-1，a可能为（ ）
A．-2B．-1C．0.5D．1.5
【变式4-2】（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则在实数范围内能使得y-5>0成立的x取值范围是 ．
【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+a+1x+b，其中a-b=4．
(1)若此函数图象过点1,3，求这个二次函数的表达式．
(2)若x1,y1、x2,y2为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2=2时，y1=y2，求a的值．
(3)若点-1,t在此二次函数图象上，且当x≥-1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2-4b的最小值为m，最大值为n，则m+n=（ ）
A．-14B．-6C．-8D．2
【变式5-1】（2023·广东梅州·统考二模）已知实数a≥0，b≥0，且a+b=4，记代数式w=a²+ab+b²，记w1，w2分别为代数式w的最大值与最小值，则w1-w2的值为 ．
【变式5-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=-x-m2+1，已知m>3，当-1≤x≤3时，有下列说法：
①若y的最大值为-8，则m=4；
②若y的最小值为-8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为-3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．只有③正确D．均不正确
【变式5-3】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）在直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca<0的图像过m,b，m+1,a两点.当b≥a，m<0时，二次函数图象y=ax2+bx+c有最大值-2，a的最大值是 ．
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为-5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤0
【变式6-1】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=-x2+2ax+a+1，若对于-1a+1，则a的取值范围是 ．
【变式6-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线y1=x2，该抛物线经过平移得到新抛物线y2，新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点P1,p，Q2,q在抛物线y2的图象上，则PQ的范围是（ ）
A．0≤PQ<1B．1≤PQ<2C．1≤PQ<2D．2≤PQ<2
【变式6-3】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2-4x+3，图象的对称轴为 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为-1≤y≤0，则a的取值范围为 ．
【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】
【例7】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点1,0，则当2≤x≤6时，y的取值范围是（ ）
A．-5≤y≤5B．-4≤y≤5C．-3≤y≤5D．0≤y≤5
【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
当0A．33
【变式7-2】（2023·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=-2x2+4x+3，当-1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．y≤5B．y≤3C．-3≤y≤3D．-3≤y≤5
【变式7-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知y=2x2-4x+1，且x+n=2m-32x-n=m，其中m≤3，n≥-3，则y的取值范围（ ）
A．-1≤y≤17B．1≤y≤17C．-1≤y≤8D．-1≤y≤1
【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例8】（2023·四川泸州·二模）已知函数fx=x2-2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足y1-y2≤9，则实数a的取值范围是（ ）
A．-3≤a≤4B．-2≤a≤4C．-3≤a≤3D．3≤a≤4
【变式8-1】（2023·上海长宁·统考一模）如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是 ．
【变式8-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( )
A．2或-32B．-2C．-32D．1
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考三模）已知二次函数y＝12(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大为（ ）
A．4B．6C．8D．494
【题型9 二次函数图象与各项系数符号】
【例9】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2a≠0和一次函数y=bx+cb≠0的图象如图所示，则函数y=ax2+bx-c的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【变式9-1】（2023·安徽·模拟预测）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为-1，则二次函数y=ax2+bx-c的图象可能是（ ）
A． B．
C．D．
【变式9-2】（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023·广西·统考中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
B．
C．D．
【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】
【例10】（2023·青海·统考中考真题）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C1,0，交y轴于点B0,3．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【变式10-1】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点A(-4,0),B(-1,0)．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【变式10-2】（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0，C0,3．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
【变式10-3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
b＝0
对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
判别式情况
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点
a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根
有两个不相等的实数根x1，x2
有两个相等的实数根x1＝x2
没有实数根
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-2
3
6
6
…