2023-2024学年江苏省南通市八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列在函数y=3x+2的图象上的是( )
A. −1,1B. 13,1C. 1,5D. −13,−1
2.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
3.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C=56∘，则∠BED度数为( )
A. 112∘112°B. 118∘C. 119∘D. 120∘
4.下列函数：①y=x；②y=1x；③y=x5；④y=12x2+1，其中一次函数的个数是
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.在探究水沸腾时温度变化特点的实验中，下表记录了实验中水的温度( ℃ )随时间(min)变化的数据．若温度的变化是均匀的，则18min时的水温是
( )
A. 62 ℃B. 64 ℃C. 66 ℃D. 68 ℃
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若HA=HB=1，则菱形ABCD的面积是
( )
A. 32B. 1C. 2 3D. 4
7.若式子 k−1+k−10有意义，则一次函数y=k−1x+k的图象可能是
( )
A. B. C. D.
8.在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. 当y>1时，x>0B. 方程ax+b=0的解是x=2
C. 当x<0时，19.如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，F为AD上一点，连接BE，BF，DF+CD=BF，若∠ABE=α，则∠ABF的大小为
( )
A. 2α−15∘B. α−10∘C. 3α−45∘D. 90∘−2α
10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点E为BC的中点，连结AE.以BC为边向左作▵BCD，且∠BCD=90∘，BD//AC.连结DE，记▵CDE和▵ABE的面积分别为S1和S2，则32S1−S2的最大值是
( )
A. 4B. 6C. 4 2D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.函数y=1 x+2中，自变量x的取值范围是 ．
12.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC,AD上，请你添加一个条件 ，使四边形AECF是平行四边形．
13.已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间的函数表达式是 ．
14.若点A−3,y1，B1,y2都在直线y=−6x+2上，则y1与y2的大小关系是 ．
15.如图，四边形ABCD是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交CD于点H，交AD于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于12GH长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线AM,DN相交于点P.若AP=4,BC=8，则PD的长为 ．
16.如图，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作AE的垂线，交AE于点G，交CD于点H，F是BH上一点，连接EF，若BE=FE，则FH的长为 ．
17.如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记▵ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ．
18.如图所示，直线l绕平行四边形ABCD顶点A转动，分别过点B，C，D作l的垂线段，垂足分别为M，N，P.已知∠ABC=60∘，AB=6，BC=5，则BM+CN+DP的最大值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE=CD.过点E作EF/​/AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF
(1)求证：四边形ADFE是平行四边形；
(2)若BD=2,AD=3，直接写出DF的长．
20.(本小题8分)
在“垃圾分类，你我有责”活动中，某校准备购买A，B两类垃圾桶共40个，其中A类垃圾桶的个数不多于B类垃圾桶的个数的2倍，设购入A类垃圾桶x个(x为整数)．
(1)求最多能购买几个A类垃圾桶？
(2)若A类垃圾桶单价为25元，B类垃圾桶单价为45元，则购买两类垃圾桶最少需要______元(直接填空)．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90∘，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
(1)求证：四边形ACED是矩形；
(2)连接BF，若∠ABC=60∘,CE=3，求BF的长．
22.(本小题8分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与坐标轴交于A、B两点，目OA=2OB=4，与正比例函数y=kx的图象交手点C，若S△AOB=3S△COB．
(1)求一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的表达式；
(2)结合图象直接等出不等式ax+b>kx的解集．
23.(本小题8分)
请在6×6的正方形网格中，各画出一个不同类型的特殊平行四边形，并分别求出所画特殊平行四边形的面积．
(1)图1：AB为菱形的一条边；
(2)图2：AB为正方形的一条对角线．
24.(本小题8分)
在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离ykm与行驶时间xmin之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
(1)求客轮距B码头的距离y1km与时间xmin之间的函数表达式；
(2)请问两船出发多久相距35km？
25.(本小题8分)
如图，正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，BE=CF,AE,BF交于点G；
(1)∠AGF=_______．
(2)在线段AG上截取MG=BG，连接DM,∠AGF的角平分线交DM于点N．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明．
26.(本小题8分)
材料1：对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2−MB2|=AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA=AB或MB=AB时，称M为线段AB的等垂点；
材料2：直线L1:y1=k1x+b1，直线L2:y2=k2x+b2，若两直线平行，则k1=k2，若两直线垂直，则k1⋅k2=−1．
(1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,1)，B(1,1)，如图1，在点C(0,4)，D(1,2)，E(3,−2)，F(−1,−1)中，线段AB的垂点是________．
(2)已知点P(t,1)，Q(t+2,0)；
①如图2，当t=0时，若直线y=−12x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值；
②如图3，若▵ABC边上(包含顶点)存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是________．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.把−1,1代入y=3x+2，左边=1，右边=3×−1+2=−1，左边≠右边，点−1,1不在函数y=3x+2的图象上，故本选项不符合题意；
B. 把13,1代入y=3x+2，左边=1，右边=3×13+2=3，左边≠右边，点13,1不在函数y=3x+2的图象上，故本选项不符合题意；
C. 把1,5代入y=3x+2，左边=5，右边=3×1+2=5，左边=右边，点1,5在函数y=3x+2的图象上，故本选项符合题意；
D. 把−13,−1代入y=3x+2，左边=−1，右边=3×−13+2=1，左边≠右边，点−13,−1不在函数y=3x+2的图象上，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：A、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；
B、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；
C、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；
D、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解∶∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ABC+∠C=180∘，
，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=124∘÷2=62∘，
∵AD//BC，∴∠EBC+∠BED=180∘，
，
故选∶B．
4.【答案】B
【解析】解：①y=x；②y=1x；③y=x5；④y=12x2+1，其中是一次函数的有①③，共2个；
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：由表格知：时间每增加5min，水温上升15℃，
∴时间每增加1min，水温上升15÷5=3℃，
∵15min时水温是55℃，
∴18min时的水温是55+3×3=64℃，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：∵DH⊥AB，HA=HB=1
∴AD=BD，AB=2，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，
∴▵ABD是等边三角形，
∴AD=2，
∴DH= AD2−AH2= 22−12= 3，
∴SABCD=2SABD=2×12×2× 3=2 3，
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：∵ k−1+k−10有意义，
∴k−1≥0k−1≠0,
∴k−1>0，
∴k>1，
∴图象经过第一、二、三象限；
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴的交点为2,0，0,1，
当y>1时，x<0，故A错误，不符合题意；
方程ax+b=0的解是x=2，故B正确，符合题意；
当x<0时，y>1，故C错误，不符合题意；
不等式ax+b<0的解集是x>2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：延长AD到H，使得DH=AD，连接BH交CD与G．
∵四边形ABCD是正方形．
∴CD=AD=BC，
∴∠ADC=∠HDC=∠C=90∘，
在▵BCG和▵HDG中，
∠BCG=∠HDG∠BGC=∠HGDBC=HD
∴▵BCG≌▵HDGAAS，
∴DG=CG=12CD，
∵点E为AD边的中点
∴AE=12AD，
∴AE=CG，
在▵ABE和▵CBG中，
AB=CB∠A=∠CAE=CG,
∴▵ABE≌▵CBGSAS，
∴∠ABE=∠CBG，
∵DF+CD=BF，FH=DF+DH=DF+CD
∴BF=FH，
∴∠FBH=∠H=CBG，
∴∠ABE=∠CBG=∠FBH=α，
∴∠ABF=∠ABC−∠FBH−∠CBG=90∘−2α，
故选：D．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示，取BD的中点F，连接EF,CF，

∵∠BCD=90∘，
∴CF=BF=DF，
∴S▵DBC=2S▵FBC，
∵AB=AC=4，E为BC的中点，
∴∠ACB=∠ABC，AE⊥BC
∵BD//AC
∴∠FBC=∠BCA
∴∠FBC=∠ABC
又∵FB=FC，BE=EC
∴FE⊥BC
∴∠FEB=∠AEB=90∘，
在▵FBE,▵ABE中，
∠FBE=∠ABEBE=BE∠AEB=∠FEB=90∘
∴▵FBE≌▵ABEASA
∴S▵FBE=S▵ABE=S2
又∵S▵ABE=S2
∴S▵BDC=2S▵BDE=4S▵BEF=4S2
∵点E为BC的中点，
∴S▵DCE=S▵DBE=12S▵BDC=S1
∴S▵BDC=2S1，
∴S1=2S2
∴32S1−S2=3S2−S2=2S2=2S▵ABE=S▵ABC
∴当AB⊥AC时，S▵ABC取得最大值，即32S1−S2的最大值是12×AB×AC=12×4×4=8．
故选：D．
11.【答案】x>−2
【解析】解：根据题意得：x+2>0，
解得x>−2．
故答案为：x>−2．
12.【答案】AF=EC(答案不唯一)
【解析】解：添加条件AF=EC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AF//CE，
又∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：AF=EC(答案不唯一)．
13.【答案】y=0.5x+7
【解析】解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.5cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长0.5xcm，
∴弹簧总长y=0.5x+7．
故答案为：y=0.5x+7．
14.【答案】y1>y2
【解析】解：∵k=−6<0
∴y将随x的增大而减小
∵−3<1，
∴y1>y2．
故答案为：y1>y2．
15.【答案】4 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，AB//CD，，
∴∠BAD+∠ADC=180∘，
由作图知，AP平分∠BAD，DP平分∠ADC，
∴∠PAD+∠PDA=12∠BAD+∠ADC=90∘，
∴∠APD=90∘，
∴PD= AD2−AP2= 82−42=4 3，
故答案为：4 3．
16.【答案】 5
【解析】解：∵正方形ABCD边长为10，
∴AB=AD=BC=10，
∵E是BC的中点，
∴BE=5，
∴在Rt▵ABE中，AE= AB2+BE2= 100+25=5 5，
∵BH⊥AE，
根据S▵ABE=12×BE×AB=12×AE×BG，
解得BG=2 5，
∵BE=FE，
∴在▵BEG和▵FEG中，
∠BGE=∠FGE=90∘EG=EGBE=FE,
∴▵BEG≌▵FEG(HL)，
∴BG=GF=2 5，
∵∠ABE=∠BGE=90∘,∠AEB=∠BEG，
∴∠BAE=∠EBG，
在▵ABE和▵BCH中，
AB=BC∠BAE=∠CBH∠ABE=∠BCH=90∘,
∴△ABE≌△BCH(ASA)，
∴BH=AE=5 5，
则FH=BH−BG−GF=5 5−2 5−2 5= 5，
故答案为： 5．
17.【答案】12
【解析】解：从图(2)看，BC=6，CD=4，
则当x=6时，点P在点C处，
则m=y=12×AB×BC=12×6×4=12．
故答案为：12．
18.【答案】2 31
【解析】解：连接AC，BD交于点O，过点O作OT⊥直线l于T，在OT的延长线上截取TR=OT，连接RN，ON，过点C作CE⊥AB于E，如图所示：
∵DP⊥直线l，BM⊥直线l，
∴四边形BMPD为直角梯形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O为BD，AC的中点，
∵OT⊥直线l，
∴OT//BM//DP，
∴OT为梯形BMPD的中位线，
∴BM+DP=2OT，
∵TR=OT，
∴OR=2OT=BM+DP，
∵CN⊥直线l，
在中，点O为斜边AC的中点，
∴ON=OA=OC，
∴▵OAN为等腰三角形，
又∵OT⊥AN，
∴AT=NT，
在△OAT和△RNT中，
AT=NT∠OTA=∠RTNTR=OT,
∴▵OAT≌▵RNTSAS，
∠AOT=∠R，
∴OA//RN，
即OC//RN，
∵CN⊥直线l，OT⊥直线l，
∴OR//CN，
∴四边形CNRO为平行四边形，
∴CN=OR=BM+DP，
∴BM+CN+DP=2CN，
要求BM+CN+DP的最大值，只需求出CN的最大值即可，
根据“垂线段最短”可知：CN≤CA，
∴CN的最大值为线段CA的长，
∵∠ABC=60∘，BC=5，CE⊥AB，
在Rt▵CBE中，∠BCE=90∘−∠ABC=30∘，
∴BE=12BC=2.5，
由勾股定理得：CE= BC2−CE2=2.5 3，
∵AB=6，BE=2.5，
∴AE=AB−BE=6−2.5=3.5，
在Rt▵ACE中，由勾股定理得：CA= CD2+AE2= 31，
∴CN的最大值为 31，
∴BM+CN+DP的最大值为2 31．
故答案为：2 31．
19.【答案】(1)证明：∵EF//AD，
∴∠FEC=∠ADC，
在▵FCE和▵ACD中，
∠FEC=∠ADCCE=CD∠FCE=∠ACD,
∴▵FCE≌▵ACD(ASA)，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴EF=AD=3，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD=2，
∴CE=CD=2，
∴DE=2CD=4，
∵EF//AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF=90∘，
∴DF= DE2+EF2= 42+32=5．

【解析】略
20.【答案】(1)解：∵该校准备购买A，B两类垃圾桶共40个，且购入A类垃圾桶x个(x为整数)，
∴购入B类垃圾桶(40−x)个．
根据题意得：x≤2(40−x)，
解得：x≤803，
又∵x为整数，
∴x的最大值为26．
答：最多能购买26个A类垃圾桶；
(2)解：设购买两类垃圾桶共花费y元，则y=25x+45(40−x)，
即y=−20x+1800，
∵−20<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=26时，y取得最小值，最小值=−20×26+1800=1280，
∴购买两类垃圾桶最少需要1280元．
故答案为：1280．

【解析】略
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90∘，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC//DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE=90∘，
∴四边形ACED是矩形；
(2)∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CD=AB，AF=EF，AD=CE=CB=3，
∵∠ABC=60∘，
∴▵ABC是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB=AE=BE=2CE=6，
∴∠AFB=90∘，AF=12AE=12×6=3，
∴BF= AB2−AF2= 62−32=3 3，
∴BF的长是3 3．

【解析】略
22.【答案】(1)∵OA=2OB=4，
∴A0,4，B2,0，
∵一次函数y=ax+b的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴0=2a+b4=b，解得a=−2b=4,
∴一次函数y=−2x+4，
∴设Cm,−2m+4，
∵S△AOB=3S△COB，
∴12⋅OB⋅OA=3×12⋅−2m+4⋅OB，
∴12×2×4=3×12⋅−2m+4×2，
解得m=43，
∴C43,43，
∵与正比例函数y=kx的图象交手点C，
∴43=43k，解得k=1，
∴正比例函数y=x；
(2)由函数图象可得不等式ax+b>kx的解集为x<43．

【解析】略
23.【答案】(1)菱形ABDC即为所求，面积为：12× 2×3 2=3；
(2)正方形AEBF即为所求，面积为： 5× 5=5．

【解析】略
24.【答案】(1)解：设y1=k1x+b，
由图象可知：DE为客轮行驶的函数图象，点(0,80)，(40,0)在该图象上，
∴b=8040k1+b=0,
解得：k1=−2b=80,
∴y1km与时间xmin之间的函数表达式为y1=−2x+80(0≤x≤40)．
(2)解：设y2=k2x，
由图象可知：OC为货轮行驶的函数图象，点(160,80)在该图象上，
∴160k2=80，
解得：k2=12，
∴y2=12x(0≤x≤160)，
∵两船出发多久相距35km，
∴y1−y2=35，
当0≤x≤40时，y1−y2=−2x+80−12x=35，
解得：x1=18，x2=46(舍去)，
当40解得：x=70，
综上所述：两船出发18min或70min相距35km．

【解析】略
25.【答案】(1)解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90∘，
在▵ABE和▵BCF中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF,
∴▵ABE≌▵BCFSAS，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90∘，
∴∠CBF+∠AEB=90∘，
∴∠BGE=90∘，
∴∠AGF=90∘，
故答案为：90∘．
(2)解：①根据题意补全图形如图所示：
②证明：过点A作AH⊥AE，AH交GN延长线于点H，连接DH，
∵∠AGF=90∘，GN平分∠AGF，
∴∠AGN=12∠AGF=45∘，
∵AH⊥AE，
∴∠GAH=90∘，
∴∠AHG=∠AGH=45∘，
∴AG=AH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90∘,AB=AD，
∵∠GAH=90∘，
∴∠BAG=∠DAH，
∵AG=AH，∠BAG=∠DAH，AB=AD，
∴▵BAG≌▵DAHSAS，
∴BG=DH,∠AHD=∠AGB=90∘，
∵BG=GM，∠AHG=45∘，
∴GM=DH,∠DHN=∠NGM=45∘，
∵∠DHN=∠NGM,∠DNH=∠MNG,GM=DH，
∴▵HND≌▵GNMAAS，
∴MN=ND．

【解析】略
26.【答案】(1)解：∵A(−1,1)，B(1,1)，
∴AB2=|12−(−1)2|=4，
∵|CA2−CB2|=|(−1−0)2+(1−4)2−[(1−0)2+(1−4)2]|=0，
∴|CA2−CB2|≠AB2，
∴点C不是线段AB的垂点；
∵|DA2−DB2|=|(1+1)2+(2−1)2−[(1−1)2+(2−1)2]|=4，
∴|DA2−DB2|=AB2，
∴点D是线段AB的垂点；
∵|EA2−EB2|=|(3+1)2+(−2−1)2−[(3−1)2+(−2−1)2]|=12，
∴|EA2−EB2|≠AB2，
∴点E不是线段AB的垂点；
∵|FA2−FB2|=|(−1+1)2+(−1−1)2−[(−1−1)2+(−1−1)2]|=4，
∴|FA2−FB2|=AB2，
∴点F是线段AB的垂点；
综上所述：点D,F是线段AB的垂点，
故答案为：D(1,2)，F(−1,−1)；
(2)解：①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，
设点M是直线y=−12x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M(m,−12m+b)，过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H，
，
∴MP=PQ,MP⊥PQ，
∴∠PGM=∠QOP=90∘，∠MPG=∠PMG=90∘，∠QPO=∠MPG=90∘，
∴∠PMG=∠QPO，
∴▵PMG≌▵QPO(AAS)，
∴MG=OP=1,PG=OQ=2，
∴OG=OP+PG=1+2=3，
∴M(1,3)，
∴m=1−12m+b=3，解得：m=1b=72,
同理得：M′(−1,−1)，
∴m=−1−12m+b=−1，解得：m=−1b=−32,
∴b的值为−32或72；
②∵点P(t,1)，Q(t+2,0)，
∴k=t+2−t1−0=2，
∴线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b′上，
把C(0,4)代入y=2x+b′，得b′=4，
当Q(t+2,0)在直线y=2x+4上时，0=2(t+2)+4，解得：t=−4，
把B(1,1)代入y=2x+b′中，得b′=−1，
当p(t,1)在直线y=2x−1上时，1=2t−1，解得t=1，
∴t的取值范围是：−4≤t<1，
故答案为：−4≤t<1．

【解析】略时间/min
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温度/℃
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